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选择填空专题练习 数列及答案


选择填空数列
一、选择题 1.等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于 A.1 【答案】 :C [解析]∵ S 3 ? 6 ?
3 2 ( a1 ? a 3 ) 且 a 3 ? a1 ? 2 d a1 =4 ? d=2 .故选 C
2
.

B

5 3

C.- 2

D3

2.已知等比数列 { a n } 的公比为正数,且 a 3 · a 9 =2 a 5 , a 2 =1,则 a 1 =
1 2

A.

B.

2 2

C.

2

D.2

【答案】B 【解析】 设公比为 q ,由已知得 a1 q ? a1 q ? 2 ? a1 q
2 8 4

?

2

,即 q ? 2 ,又因为等比数列 { a n } 的公比
2

为正数,所以 q ?

2 ,故 a1 ?

a2 q

?

1 2

?

2 2

,选 B
2n

, 3.已知等比数列 { a n } 满足 a n ? 0 , n ? 1, 2? ,且 a 5 ? a 2n ? 5 ? 2

( n ? 3 ),则当 n ? 1 时,

lo g2 a 1 ? lo g2 a 3 ? ? ? lo g2 a n ? 1 ? 2

A. n (2 n ? 1)

B. ( n ? 1)
2

2

C. n
2n

2

D. ( n ? 1)
n

2

2n 【解析】 a 5 ? a 2 n ? 5 ? 2 ( n ? 3) 得 a n ? 2 由

a , n ? 0 , a n ? 2 , log 2 a 1 ? log 2 a 3 ? ? ? ? ? 则

log 2 a 2 n ?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) ? n ,选 C.
2

4.已知

为等差数列,

,则

等于

A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵ a1 ? a 3 ? a 5 ? 105 即 3 a 3 ? 105 ∴ a 3 ? 35 同理可得 a 4 ? 33 ∴公差 d ? a 4 ? a 3 ? ? 2 ∴ a 20 ? a 4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。 【答案】B 5.公差不为零的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .若 a 4 是 a 3与 a 7 的等比中项, S 8 ? 32 ,则 S 10 等于 A. 18 答案:C
2

B. 24

C. 60

D. 90

.

【 解 析 】 由 a 4 ? a 3 a 7 得 ( a1 ? 3 d ) ? ( a1 ? 2 d )( a1 ? 6 d ) 得 2 a1 ? 3 d ? 0 , 再 由
2

S 8 ? 8 a1 ?

56 2

d ? 32 得 d ? 60 ,.故选 C

2 a1 ? d ? 7

8 则 d ? 2, a1 ? ? 3 , 所 以

S 1 0? 10 a ?1

90 2

6.设 S n 是等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,已知 a 2 ? 3 , a 6 ? 11 ,则 S 7 等于 A.13 解: S 7 ?
7( a1 ? a 7 ) 2 ?

B.35
7( a 2 ? a 6 ) 2 ? 7(3 ? 11) 2

C.49
? 49. 故选 C.

D. 63

? a 2 ? a1 ? d ? 3 ? 或由 ? ? a 6 ? a1 ? 5 d ? 11

? a1 ? 1 , a 7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ? ?d ? 2
? 49. 故选 C.

所以 S 7 ?

7( a1 ? a 7 ) 2

?

7(1 ? 13) 2

7.已知 ? a n ? 为等差数列,且 a 7 -2 a 4 =-1, a 3 =0,则公差 d= (A)-2 (B)-
1 2

(C)

1 2

(D)2
1 2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=- 【答案】B 8.设等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n
7 3

,若

S6 S3

=3 ,则

S9 S6

=

(A) 2

(B)
S6 S3
3

(C)
3

8 3

(D)3

【解析】设公比为 q ,则

?

(1 ? q ) S 3 S3
6

=1+q3=3 ?

q3=2

于是 【答案】B

S9 S6

?

1? q ? q 1? q
3

?

1? 2 ? 4 1? 2

?

7
.

3

9.等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 s n ,且 4 a1 ,2 a 2 , a 3 成等差数列。若 a1 =1,则 s 4 = (A)7 (B)8 (3)15 (4)16
2 2

解析: ? 4 a1 ? a 3 ? 4 a 2 , 即 4 a1 ? a1 q ? 4 a1q ,? q ? 4 q ? 4 ? 0,? q ? 2, S 4 ? 15 ,选 C. 10.等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a 1 =1, a 2 是 a 1 和 a 5 的等比中项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 【答案】B

B. 100

C. 145

D. 190

【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4 d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S 10 =100
2

11.设 x ? R , 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 { A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 【答案】B
? 5 ? 1? ? ? 【解析】 可分别求得 ? ?? ? 2 ? ? ? 5 ?1 2

5 ?1 2

},[

5 ?1 2

],

5 ?1 2

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

,[

5 ?1 2

] ? 1 .则等比数列性质易得三者构成等比

数列. 12.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:

.

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地,称图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正 方形数的是 A.289 【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项 a ?
n

B.1024

C.1225

D.1378

n 2

( n ? 1) ,同理可得正方形数构成的数

列通项 bn ? n ,则由 bn ? n ( n ? N ? ) 可排除 A、D,又由 a ?
2 2

n

n 2

( n ? 1) 知 a n 必为奇数,

故选 C. 13.等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a m ?1 ? a m ?1 ? a m ? 0 , S 2 m ?1 ? 38 ,则 m ?
2

(A)38 【答案】C

(B)20

(C)10

(D)9

.

【解析】因为 ? a n ? 是等差数列,所以, a m ?1 ? a m ?1 ? 2 a m ,由 a m ?1 ? a m ?1 ? a m ? 0 ,得:
2

2 a m - a m =0,所以, a m =2,又 S 2 m ?1 ? 38 ,即
2

( 2 m ? 1)( a 1 ? a 2 m ?1 ) 2

=38,即(2m-1)

×2=38,解得 m=10,故选.C。
a 14.设 ? a n ? 是公差不为 0 的等差数列, 1 ? 2 且 a1 , a 3 , a 6 成等比数列, ? a n ? 的前 n 项和 S n = 则

A.

n

2

4

?

7n 4

B.

n

2

3

?

5n 3

C.

n

2

2

?

3n 4

D. n ? n
2

【答案】A
d 解析设数列 { a n } 的公差为 d ,则根据题意得 (2 ? 2d )2 ? 2? (2? 5 ),解得 d ?
d ? 0 (舍去) ,所以数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? 2 n ?

1 2



n ( n ? 1) 2

?

1 2

?

n

2

4

?

7n 4

15.已知 ? a n ? 为等差数列, a1 + a 3 + a 5 =105, a 2 ? a 4 ? a 6 =99,以 S n 表示 ? a n ? 的前 n 项和, 则使得 S n 达到最大值的 n 是 (A)21 (B)20 (C)19 (D) 18 [解析]:由 a1 + a 3 + a 5 =105 得 3 a 3 ? 105, 即 a 3 ? 35 ,由 a 2 ? a 4 ? a 6 =99 得 3 a 4 ? 99 即
? an ? 0 a 4 ? 33 ,∴ d ? ? 2 , a n ? a 4 ? ( n ? 4) ? ( ? 2) ? 41 ? 2 n ,由 ? 得 n ? 20 ,选 B ? a n ?1 ? 0

16.数列 { a n } 的通项 a n ? n (cos
2

2

n? 3

? sin

2

n? 3

) ,其前 n 项和为 S n ,则 S 30 为

A. 470 答案:A 【解析】由于 {cos
1 ?2
2 2
2

B. 490
n? 3
2

C. 495

D. 510

? sin
2

2

n? 3
2

} 以 3 为周期,故

S 30 ? ( ?
10

2

? 3 ) ? (?

4 ?5 2
2

? 6 ) ? ? ? (?
2

28 ? 29
2

2

2

? 30 )
2

?

? [?
k ?1

(3 k ? 2) ? (3 k ? 1)
2

2

? (3 k ) ] ?
2

? [9 k ? 2 ] ?
k ?1

10

5

9 ? 10 ? 11 2

? 25 ? 470 故选 A

17.等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a 1 =1, a 2 是 a 1 和 a 5 的等比中项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 【答案】B

B. 100

C. 145

D. 190

.

【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4 d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S 10 =100
2

二、填空题

1. 设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 9 ? 72 ,则 a 2 ? a 4 ? a 9 = 解: ? ? a n ? 是等差数列,由 S 9 ? 72 ,得? S 9 ? 9 a 5 , a 5 ? 8
? a 2 ? a 4 ? a 9 ? ( a 2 ? a 9 ) ? a 4 ? ( a 5 ? a 6 ) ? a 4 ? 3 a 5 ? 24 .



2.设等比数列 { a n } 的公比 q ? 答案:15 【解析】对于 s 4 ?
a1 (1 ? q )
4

1 2

,前 n 项和为 S n ,则

S4 a4

?



1? q

, a 4 ? a1 q ,?
3

s4 a4

?

1? q
3

4

q (1 ? q )
S4 a4

? 15

3.设等比数列 { a n } 的公比 q ?

1 2

,前 n 项和为 S n ,则

?



【命题意图】 此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式, 通过对数列知识点的考 查充分体现了通项公式和前 n 项和的知识联系. 【解析】对于 s 4 ?
a1 (1 ? q )
4

1? q

, a 4 ? a1 q ,?
3

s4 a4

?

1? q
3

4

q (1 ? q )

? 15

.

4.设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,则 S 4 , S 8 ? S 4 , S12 ? S 8 , S16 ? S12 成等差数列.类 比以上结论有:设等比数列 {b n } 的前 n 项积为 T n ,则 T 4 , 列. 答案:
T8 T12 , 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差 T 4 T8
.





T16 T12

成等比数

数列和等比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力

T T T 【解析】对于等比数列,通过类比,有等比数列 {b n } 的前 n 项积为 T n ,则 T 4 , 8 , 12 , 16 T 4 T8 T12

成等比数列.
? 5.若数列 { a n } 满足: a1 ? 1, a n ?1 ? 2 a n ( n ? N ) ,则 a 5 ?

;前 8 项的和 S 8 ?

.(用数字作答) 【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 属于基础知识、基本运算的考 查.
.w m

a1 ? 1, a 2 ? 2 a1 ? 2, a3 ? 2 a 2 4, a 4 ? 2 a3 ? 8, a5 ? 2 a 4 ? 16 ,

易知 S 8 ?

2 ?1
8

2 ?1

? 255 ,∴应填 255.

6. 已 知 数 列 { a n } 满 足 : a 4 n ? 3 ? 1 , a
a 2014 =_________.

4 n ?

?1 0 ,a n2 ?

a n ?n ,

?

N ,a 2009 ? ________ ; 则

【答案】1,0 【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意,得 a 2009 ? a 4? 503 ? 3 ? 1 , a 2014 ? a 2?1007 ? a1007 ? a 4 ? 252 ?1 ? 0 . ∴应填 1,0. 7.设 ? a n ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? a n ? 1( n ? 1, 2,? ) ,若数列 ? b n ? 有连续 四项在集合 ? ? 53, ? 23,19, 37, 82? 中,则 6 q = .
.

【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。

? a n ? 有连续四项在集合 ? ? 54, ? 24,18, 36, 81? ,四项 ? 24, 36, ? 54, 81成等比数列,公比为
q?? 3 2

, 6 q = -9

8.在等差数列 { a n } 中, a 3 ? 7 , a 5 ? a 2 ? 6 ,则 a 6 ? __________ __ .
a1 ? 2 d ? 7 ? ? a1 ? 3 【解析】:设等差数列 { a n } 的公差为 d ,则由已知得 ? 解得 ? ,所以 ?d ? 2 ? a1 ? 4 d ? a1 ? d ? 6
a 6 ? a1 ? 5 d ? 13 .

答案:13. 【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 9.设等比数列{ a n }的前 n 项和为 s n 。若 a 1 ? 1, s 6 ? 4 s 3 ,则 a 4 = 答案:3 解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由 a 1 ? 1, s 6 ? 4 s 3 得 q3=3 故 a4=a1q3=3。
? an ? , 当 a n为 偶 数 时 , ?? 2 若 a 6= 1 , ? 3 a ? 1, 当 a 为 奇 数 时 。 n ? n

10.已知数列 ? a n ? 满足: a 1= m (m 为正整数) a n ?1 , 则 m 所有可能的取值为__________。 11.【答案】4 5 32 【解析】 (1)若 a1 ? m 为偶数,则 ①当
m 4

.

a1 2

为偶, 故 a 2 ?
? ? ? ? ? ?a 6 ? m 32

m 2

a3 ?

a2 2

?

m 4

仍为偶数时, a 4 ?

m 8



m 32

? 1 ? m ? 32

3

②当

m 4

为奇数时, a 4 ? 3 a 3 ? 1 ?
m ?1 4 ? 1 得 m=4。

3 4

m ? 1 ? ? ? ? ? ? a6 ? 4

m ?1 4

3

故4

(2)若 a1 ? m 为奇数,则 a 2 ? 3 a1 ? 1 ? 3 m ? 1 为偶数,故 a 3 ?
? ? ? ? ? ? a6 ? 3m ? 1 16

3m ? 1 2

必为偶数

,所以

3m ? 1 16

=1 可得 m=5
S9 S5 ?

12.设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 5 ? 5 a 3 则

9

.

解:? ? a n ? 为等差数列,?

S9 S5

?

9 a5 5 a3

?9

13.等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 6 S 5 ? 5 S 3 ? 5, 则 a 4 ? 【解析】∵Sn=na1+ n(n-1)d
2 1

.

∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 【答案】
1 3
2 m

14.等差数列{ a n }前 n 项和为 S n 。已知 a m ?1 + a m ? 1 - a 解 析 : 由
a m ?1

=0, S 2 m ?1 =38,则 m=_______ a
2 m

+

a m ?1
m?

=0





2 a m ? a m ? 0, a m ? 0, 2 又 S 2 m ?1 ?
2

? 2 m ? 1? ? a1 ? a
2

?2

? ? 2 m ? 1 ? a m ? 38 ? m ? 10 。
1

答案 10 15.设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 s n ,若 a 6 ? s3 ? 12 ,则 a n ? 答案:2n 解析:由 a 6 ? s3 ? 12 可得 ? a n ? 的公差 d=2,首项 a1 =2,故易得 a n ? 2n. 16.设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 6 ? S 3 ? 12 ,则 lim 答案:1
? a 6 ? 12 ? a1 ? 5 d ? 12 ? a1 ? 2 S S n ?1 n ?1 解析: ? ? ? ? ? S n ? n ( n ? 1) ? n ? ? lim n ? lim ?1 ? 2 2 n? ? n n? ? n n n ?d ? 2 ? a1 ? d ? 12 ? s 3 ? 12

.

.

Sn n
2

n? ?

?

.

17. 等 比 数 列 { a n } 的 公 比 q ? 0 , 已 知 a 2 =1 , a n ? 2 ? a n ?1 ? 6 a n , 则 { a n } 的 前 4 项 和

S4 =
【答案】
15 2

.

【解析】由 a n ? 2 ? a n ?1 ? 6 a n 得: q

n ?1

? q ? 6q
n

n ?1

,即 q ? q ? 6 ? 0 , q ? 0 ,解得:
2

1

q=2,又 a 2 =1,所以, a1 ?
2

1 2

,S4 ? 2

(1 ? 2 )
4

1? 2



15 2



18.将正⊿ABC 分割成 n ( n ≥2, n∈N) 个全等的小正三角形 (图 2, 3 分别给出了 n=2,3 图 的情形) ,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC 的三遍及平行于某边的任一直 线上的数(当数的个数不少于 3 时)都分别一次成等差数列,若顶点 A ,B ,C 处的三个数互 不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n), 则有 f(2)=2, f(3)=
10 3

, f(n)= …,

1 6

(n+1)(n+2)

.

10 1 , ( n ? 1)( n ? 2) 3 6 【 解 析 】 当 n=3 时 , 如 图 所 示 分 别 设 各 顶 点 的 数 用 小 写 字 母 表 示 , 即 由 条 件 知

【答案】 :

a ? b ? c ? 1, x1 ? x 2 ? a ? b , y1 ? y 2 ? b ? c , z1 ? z 2 ? c ? a x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? z1 ? z 2 ? 2( a ? b ? c ) ? 2, 2 g ? x1 ? y 2 ? x 2 ? z1 ? y1 ? z 2 6 g ? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? z1 ? z 2 ? 2( a ? b ? c ) ? 2

.

即g ?

1 3

而 f (3) ? a ? b ? c ? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? z1 ? z 2 ? g ? 1 ?

1 2

?

1 3

?

10 3

进一步可求得 f (4) ? 5 。由上知 f (1) 中有三个数, f (2) 中 有 6 个数, f (3) 中共有 10 个 数相加 , f (4) 中有 15 个数相加….,若 f ( n ?1) 中有 a n ?1 ( n ? 1) 个数相加,可得 f ( n ) 中有
( a n ?1 ? n ? 1) 个数相加,且由

3 3 3 3 n ?1 , 所以 可得 f ( n ) ? f ( n ? 1) ? 3 n ?1 n ?1 n n ?1 n n ?1 3 f ( n ) ? f ( n ? 1) ? ? f ( n ? 2) ? ? ? ... ? ? ? ? ? f (1) 3 3 3 3 3 3 3 n ?1 n n ?1 3 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ( n ? 1)( n ? 2) = 3 3 3 3 3 3 6

f (1) ? 1 ?

3 3

, f (2) ?

6 3

?

3?3

? f (1) ?

3

, f (3) ?

10

? f (2) ?

4

, f (4) ? 5 ? f (3) ?

5 3

, ...

19. 设 a1 ? 2 , a n ?1 ? .
n ?1

2 an ? 1

, bn ?

an ? 2 an ? 1

, n? N

*

, 则 数 列 ? bn ? 的 通 项 公 式

bn =

.

【答案】: 2

【解析】由条件得 bn ?1

?2 a n ?1 a ?2 ? ? ?2 n ? 2 bn 且 b1 ? 4 所以数列 ? b n ? 是首 2 a n ?1 ? 1 an ? 1 ?1 a n ?1 a n ?1 ? 2
n ?1

2

项为 4,公比为 2 的等比数列,则 bn ? 4 ? 2

?2

n ?1


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