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直线与椭圆的综合运用(教案)


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个性化教案

直线和椭圆的综合运用
适用学科 适用区域 知识点 教学目标
数学 江苏 椭圆的综合问题 1.理解直线与椭圆的各种位置关系, 能利用方程根的判别式来研究直线与 椭圆的各种位置关系;掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式; 2.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧; 进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想 利用“数”与“形”的结合, 利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长 等综合问题. 利用“数”与“形”的结合, 利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长 等综合问题.

适用年级 课时时长 (分钟)

高二 60 分钟

教学重点 教学难点

教学过程
一、知识讲解
考点/易错点 1 直线与椭圆的位置关系

提问学生:回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 引出点与椭圆的位置关系 1.点与椭圆的位置关系 设点 P( x0 , y0 ) ,椭圆标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

若点 P( x0 , y0 ) 椭圆上,则

2 2 x0 y0 ? ? 1; a2 b2 2 2 x0 y0 ? ? 1; a2 b2 2 2 x0 y0 ? ? 1; a2 b2

若点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内,则

若点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外,则 2.直线与椭圆的位置关系

(1)通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系: 相离:直线与椭圆没有交点; 相切:直线与椭圆有唯一交点;

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相交:直线与椭圆两个交点; (2)判断直线与椭圆的位置关系

x2 y 2 设直线 l : y ? kx ? m, 椭圆 M : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,联立直线与椭圆方程消去 y 得 a b

(a2k 2 ? b2 ) x2 ? 2a2kmx ? a2 (m2 ? b2 ) ? 0
记该一元二次方程的判别式为 ? ,则 ①当 ? ? 0 时,直线与椭圆相交,有两个交点; ②当 ? ? 0 时,直线与椭圆相切,此时有一个交点; ③当 ? ? 0 时,直线与椭圆相离,没有交点. (3)弦长公式的推导 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 为椭圆上的两点, AB 叫做椭圆的弦长. 回忆两点间的距离公式,通过距离公式化简整理,得出弦长公式.

AB ? x1 ? x2 1 ? k 2 ? y1 ? y2 1 ?

1 (其中 k 为直线 AB 的斜率). k2

二、例题精析
【例题 1】 【题干】已知椭圆 M :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右顶点到左焦点的距离为 2 2 a b

2? 3
(1)求椭圆 M 的方程. (2)若直线 x ? y ? 2m ? 0 与椭圆 M :①相交,②相切,③相离,求实数 m 的取值范围; (3)设直线 l : y ? x ? t 与椭圆 M 相交于不同的 A, B 两点,令 AB ? f (t ) ,求 f (t ) .

【答案】 (1)

x2 ? y2 ? 1 4
5 5 5 ,②相切: m ? ? ,③相离: ?m? 2 2 2 5 5 ? m或m ? ? 2 2

(2)①相交: ? (3) f (t ) ?

4 5 ? t 2 , t ? (? 5, 5) 5

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?c 3 ? ? 【解析】 (1)依据题意,则 ? a 解方程组得 a ? 2, c ? 3 2 ?a ? c ? 2 ? 3 ?

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆方程为 4

? x ? y ? 2m ? 0 ? (2)联立 ? x 2 消掉 y 得 5x2 ? 16mx ? 16m2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4

? ? (16m)2 ? 4 ? 5(16m2 ? 4) ? 16(5 ? 4m2 )
①若直线与椭圆相交,则 ? ? 16(5 ? 4m2 ) ? 0 ,解得 ?

5 5 ?m? 2 2

②若直线与椭圆相切,则 ? ? 16(5 ? 4m2 ) ? 0 ,解得 m ? ?

5 2

③若直线与椭圆相离,则 ? ? 16(5 ? 4m2 ) ? 0 ,解得

5 5 ? m或m ? ? 2 2

?y ? x ?t ? 2 2 (3)联立 ? x 2 消掉 y 得 5x ? 8tx ? 4m ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
因为直线与椭圆有两个交点,则 ? ? 64t ? 20(4t ? 4) ? 0 ,解得 ? 5 ? t ? 5
2 2

设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) ,由韦达定理,则

x1 ? x2 ? ?

4(t 2 ? 1) 8t , x1 x2 ? 5 5
2

由弦长公式,则 AB ? 1 ? k

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

8t 2 4(t 2 ? 1) ? 2 ? (? ) ? 4 ? 5 5
?
所以 f (t ) ? 【例题 2】

4 5 ? t2 5

4 5 ? t 2 , t ? (? 5, 5) 5

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【题干】已知椭圆 M :

x2 ? y2 ? 1, 2

(1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程; (2) 过 Q( 方程; (3)过点 (2,1) 的直线 l 与椭圆 M 相交,求直线 l 被椭圆截得的弦中点的轨迹方程. 【答案】 (1) x ? 4 y ? 0 , (2) 2x ? 2 y ? 2 ? 0 , (3) x2 ? 2 y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 【解析】(1) 设平行弦中点坐标为 ( x0 , y0 ) ,弦与椭圆对应的两个交点为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 )

2 1 且 A, B 关于点 Q 对称, 求直线 AB 的 , ) 的直线与椭圆 M 相交于 A, B 两点, 2 2

? x12 ? y12 ? 1 ? ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ?2 ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 两式相减得 1 ? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ?2
化简整理得

y1 ? y2 x ?x ?? 1 2 ?2 x1 ? x2 2( y1 ? y2 )

又因为 x1 ? x2 ? 2x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 ,代入上式,得 x0 ? 4 y0 ? 0 . 所以平行弦中点的轨迹方程为 x ? 4 y ? 0 (在椭圆 M : (2)设 A( x3 , y3 ) , B( x4 , y4 ) ,则
2 ? x3 2 ? y3 ?1 ? ( x ? x4 )( x3 ? x4 ) ?2 ? ( y3 ? y4 )( y3 ? y4 ) ? 0 曲线的范围 两式相减得 3 ? 2 2 x ? 4 ? y2 ? 1 4 ? ?2

x2 ? y 2 ? 1 内的部分). 2

化简整理得

y1 ? y2 x ?x ?? 1 2 x1 ? x2 2( y1 ? y2 ) 2 1 , ) 对称,则 x3 ? x4 ? 2, y1 ? y2 ? 1 2 2

又因为 A, B 关于点 Q(

所以 k AB ?

y1 ? y2 x ?x 2 ?? 1 2 ?? x1 ? x2 2( y1 ? y2 ) 2

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故直线 AB 的方程为: 2x ? 2 y ? 2 ? 0 (3)由点 (2,1) 的位置结合椭圆方程可知直线 l 的斜率必然存在, 设弦中点坐标为 ( x?, y?) ,则 kl ?

y? ? 1 ……………………… (i ) x? ? 2

设直线与椭圆的两交点分别为 ( x5 , y5 ),( x6 , y6 ) ,则 x5 ? x6 ? 2x?, y5 ? y6 ? 2 y?
2 ? x5 2 ? y5 ?1 ? ( x ? x6 )( x5 ? x6 ) ?2 ? ( y5 ? y6 )( y5 ? y6 ) ? 0 又? 两式相减得 5 2 2 ? x6 ? y 2 ? 1 6 ? ?2

化简整理得 kl ?

y5 ? y6 x ?x x? …………… (ii ) ?? 5 6 ?? x5 ? x6 2( y5 ? y6 ) 2 y?
2 2

由 (i ) (ii ) 联立化简得, x? ? 2 y? ? 2 x? ? 2 y? ? 0 . 所以弦中点的轨迹为: x ? 2 y ? 2x ? 2 y ? 0 .
2 2

三、课堂运用
【基础】

x2 y 2 1. 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上 有 一 动 点 P , F 为 椭 圆 的 右 焦 点 , 若 a b

PF max ? 3 ? 5, PF min ? 3 ? 5 ,则椭圆的方程为(
x2 y 2 ? ?1 A. 9 4 x2 y 2 ? ?1 C. 9 5
【答案】C.



x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ?1 或 B. 5 4 9 5
D.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 5 4 9 4

【解析】依据题意易得 a ? c ? 3 ? 5, a ? c ? 3 ? 5 ,解得 a ? 3, c ? 5

所以椭圆方程为:

x2 y 2 ? ?1 9 5
x2 椭圆 C 的右焦点 ? y 2 ? 1 的左焦点 F1 且与椭圆相交于 A, B 两点, 4

2.已知直线 l1 过椭圆 C :

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为 F2 ,则 ?ABF2 的周长为( A. 6 【答案】C. B.

) C. 8 D. 9

7

【解析】如图,因为 A, B 在椭圆上,由椭圆的定义,则

BF 1 ? BF 2 ? 2a, AF 1 ? AF 2 ? 2a
所以 ?ABF2 的周长

C ? AB ? BF2 ? AF2 ? 2a ? 2a ? 4a ? 8
所以选 C. 3. 椭 圆

4x2 y2 ? ? 1 的 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 点 M 在 椭 圆 上 , 若 PF 1 ?3 , 则 49 6
, ?F1PF2 ? .

PF2 ?
【答案】4;

? . 2

【解析】由椭圆的定义 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 7 ,则 PF 2 ? 7 ? PF 1 ? 7 ?3 ? 4 , 又因为 F1 F2 ? 2c ? 2 a ? b ? 5 ,故 ?F1 PF2 为直角三角形,所以 ?F1 PF2 ?
2 2

?
2

.

4. 已 知 A(?2,0), B(2,0) , 动 点 P ( x, y ) 满 足 PA ? PB ? 6 , 则 点 P ( x, y ) 的 轨 迹 方 程 为 【答案】 .

x2 y2 ? ?1 9 5

【解析】因为 AB ? 4 ? 6 ,所以点 P ( x, y ) 的轨迹为椭圆 2a ? 6 ,则 a ? 3 , c ? 2

b ? a 2 ? c 2 ? 5 ,故椭圆方程为

x2 y2 ? ?1. 9 5

5.若直线 y ? mx ? 2 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有且只有一个交点,求实数 m 的值. 4 2

【答案】 m ? ?

2 2
消 y 得 (2m ? 1) x ? 8mx ? 4 ? 0
2 2 2 2

【解析】联立 ?

? y ? mx ? 2 ?x ? 2 y ? 4
2 2

因为直线与椭圆只有一个交点,则 ? ? 64m ? 4 ? (2m ? 1) ? 4 ? 0

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解得 m ? ?

2 . 2

【巩固】 1. 已知两定点 A(1,1), B(?1,?1) ,动点 P 满足 PA ? PB ? A.圆 【答案】B. 【解析】设 P ( x, y ) , PA ? (1 ? x,1 ? y), PB ? (?1 ? x,?1 ? y) ,则 B.椭圆 C.双曲线

x2 ,则点 P 的轨迹是( 2
D.抛物线



x2 x2 y2 PA? PB ? x ? y ? 2 ? ,整理得 ? ? 1 ,所以是椭圆,选 B . 4 2 2
2 2

2.直线 y ? x ? a 与椭圆 【答案】1 【解析】联立 ?

x2 4 2 ? y 2 ? 1相交于 A, B 两点,若 AB ? ,求 a 的值. 2 3

?y ? x ? a ?x ? 2 y ? 2
2 2

2 2 消去 y 得 3x ? 4ax ? 2a ? 2 ? 0

? ? 16a2 ? 4 ? 3(2a ? 2) ? 0 恒成立,则 a ? R
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由韦达定理,则

x1 ? x2 ? ?

2a 2 ? 2 4a , x1 x2 ? 3 3

由弦长公式 AB ? 解得 a ? 1 . 【拔高】

2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ? (?

4a 2 8(a 2 ? 1) 4 2 ) ? ? 3 3 3

1.过原点的直线 l 与曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 相交,若直线 l 被曲线 C 所截得的线段长不大于 6 , 3
( )

则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是

A.

?
6

?? ?

5? 6

B.

?
6

?? ?

2? 3

C.

?
3

?? ?

2? 3

D.

?
4

?? ?

3? 4

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【答案】D. 【解析】 因为截得的线段长不大于 6 ,故直线不可能与 x 轴重合,可设直线方程为 my ? x 联立 ?

?x ? my ?x ? 3 y ? 3
2 2

消去 x 得, (m ? 3) y ? 3 ? 0 ,设直线与椭圆相交于 A, B 两点,则
2 2

AB ? 1 ? m2
所以 k ? tan ? ?

12(m2 ? 3) 12(m2 ? 1) ,整理得 ? 6 ? 6 ,解得 ? 1 ? m ? 1 m2 ? 3 m2 ? 3
1 ? 3? ? [ ?1,1] ,又 ? ?[0, ? ) ,解得 ? ? ? .选 D. m 4 4

2. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,l1 , l2 是过点 P (0, m) 且相互垂直的两条直线, 问实数 m 为何值时, 16 9

l1 , l2 与椭圆都有公共点.
【答案】 m ? [?5,5] 【解析】由题知点 P (0, m) 在 y 轴上运动,分两种情形讨论 (1)当 l1 , l2 中有一条与 x 轴平行时,则必有一条是 y 轴,此时 m ? [?3,3] ; (2)当 l1 , l2 中都不与 x 轴平行时,设 l1 : y ? kx ? m ,则 l2 : y ? ?

1 x?m. k

l1 与椭圆有公共点,即

x 2 (kx ? m) 2 ? ? 1 有实数根,整理得 16 9

(16k 2 ? 9) x2 ? 32kmx ?16m2 ?144 ? 0 ?? ? (32km)2 ? 4(16k 2 ? 9)(16m2 ?144) ? 0 解得 k 2 ?
1 2 m2 ? 9 l2 与椭圆有公共点,同理可得 ( ) ? k 16
当 m ? 3 时, ( 而 k2,

m2 ? 9 . 16

m2 ? 9 2 m 2 ? 9 2 25 ? 9 ) ? 1 ? m ? 5 ;又 m ? 5 时, ( ) ? ?1; 16 16 16

1 必有一个小于等于 1,此时 l1 , l2 与椭圆不可能都有公共点. k2

综上所述 m ? 5 时, l1 , l2 与椭圆都有公共点.即 m ? [?5,5] .

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课程小结
本讲主要学习了下面的内容: 直线与椭圆的位置关系

课后作业
【基础】 1.椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为( )
2 2 A. x ? y ? 1 16 12 2 2 B. x ? y ? 1 12 8 2 2 C. x ? y ? 1 8 4 2 2 D. x ? y ? 1 12 4

【答案】 C 【 解 析 】 依 题 可 设 椭 圆 方 程 为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 则 2c ? 4, c ? 2 , a2 b2

x??

x2 y2 a2 ? 1 ,故选 C. ? ?4, a 2 ? 8 ,所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ,椭圆方程为 ? 8 4 c x2 ? y 2 ? 1 相交,则实数 m 的取值范围为( 4
C. (? 5,0)


2.已知直线 y ? x ? m 与椭圆

A. [? 5, 5 ]
【答案】D.

B. (0, 5 )

D.(? 5, 5 )

【解析】 把直线方程 y ? x ? m 代入椭圆

x2 因为相交, ? y 2 ? 1 得 5x 2 ? 8mx? 4m2 ? 4 ? 0 , 4

所以 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 ,解得 m ? (? 5 , 5 ) .故选 D. 3.直线 y ? 2 x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 相交于 MN 两点,则弦 MN ? ( 9 5



A.

60 10 41

B.

6 10 41

C.

41 10 36

D.

2 10 41

【答案】A.

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? y ? 2x ?1 ? 【解析】 :联立方程 ? x 2 y 2 消去 y 得 41x 2 ? 36x ? 36 ? 0 ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 则 ?1 ? ? 5 ?9
MN ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2
选 A. 4.直线 l 方程 y ? m( x ? 1) ,椭圆 M :

362 ? 4 ? 41? 36 60 10 b 2 ? 4ac . ? 5? ? a 41 41

x2 y2 ? ? 1 ,则直线 l 与椭圆 M 的位置关系为( ) 4 3
C. 相切 D. 无法判断

A. 相交
【答案】 A.

B. 相离

【解析】已知直线 y ? m( x ? 1) 过定点 (1,0) ,定点代入椭圆则 内部的点,所以直线 l 与椭圆 M 相交,选 A. 【巩固】 1.已知直线 l : y ? 2 x ? m ,椭圆 M : ①相交;②相切;③相离.

12 0 2 ? ? 1 ,过直线过椭圆 4 3

x2 y2 ? ? 1 ,试问:当 m 取何值时,直线 l 与椭圆: 4 2

【答案】 ? 3 2 ? m ? 3 2 ; m ? ?3 2 ; m ? ?3 2或m ? 3 2
2 2 2 【解析】将 y ? 2 x ? m 代入椭圆消去 y 得 9 x ? 8m x ? 2m ? 4 ? 0 , ? ? 144? 8m

2 ①当 ? ? 144? 8m ? 0 ,即 ? 3 2 ? m ? 3 2 时,直线与椭圆相切; 2 ②当 ? ? 144? 8m ? 0 ,即 m ? ?3 2 时,直线与椭圆相切; 2 ③当 ? ? 144? 8m ? 0 ,即 m ? ?3 2或m ? 3 2 时,直线与椭圆相离.

2. A, B 是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的短轴端点,点 M 是椭圆上异于 A, B 的任意一 a 2 b2

点,直线 MA , MB 与 x 轴交点的横坐标分别为 x1 , x 2 ,求证: x1 ? x2 是定值. 【答案】答案见解析

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【解析】证明:如图 C (5) , A(0, b), B(0,?b) ,设 M ( x0 , y0 ) ,则 直线 MA 的方程为:

y ? b y0 ? b ……………① ? x x0 y ? b y0 ? b ……………② ? x x0

直线 MB 的方程为:

由①解得 x1 ?

bx0 ? bx0 ,则 , 由②解得 x2 ? y0 ? b y0 ? b

2 2 ?b2 x0 b2 x0 ……………③ x1 ? x2 ? ? 2 ( y0 ? b)( y0 ? b) b2 ? y0
2 2 x0 y0 又因为 M ( x0 , y0 ) 在椭圆上,则 2 ? 2 ? 1 ……………④ a b

2 2 由④解得 b2 x0 ? a2 (b2 ? y0 ) 代入③式,得 x1 ? x2 ?

2 2 b 2 x0 a 2 (b 2 ? y0 ) ? ? a2 . 2 2 2 2 b ? y0 b ? y0

所以 x1 ? x2 是定值.

3.过椭圆 程.

x2 y2 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被点 M 平分,求这条弦所在的直线方 16 4

【答案】 x ? 2 y ? 4 ? 0 【解析】法一:设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ),则 x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ? 2

x12 y12 ? ? 1?? ① 16 4
2 x2 y2 ? 2 ? 1?? ② 16 4

①-②得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) y ? y2 x ?x 1 ? ? 0 ,整理得 1 ? ?4 ? 1 2 ? ? 16 4 x1 ? x2 y1 ? y2 2
1 ,故直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2

所以 k AB ? ?

法二:设所求直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,代入椭圆方程并整理得:

(4k 2 ? 1) x 2 ? 8(2k 2 ? k ) x ? 4(2k ? 1) 2 ? 16 ? 0
又设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 , x 2 是方程的两个根,于是

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x1 ? x 2 ?

8(2k ? k ) , 4k 2 ? 1
2

又 M 为 AB 的中点,所以 解得 k ? ?

x1 ? x2 4(2k 2 ? k ) ? ? 2, 2 4k 2 ? 1

1 , 2

故所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 .

【拔高】

1.已知椭圆 M :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右顶点到左焦点的距离为 2 ? 3 2 2 a b

(1)求椭圆 M 的方程. (2)设直线 l : y ? x ? t 与椭圆 M 相交于 A, B 两点,令 AB ? f (t ) ,求 f (t ) .

【答案】 (1)

x2 ? y2 ? 1 4

(2) f (t ) ?

4 10 ? 2t 2 (? 5 ? t ? 5 ) 5

c b2 3 【解析】 (1) e ? ? 1 ? 2 ? ?? ①,右顶点到左焦点的距离为 2 ? 3 ,则 a a 2
a ? c ? 3 ? 2?? ②,联立①②解得 a ? 2, c ? 3, b ? 1,椭圆方程为
?y ? x ? t ?x ? 4 y ? 4
2 2

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)联立 ?
2

2 2 消去 y 得 5 x ? 8tx ? 4t ? 4 ? 0 ,因为直线与椭圆有两个交点,所

以 ? ? 64t ? 20(4t ? 4) ? 0 解得 ? 5 ? t ? 5
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2

b 2 ? 4ac a

代入数据得 AB ? 2 ?

80 ? 16t 2 4 10 ? 2t 2 ? (? 5 ? t ? 5 ) 5 5

所以 f (t ) ?

4 10 ? 2t 2 (? 5 ? t ? 5 ) 5
x2 ? y 2 ? 1 上的一动点,则 P 到直线 l 的距离的最 2

2.已知直线 l : x ? y ? 3 ,点 P 为椭圆 M :

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大值和最小值分别为(



A.

3? 3 ,0 2

B.

3? 3 3? 3 , 2 2

C. 3 ? 1, 3 ? 1

D.

3 ? 1,0

【答案】B. 【解析】设点 P( 2 cos? , sin ? ) ,则 d ?

2 cos? ? sin ? ? 3 2

?

3 sin(? ? ? ) ? 3 2

当 sin(? ? ? ) ? ?1 时, d max ?

3? 3 3? 3 ;当 sin(? ? ? ) ? 1 时, d min ? ,选 B. 2 2

3. M 是椭圆

x2 y 2 F1 , F2 是它的两个焦点, I 是 ?MF1F2 的内心, ? ? 1 不在坐标轴上的点, 9 4

MI 的延长线交 F1 F2 于 N ,则
【答案】

MI NI

?

.

3 5

【解析】法一:如图,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 G ,过 I 作

x 轴的垂线,垂足为 H ,在 ?MF1F2 中
S?MF1F2 ? S?MF1I ? S?MF2 I ? S?F1F2 I 则
IH 1 F1 F2 MG ? ( MF1 ? MF2 ? F1 F2 ) 代入数据得 c MG ? (a ? c) IH 2 2
所以

MG

MG MN MI ? IN MI 1 1 ? ? 1,又 ?MNG ? ?INH ,则 ? ? ? ?1 ? ?1 IH e IH IN IN IN e
? 1 3 . ? e 5

所以

MI NI

法二:解法二:因为 I 是 ?MF 1F 2 的内心,所以 IF2 平分 ?MF2 N , MN 平分 ?F1MF2 ,由角平分线定理,则

F2 M MI MF2 MF1 MI MF1 ? MF2 2a 1 3 ,又由等比定理,则 . ? ? ? ? ? ? ? F2 N IN F2 N F1 N IN F1 N ? F2 N 2c e 5

uu u r uur x2 y 2 4. P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 上一点, B 为椭圆的上顶点,O 为坐标原点,若 OP ? BP ? 0 ,则椭 b a

个性化教案

圆离心率的取值范围为 【答案】 e ? (

.

2 ,1) 2

【解析】依据题意 OP ? BP ? 0 ,则 ?OPB ? 90? ,如图 则 P 点的轨迹是以 OB ? a 为直径, (0, ) 为圆心的圆

uu u r uur

a 2

a a x 2 ? ( y ? ) 2 ? ( ) 2 ……………………(1) 2 2 又因为 P 点在椭圆上,则

x2 y 2 ? ? 1 ……………………(2) b2 a 2
联立(1) (2)消掉 x 得

c2 2 y ? ay ? b 2 ? 0 2 a ? ? a2 ? 4 ? c2 2 2 ? b ? 0 ,且 e ? (0,1) ,解得 e ? ( ,1) 2 a 2

5.已知 P 是椭圆

x2 y 2 2 2 ,过点 P 作圆 x ? y ? 1 的两条切线,切 ? ? 1上的一点(非顶点) 4 9

点分别为 A, B ,直线 AB 分别与 x 轴, y 轴交于 M , N 两点. (1)证明: P, O, A, B 四点共圆.(其中 O 为坐标原点) (2)求 MN 的最小值. 【答案】 (1)答案见解析(2)

5 6
2 2

【解析】如图 C (6) .(1)证明:因为 PA, PB 都与圆 x ? y ? 1 相切, A, B 是切点,则

PA ? OA, PB ? OB ,即 ?PAO ? ?PBO ? 90? ,所以 P, O, A, B 四点共圆.

x0 y 0 , ) (2) P, O, A, B 四点共圆,直径为 PO ,设 P( x0 , y0 ) ,则圆心为 2 2 ,圆的方程为 (

(x ?

2 x0 2 y x 2 ? y0 ) ? ( y ? 0 )2 ? 0 ……………………① 2 2 4

x2 ? y 2 ? 1……………………②

个性化教案

①-②整理得 x0 x ? y0 y ? 1 ,直线 AB 的方程为 x0 x ? y0 y ? 1 因 为 直 线 AB 与 y 轴 交 点 分 别 为 M , N , 则 y M ?

1 , y0

xN ?

1 x0

2 2 MN ? xN ? yM ?

1 1 ? 2 ,又 P( x0 , y0 ) 在椭圆上,则 2 x0 y0

2 x0 y2 ? 0 ?1 4 9

(

2 2 2 2 y0 y0 1 1 1 1 x0 13 x0 13 2 25 ? ) ? 1 ? ( ? )( ? ) ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 x0 y0 x0 y0 4 9 36 4 y0 9 x0 36 6 36

MN ?

1 1 25 5 ? 2 ? ? ,所以 MN 2 x0 y0 36 6

min

?

5 . 6

3 6. 已知,椭圆 C 以过点 A(1, ) ,两个焦点为(-1,0) (1,0). 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值. 【答案】 (1)

x2 y 2 1 ? ? 1 (2) 2 4 3
x2 y2 ? ? 1. 1 ? b 2 4b 2

【解析】 (1)由题意,c=1,可设椭圆方程为 因为 A 在椭圆上,所以 所以椭圆方程为

3 1 9 ? 2 ? 1 ,解得 b 2 =3, b 2 = ? (舍去). 2 1? b 4b 4

x2 y 2 ? ? 1. 4 3 x2 y 2 3 ,代入 ? ? 1得 2 4 3

(2)设直线AE方程:得 y ? k ( x ? 1) ?

3 (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2
3 设E( xE , yE ) ,F( xF , yF ) .因为点A(1, )在椭圆上,所以 2

3 4( ? k ) 2 ? 12 , xE ? 2 3 ? 4k 2

个性化教案

yE ? kxE ?

3 ?k . 2

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ? k 代 k ,可得

3 4( ? k ) 2 ? 12 , xF ? 2 3 ? 4k 2
yF ? ? kxF ? 3 ?k. 2

所以直线 EF 的斜率 k EF ? yF ? yE ? ?k ( xF ? xE ) ? 2k ? 1 . xF ? xE xF ? xE 2

1 即直线 EF 的斜率为定值,其值为 . 2


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