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河南省信阳高中2013届高三第五次月考数学理科


河南省信阳高中 2013 届高三第五次月考数学(理)试题
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 M ? ?0,1,2? , N ? ?y | y ? 2 x, x ? M ? ,则集合 M ? N ? ( A. ?0? B. ?0,1? )
2 2 B.若 | a |? b ,则 a ? b 2 2 D.若 a ?| b | ,则 a ? b



1 C. ? ,2?

D. ?0,2?

2. a, b ? R ,下列命题正确的是(
2 2 A.若 a ? b ,则 a ? b 2 2 C.若 a ?| b | ,则 a ? b

3.对于命题 p 和命题 q ,“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件是( A. p ? q 为假命题 C. p ? q 为真命题



B. (?p) ? (?q) 为假命题 D. (?p) ? (?q) 为真命题

4.设函数 f ? x ? ? x sin x ? cos x 的图像在点 t , f ? t ? 处切线的斜率为 k ,则函数

?

?

k ? g ? t ? 的部分图像为(

)

5. 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 8a2 ? a5 ? 0 , 若 则下列式子中数值不确定的是 (



A.

a5 a3

B.

S5 S3

C.

a n ?1 an

D.

S n ?1 Sn

6.过双曲线

x2 y 2 2 2 2 , ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作圆 x ? y ? a 的切线 FM (切点为 M ) 2 a b

交 y 轴于点 P . 若 M 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率是

A. 2

B. 2

C.

3

D. 5

1

7.函数 f (x ) 满足 f (0) ? 0 ,其导函数 f ?(x ) 的图象如图所示, 则 函 数 f (x ) 的 图 象 与 x 轴 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为 ( A. 1 ) B.

4 3

C. 2

D.

8 3
?? ? ? 对x ? R 恒成立,且 ?6?

8.已知函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? ,其中 0 ? ? ? 2? ,若 f ? x ? ? f ?

?? ? f ? ? ? f ?? ? ,则 ? 等于 ?2?
A.

? 6

B.

5? 6

C.

7? 6

D.

11? 6

9. 抛物线 y 2 ? 4x的焦点为F , 准线为 l,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60°的
直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AB⊥l,垂足为 B,则四边形 ABEF 的面积 等于 ( ) A. 3 3 B. 4 3 C. 6 3 D. 8 3 )

x y x y x ?1 y ?1 10. 若实数 x 、 y 满足 9 ? 9 ? 3 ? 3 ,则 ? ? 3 ? 3 的取值范围是(

A. 0 ? ? ? 3

B. 0 ? ? ? 6

C. 3 ? ? ? 6

D. ? ? 6

?? x 2 ? ax, x ? 1, 11. 已知函数 f ( x) ? ? 若存在 x1 , x2 ? R且x1 ? x2 , 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, ?2ax ? 5, x ? 1,
则实数 a 的取值范围是 A. a<2 B. a<4 C. 2 ? a ? 4 D. a>2

12.设 P(x,y),Q(x′,y′) 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)上的两点,则下列四个结论: a 2 b2
2

① a2+b2≥(x+y)2;② 其中正确的个数为

1 1 ?1 1? xx? yy? a 2 b2 ? 2 ? ? ? ? ;③ 2 ? 2 ? 4 ;④ 2 ? 2 ? 1 . 2 x y a b x y ?a b?

(

)

(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 h 二 填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的横线上) 13. 函数 y ?

x ?1 ?

1 的定义域是______ . lg(3 ? x)

2

14.已知 tan( x ?

?
4

) ?2 则

tan x 的值为__________. tan 2 x

15 ?ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则

??? ??? ? ? CA ? CB ?



? y ? x, ?2 x ? 3 y ? 0, ? 16 . 不 等 式 组 ? 表示的平面区域是三角形,则实数 a 的取值范围 x ? y ? 10, ? ? x ? 3 y ? a ? 0. ?
是 .



解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17(本小题满分 10 分)设函数 f ( x ) ?| x ? 4 | ? | x ? a | (a ? 1) . (Ⅰ)若 f ( x ) 的最小值为 3,求 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求使得不等式 f ( x ) ? 5 成立的 x 的取值集合.

18(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a , an?1 ?

(4n ? 6)an ? 4n ? 10 ( n ? N? ) . 2n ? 1
. .

?a ? 2? (Ⅰ)判断数列 ? n ? 是否为等比数列?若不是,请说明理由;若是,试求出通项 an ; ? 2n ? 1 ?
(Ⅱ)如果 a ?1 时,数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,试求出 S n .

19 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 sin x ? 1( x ? R) .
2

(Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , a ?

3 , A 为锐角,且

3

f (A ?

?
8

)?

2 ,求 ?ABC 面积 S 的最大值. 3

20(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log 4 (4 x ? 1) ? kx (k ? R) 为偶函数. (Ⅰ) 求 k 的值; (Ⅱ) 若方程 f ( x) ? log 4 (a ? 2 x ? a) 有且只有一个实数解, 求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为

3 2 的椭圆过点( 2, ). 2 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点.满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率 依次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围。

22. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? aex , g ( x) ? ln x ? ln a, 其中 a 为常数, 且函数 y ? f ( x)和y ? g ( x) 的图象 在其与坐标轴的交点处的切线互相平行。 (Ⅰ)求此平行线的距离; (Ⅱ)若存在 x 使不等式

x?m ? x 成立,求实数 m 的取值范围; f ( x)

( III ) 对 于 函 数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 公 共 定 义 域 中 的 任 意 实 数 x0 , 我 们 把

| f ( x0 ) ? g ( x0 ) | 的值称为两函数在 x0 处的偏差,求证:函数 y ? f ( x)和y ? g ( x) 在其
公共定义域内的所有偏差都大于 2。

4

高三第五次大考理科数学答案
一、选择题 1.D 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B 7.B 8.C 9.C 10.C 11.B 12.D

二、填空题 13. [1,2) ? (2,3) 三、计算题

4 14. 9

15.

3

16.(—10,—6]∪[0,+∞)

18、解: (1)? a n ?1 ? 2 ?

( 4n ? 6)(a n ? 2) (4n ? 6)a n ? 4n ? 10 ?2 ? , 2n ? 1 2n ? 1

a n ?1 ? 2 (a ? 2) ? 2? n .…………2 分 2n ? 3 2n ? 1 a ?2 a?2 令 bn ? n ,则 bn?1 ? 2bn ,且 b1 ? .…………3 分 3 2n ? 1 an ? 2 } 不是等比数列. ∴当 a ? ?2 时, b1 ? 0 ,则 bn ? 0 ,数列 { 2n ? 1 a ?2 } 是等比数列,且公比为 2.…………6 分 当 a ? ?2 时, b1 ? 0 ,则数列 { n 2n ? 1 a ? 2 a ? 2 n ?1 ? ?2 . ? bn ? b1 ? 2 n?1 ,即 n 2n ? 1 3 (a ? 2)( 2n ? 1) n ?1 ? 2 ? 2 .……7 分 解得 a n ? 3 (2)由(1)知,当 a ? 1 时, an ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 ,…………9 分 ?

S n ? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? 2n .…………10 分
由错位相减法,设 Tn ? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1
2

则 2Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? …… ? ? 2n ? 1? ? 2 ……②
n

……①

②-①得

?Tn ? 3 ? 2 ? 2 ? 22 ? ?????? ?2n ?1 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2 n ? 3? 2? 2 ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2 n ? ?1 ? ? ?2n ? 1? ? 2 n 1? 2

Tn ? (2n ?1) ? 2n ? 1,

5

∴ S n ? Tn ? 2n ? (2n ? 1)(2 n ? 1) .…………12 分

20

6

(1) a ? 1, t ? ?1 不合题意

?? ? a 2 ? 4(1 ? a) ? 0 ? (2)*式有一正一负根 ? 1 ? t1t 2 ? 1 ? a ? 0 ?
(3)两相等 ? ? 0 ? a ? ?2 2 ? 2 综上所述? a ? 1 或 a ? ?2 ? 2 2

经验证满足 a ? 2 x ? a ? 0

?a ?1

x 经验证 a ? 2 ? a ? 0

?a ? ?2 ? 2 2

7

12 分

12 分

12 分

8

9


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