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上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试(即一模)数学(文)试题


黄浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研

数学试卷(文科)

2014.1.9

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写 上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

log2 ?x ? 1? 的定义域是 . x?2 2.己知全集U ? R ,集合 A ? ?x | x ? 1 ? 2, x ? R?, ? x?2 ? B ? ?x | ? 0, x ? R ? ,则 ?CU A? ? B ? x ? ? ?1 3. 已知幂函数 f ? x ? 存在反函数, 且反函数 f ? x ? 过点 (2, 4) , 则 f ? x ? 的解析式是 x 7?3 4.方程 . ? 2 的解是 x 9 ?2 5.己知数列 ?a n ?是公差为 2 的等差数列,若 a 6 是 a 7 和 a8 的等比中项,则 a n =________. 2 sin? ? cos? b ,则代数式 6 .已知向量 a ? ?cos? , sin? ? , b ? ?1,?2 ? , 若 a‖ sin? ? cos?
1. 函数

f ?x ? ?

.

的值





? sin x 0
7. 三阶行列式

?1 0

6 cos x 2 sin x ? x ? R ? 中元素 4 的代数余子式的值记为 f ? x ? ,则函数 ?5 4

f ? x ? 的最小值为

8. 各 项 都 为 正 数 的 无 穷 等 比 数 列

?a ? , 满 足 a
n

2

? a11 x ? a12 y ? c1 ? 3 ? 1 22 ? 的线性方程组 ? 的解,则无穷等比数列 ?a n ?各项和的数 ? ? ?0 1 2 ? a x ? a y ? c ? ? ? 21 22 2
值是 _ ________. 9.

?x ? m ? m, a4 ? t , 且 ? 是增广矩阵 y ? t ?

1 ? ?3 ? x? ? x? ?

15

的二项展开式的常数项的值是__________.

10.把 4 个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子里 .则恰好有一个盒子 空的概率是 (结果用最简分数表示) 11. 将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开,所得的平面图是一个圆和扇形,己知该扇形的半 径为 24cm,圆心角为

4? 3

,则圆锥的体积是________ cm .
3

12.从某项有 400 人参加的群众性运动的达标测试中,随机地抽取 50 人的成绩统计成如下表,则 400 人的成绩 的标准差的点估计值是 .

分数 人数 13.设向量 ?

? ?a, b ? , ? ? ?m, n ? ,其中 a, b, m, n ? R ,由不等式 ? ? ? ? ? ? ?
2

5 5

4 15

3 20

2 5

1

[来源:Zxxk.Com]

5



(当且仅当 ?‖ 即 an ? bm ?, ? ?a 2 ? b 2 ??m 2 ? n 2 ? ? x 3 x 恒成立, 时等号成立) , 己知 x, y ? R , 若k ? 利用可西不等式可求得实数 k ? x? y x? y 成立, 可以证明 (柯西) 不等式 ?am ? bn? 的取值范围是 14.己知数列

?a ?满足 a
n

1

? ?42 ,an?1 ? ?? 1? an ? n, ?n ? N ? ? ,则数列 ?a n ?的前 2013
n

项的和 s 2013 的值是___________. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.
[来源:学科网]

15. 己知实数 a , b 满足 ab

? 0 ,则“

16.己知空间两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ① m‖n, m ? ? , ? n ? ?; ② ?‖? , m ? ? , n ? ? ? m ? n ;
? ?

( A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

1 1 ? 成立”是“ a ? b 成立”的( a b
( B) 必要非充分条件. ( D ) 既非充分又非必要条件.

).

③ m‖n, m‖ ④ ?‖? , m‖n, m ? ? , ? n ? ?。 ? , ? n‖ ?; 其中正确命题的序号是( ). ( A) ①④ ( B) ②③ (C ) ①②④ ( D ) ①③④ 17. 某 程 序 框 图 如 图 所 示 , 现 在 输 入 下 列 四 个 函 数 , 则 可 以 输 出 函 数 是 ( ).
1 2 ?1 2 1? x ( B) f ?x? ? lg ? 2x 1? x x 1 (C ) f ?x? ? x ? x 2 ?1 2 3 ( D ) f ?x? ? ?2 x ? x 18.己知 z1 , z 2 , z3 ? C ,下列结论正确的是

( A) f ?x ? ?

1

x

?

开始
输入函数 f ? x ?
f ?x ? ? f ?? x ? ? 0




f ?x ? ? 0

有实数 否



( ). 2 2 ? z3 ? 0 ,则 z1 ? z 2 ? z3 ? 0 ( A) 若 z12 ? z 2
2 2 2 2 2 ? z3 ? 0 ,则 z1 ? z2 ? ? z3 ( B) 若 z12 ? z 2
2 2 2 2 ,则 2 (C ) 若 z12 ? z 2 z1 ? z 2 ? z3 ?0 ? ? z3

是 输出函数 f ? x ?

结束

( D) 若 z1 ? ? z1 ( z 为复数 z 的共轭复数),则 z1 纯虚数。

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤 . 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 .
[来源:学 |科 |网]

已知三棱柱 ABC- A1 B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2,A1 在底面 ABC 内的射影 O 为底面△ ABC 的中心,如图所示:
A1 C1 B1

C

(1)联结 BC1 ,若 BC1 ? 2 2 ,求异面直线 AA1 与
BC1 所成角的大小;
[来源:学科网 ZXXK]

(2)联结 A1C 、 A1B ,求四棱锥 A1 — BCC1B1 的体积。 o 20.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分 . ?? ? 已知函数 f ?x ? ? 3 sin ?x ? cos?x ? c ( ? ? 0, x ? R ,c 是实数常数)的图像上的一个最高点 ? ,1? ,与
?6 ?

该最高点最近的一个最低点是 ?

(1)求 函数 f ? x ? 的解析式及其单调增区间;
1 ( 2)在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c , 且 AB ? BC ? ? ac , 角 A 的取值范围是区间 M, 2 当 x ? M 时,试求函数 f ? x ? 的取值范围. 21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 10 分 . 我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了 800 万元修复和加强民俗文化基础 设施,据 调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按 30 天计算)每天的旅游人数 8 f ? x ? 与第 x 天近似地满足 f ?x ? ? 8 ? (千人),且参观民俗文化村的游客人均消费 g ?x ? 近似地满足 x g ?x ? ? 143? x ? 22 (元)。

? 2? ? ,?3 ? , ? 3 ?

(1)求该村的第 x 天的旅游收入 p?x? (单位千元,1≤x≤30, x ? N ? )的函数关系; (2)若以最低日收入的 20%作为每一天的计量依据,并以纯收入的 5%的税率收回投资成本,试问 该村在两年内能否收回全部投资成本? 22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)满分 6 分,第(3)小题 满分 6 分. 已知函数 f ?x ? ?
ax2 ? bx ? c (其中 a, b, c, d 是实数常数, x ? ?d ) x?d (1)若 a ? 0 ,函数 f ? x ? 的图像关于点(—1,3)成中心对称,求 b, d 的值;

(2)若函数 f ? x ? 满足条件(1),且对任意 x0 ? ?3,10? ,总有 f ?x0 ? ? ?3,10? ,求 c 的取值范围; 3 (3)若 b=0 , 函 数 f ? x ? 是 奇 函 数 , f ?1? ? 0 , f ?? 2? ? ? , 且 对 任 意 x ? ?1,??? 时 , 不 等 式 2 f ?mx? ? mf ?x? ? 0 恒成立,求负实数 m 的取值范围。

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 6 分. 已知数列 ? a n ? ,满足 a2 ? 6 ,
an ?1 ? an ? 1 1 n? N? , ? an ?1 ? an ? 1 n

?

?

(1)求 a1 , a3 , a4 , a5 的值; (2)猜想数列 ? an ? 的通项公式 a n ,并用数学归纳法证明; (3)己知 lim
n 2n
n??

? 0 ,设 bn ?

an n ? 2n

?n ? N ? ,记 s
?

n

? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ,求 lim S n .
n??

黄浦区 2013 学年度第一学期高三年级期终调研测试

[来源:学科网]

数学试卷(文理合卷)
参考答案和评分标准(2014 年 1 月 10 日)
一、填空题 1. (1, +
);

8. 32 ; 9. 5005 ;

2. (0,1] ; 3. f ( x) =
x (x 0)



10. 9 ; 16 11.

4. 2 log 3 2 ; 5. 2n 6. 5 ; 7. - 6 ; 16、A

2048 5p ; 3

40 ; 3

12. 1.09 ; 13. k ? 10 ; 14. (文科) 1015014. 17、B 18、C

二、选择题: 15、C 三、解答题

19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分6分,第 2 小题满分6分. (文科) 解(1)依据题意,有 AA1 || CC1 , BC ? CC1 ? 2, BC1 ? 2 2 , ∴ 异面直线 AA1 与 BC1 所成的角为 ?BC1C , ∴ BC ? CC1 ? 4 ? 4 ? 8 ? BC1 ,即 CC1 ? BC , 四边形 BCC1 B1 为正方形,
2 2 2

? . 4 (2) 联结 AO ,并延长与 BC 交于点 D ,则 AD 是 BC 边上的中线.
∴异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小为

?点 O 是正 ?ABC 的中心,
∴ BC ? AD . ∵三棱柱的所有棱长都为2, ∴可求算得 AD ? 3, AO ?

2 2 3 2 6 AD ? , A1O ? AA12 ? AO 2 ? . 3 3 3

∴ VABC ? A1B1C1 ? S ?ABC ? A1O ? 2 2 .

∴ VA1 ? B1C1CB ? VABC ? A1B1C1 ? VA1 ? ABC ?

4 2 . 3

20.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分6分,第 2 小题满分6分. 解(1)∵ f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? c , ∴ f ( x) ? 2sin(? x ? ∵(

?
6

)?c.

?
6

,1) 和 (

2? , ?3) 分别是函数图像上相邻的最高点和最低点, 3

? T 2? ? ?2 ? 3 ? 6 , ?T ? ? , ? 2? ? ? , ∴ ?? ? 解得 ? c ? ?1, T ?? ? 2. ? ? ? ? ? 2sin( ? ? ? ) ? c ? 1. ? 6 6 ?
∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? 由 2 k? ?

?
6

) ? 1.

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,解得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z .

∴函数 f ( x) 的单调递增区间是 [k? ? (2)∵在 ?ABC 中, AB ? BC ? ? ∴ ac cos(? ? B) ? ?

?

??? ? ??? ?

, k? ? ], k ? Z . 3 6

?

1 ? ac.0 ? B ? ? , B ? . 2 3 2? 2? ∴ A?C ? . , 0 ? C ,即 0 ? A ? 3 3 2? ∴ M ? (0, ). 3 ? ? 3? ? 当 x ? M 时, ? 2 x ? ? ,考察正弦函数 y ? sin x 的图像,可知,?1 ? sin(2 x ? ) ? 1 . 6 6 2 6
∴ ?3 ? f ( x) ? 1 ,即函数 f ( x) 的取值范围是 (?3,1] . 21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 解(1)依据题意,有 p( x) ? f ( x) ? g ( x) ? (8 ? ) ? (143? | x ? 22 |)(1 ? x ? 30, x ? N )
*

1 ac , 2

8 x

968 ? 8x ? ? 976, (1 ? x ? 22, x ? N * ) ? ? x =? 1320 ??8 x ? ? 1312.(22 ? x ? 30, x ? N * ) ? x ?

(2) 10 当 1 ? x ? 22 , x ? N 时,
*

p ( x) ? 8 x ?

968 968 ? 976 ? 2 8 x ? ? 976 ? 1152 (当且仅当 x ? 11 时,等号成立) . x x

因此, p( x) min ? p(11) ? 1152 (千元) .

1320 ? 1312 . x 1320 1320 考察函数 y ? ?8 x ? 的图像,可知 y ? ?8 x ? 在 (22,30] 上单调递减, x x

20 当 22 ? x ? 30 , x ? N * 时, p( x) ? ?8x ?

于是, p( x) min ? p(30) ? 1116 (千元) . 又 1152 ? 1116 , 所以,日最低收入为 1116 千元. 该村两年可收回的投资资金为 1116 ? 20% ? 5% ? 30 ?12 ? 2 =8035.2(千元)=803.52(万元) . 因 803.52 万元 ? 800 万元, 所以,该村两年内能收回全部投资资金. 22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解(1)? a ? 0 ,

? f ( x) ?

bx ? c c ? bd . ?b? x?d x?d k 类比函数 y ? 的图像,可知函数 f ( x) 的图像的对称中心是 (?d , b) . x
又函数 f ( x) 的图像的对称中心是 (?1,3) ,

?b ? 3, ?? ? d ? 1.
(2)由(1)知, f ( x) ? 3 ?

c ?3 . x ?1

依据题意,对任意 x0 ? [3,10] ,恒有 f ( x0 ) ? [3,10] .

10 若 c ? 3 ,则 f ( x) ? 3 ,符合题意. 20 若 c ? 3 ,当 c ? 3 时,对任意 x ?[3,10] ,恒有 f ( x) ? 3 ?
所以 c ? 3 ,函数 f ( x) ? 3 ?

c ?3 在 [3,10] 上是单调递减函数,且满足 f ( x) ? 3 . x ?1

c ?3 ? 3 ,不符合题意. x ?1

因此,当且仅当 f (3) ? 10 ,即 3 ? c ? 31 时符合题意.

综上,所求实数 c 的范围是 3 ? c ? 31 .

? ? f ( x) ? f (? x) ? 0, ? a ? 1, ? ? (3)依据题设,有 ? f (1) ? 0, 解得 ? c ? ?1, ? d ? 0. ? 3 ? ? f (?2) ? ? . ? 2
于是, f ( x) ? x ?

1 . x

? f (mx) ? mf ( x) ? 0, 1 m 1 ? ? 2mx ? ? ? 0 ? (2 x 2 ? 1)m 2 ? 1 ,解得 m ? ? 由 ? m ? 0, . mx x 2 x2 ?1 ? x ? 1. ?
因此, m ? (?

1 2 x2 ? 1 1

)min .

考察函数 y ? ?

2 x2 ?1

( x ? 1) ,可知该函数在 [1, ??) 是增函数,故 ymin ? y(1) ? ?1 .

所以,所求负实数 m 的取值范围是 m ? ?1 . 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (理科)解(1)?

an ?1 ? an ? 1 1 ? , n ? N* , an ?1 ? an ? 1 n
(n ? N 1* . ) ,

? (n ? 1an )?1 ? n ? ( an 1 ?) ? n?

?当 n ? 2, n ? N * 时,有

an?1 an 1 1 . ? ? ? (n ? 1)n n(n ? 1) n n ? 1

又? bn ?1 ?

an ?1 , a2 ? 6 , (n ? 1)n

? bn?1 ? bn ?

a 1 1 ? , b2 ? 2 ? 3 . n n ?1 2 ?1

? ?b1 ? 1, ? ?数列 ?bn ? 的递推公式是 ?b2 ? 3, ? 1 1 ?bn ?1 ? bn ? ? .(n ? 2, n ? N * ) n n ?1 ?
(2)由(1)可知, bn ?1 ? bn ?

1 1 ? , n ? 2, n ? N * , n n ?1

1 1 ? ? n ?1 n ? 2 ? ? 1 1 ? bn ?1 ? bn ? 2 ? ? 1 ? ? bn ? 2 ? 于是,有 (n ? 2, n ? N * ) . n ? 2 n ? 3 ? 相加 n ? 1 ? ? ? 1 ? b3 ? b2 ? ? 1 ? 2 ? bn ? bn ?1 ?
? an ? n(n ? 1)bn ? n(2n ? 1)(n ? 2, n ? N * ) .
又 a2 ? 6 ,可求得 a1 ? 1 . 当 n ? 1 时, an ? n(2n ? 1) ? 1? (2 ?1 ? 1) ? 1 ,符合公式 an ? n(2n ? 1)(n ? N ) .
*

?数列 ?an ? 的通项公式 an ? n(2n ? 1), n ? N * .
(说明:这里也可利用 bn ?1 ? bn ?

1 1 1 1 ,依据递推,得 ? ? bn ?1 ? ? bn ? n n ?1 (n ? 1) ? 1 n ?1

1 1 1 ? b2 ? ? bn ? 2 ? (n ? 2) ) n ?1 1 n ?1 n(2n ? 1) * (3)由(2)知, cn ? , n ? N .又 ?cn ? 是等差数列, n?c n(2n ? 1) c(2c ? 1) 因此,当且仅当 cn ? 是关于 n 的一次函数或常 值函数,即 ? 2n ? 2c ? 1 ? n?c n?c 1 c ? ? ( c ? 0 ). 2 bn ?
于是, cn ? 2n, n ? N ,
*

1 1 1 1 ? S n ? 2 ? (? ) ? 4 ? (? ) 2 ? ? ? 2(n ? 1)(? ) n ?1 ? 2n(? ) n ? ? 2 2 2 2 ?? 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ? 相减 ? Sn ? 2 ? (? ) ? 4 ? (? ) ? ? ? 2(n ? 1) ? (? ) ? 2n ? (? ) 2 2 2 2 2 ? ?

3 1 1 1 1 Sn ? 2 ? (? ) ? 2 ? (? )2 ? ? ? 2(? )n ? 2n(? ) n +1 , 2 2 2 2 2 4 4 1 4n 1 Sn ? ? ? (? )n ? (? )n?1 . 9 9 2 3 2 4 4 1 n 4n 1 n?1 4 所以, lim Sn ? lim(? ? (? ) ? (? ) ) ? ? . n ?? n ?? 9 9 2 3 2 9
(文科) 解(1)?

an ?1 ? an ? 1 1 ? , n ? N* , an ?1 ? an ? 1 n
*

∴ (n ? 1)an ?1 ? (n ? 1)an ? ?(n ? 1), n ? N .

? a2 ? 6 ,分别令 n ? 1, 2,3, 4 ,可得
a1 ? 1 ? 1? (2 ? 1 ? 1), a3 ? 15 ? 3 ? (2 ? 3 ? 1), a4 ? 28 ? 4 ? (2 ? 4 ? 1), a5 ? 45 ? 5 ? (2 ? 5 ? 1).
(2)猜想数列 ? an ? 的通项公式为 an ? n(2n ? 1), n ? N .用数学归纳法证明如下:
*



证明 (i)当 n ? 1 时,由(1)知结论成立;当 n ? 2 时, an ? 2 ? (2 ? 2 ? 1) ? 6 ? a2 ,结论成立. (ii)假设 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时,结论成立,即 an ? k (2k ? 1) .
*

当 n ? k ? 1 时, (k ? 1)ak ?1 ? (k ? 1)ak ? ?(k ? 1) ? (k ? 1)ak ?1 ? (k ? 1)k (2k ? 1) ? (k ? 1)

? (k ? 1)ak ?1 ? (k ? 1)(2k 2 ? k ? 1)

? (k ? 1)ak ?1 ? (k ? 1)(k ? 1)(2k ? 1) .
所以, ak ?1 ? (k ? 1)(2k ? 1) ? (k ? 1)(2(k ? 1) ? 1) ,即 n ? k ? 1 时,结论也成立. 根据(i)和(ii)可以断定,结论 an ? n(2n ? 1) 对一切正整数 n 都成立. (3)由(2)知, bn ?

n(2n ? 1) 2n ? 1 ? n , n ? N * . 于是, n ? 2n 2

Sn ?

2 ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 2( n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? ? ?? ? ? n 2 ? ? 2 2 2n ?1 2 ?? 1 2 ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 2( n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? 相减 Sn ? ? ?? ? ? n ?1 2 22 23 2n 2 ? ?

1 1 2 2 2n ? 1 Sn ? ? 2 ? ? ? n ? n?1 , 2 2 2 2 2 1 2n ? 1 Sn ? 3 ? n ? 2 ? n . 2 2 1 2n ? 1 所以, lim Sn ? lim(3 ? n ?2 ? ) ? 3. n ?? n ?? 2 2n


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