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2013建模作业


数学建模短学期作业 4
1、某卡车公司拨款 8000000 元用于购买新的运输工具,可供选择的运输工具有三种。运输 工具 A 载重量为 10t,平均时速为 45km/h,价格为 260000 元;运输工具 B 载重为 20t,平 均时速为 40km/h,价格为 360000 元;运输工具 C 是 B 的改进,增加了可代一个司机使用 的卧铺,这一改变使载重量聊为 18t,平均运行速度仍然是 40km/h,但价格为 420000 元。 运输工具 A 需要一名司机,如果每天三班工作,每天平均可以运行 18h,当地法律规定运输 工具 B 和 C 需要两名司机,每天三班工作时 B 平均可以运行 18h,而 C 可以运行 21h,该 公司目前每天有 150 名司机可供使用, 而且在短期内无法招募到其他训练有素的司机。 当地 的工会禁止任何一名司机每天工作超过一个班次。此外,维修设备有限,所以购买的运输工 具的数量不能超过 30 辆。建立数学模型,帮助公司确定购买每种运输工具的数量,使工厂 每天的总运力(t.km)最大。 解: 由题意可知,有以下表格: 运输工具 A B C 载重量(t) 10 20 18 平均时速(km/h) 45 40 40 价格(元) 260000 360000 420000 司机人数(人) 1 2 2 运行时间(h) 18 18 21

设 A,B,C 三种运输工具分别购买 x1,x2,x3,载重量分别为 a1,a2,a3,平均时速为 v1,v2,v3,价格为 p1,p2,p3,运行时间为 t1,t2,t3,每辆车司机人数为 n1,n2,n3, 工厂每天总运力为 w。 则总运力 w=v1*t1*a1*x1+v2*t2*a2*x2+v3*t3*a3*x3, 有以下方程组: x1+x2+x3<=30 p1*x1+p2*x2+p3*x3<=8000000 3*n1*x1+3*n2*x2+3*n3*x3<=150,即 n1*x1+n2*x2+n3*x3<=50 程序如下所示: MAX=10*45*18*x1+20*40*18*x2+18*40*21*x3; x1+x2+x3<30; 260000*x1+360000*x2+420000*x3<8000000; x1+2*x2+2*x3<50; @gin(x1); @gin(x2); @gin(x3); end 输出结果:
Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: 317520.0 317520.0

Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations:

0.000000 0 6

Variable X1 X2 X3 Row 1 2 3 4

Value 0.000000 21.00000 1.000000 Slack or Surplus 317520.0 8.000000 20000.00 6.000000

Reduced Cost -8100.000 -14400.00 -15120.00 Dual Price 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000

由结果分析可得,总运力 w 的最大值为 317520 元,购买 0 辆 A 车,21 辆 B 车,1 辆 C 车。

2、某农户拥用 100 亩土地和 25000 元可供投资。每年冬季(9 月中旬至来年 5 月中旬) ,该 家庭的成员可以贡献 3500h 的劳动时间,而夏季为 4000h。如果这些劳动时间有富裕,该家 庭中的年轻成员将去附近的农场打工,冬季每小时 6.8 元,夏季每小时 7.0 元。现金收入来 源于三种家作物(大豆、玉米和燕麦)以及两种家禽(奶牛和母鸡) 。农作物不需要付出投 资,但每头奶牛需要 400 元的初始投资,每只母鸡需要 3 元的初始投资。每头牛需要使用 1.5 亩土地,并且冬季需要付出 100h 的劳动时间,夏季需要付出 50h 的劳动时间,每年为家 庭产生的净现金收入为 450 元;每只母鸡相应的数字为:不占土地,冬季 0.6h,夏季 0.3h, 年净收入为 3.5 元,养鸡厂房最多只能容纳 3000 只母鸡,栅栏的大小限制了最多只能饲养 32 头奶牛。根据估计,三种农作物每种植一亩需要的劳动时间和收入如下表所示,建立数 学模型,帮助确定每种农作物应该种植多少亩,以及奶牛和母鸡应该各蓄养多少,使年净收 入最大。 农作物 大豆 玉米 燕麦 解: 家禽 冬季劳动时 间(h) 100 夏季劳动时 间(h) 50 年净现金收 入(元) 450 初 始 投 资 (元) 400 最多饲养 占用土 地(亩) 1.5 冬季劳动时间(h) 20 35 10 夏季劳动时间(h) 30 75 40 年净现金收入(元/亩) 175.0 300.0 120.0



32 头



0.6

0.3

3.5

3

3000 只

0

设总的年净现金收入为 w,同时设种植大豆、玉米、燕麦的数量分别为 n1,n2,n3,饲养 鸡、牛的数目为 n4,n5,冬季打工时间为 n6,夏季打工时间为 n7。 则有,种植农作物的收入为 w1=175*n1+300*n2+120*n3 饲养家禽的收入为 w2=450*n5+3.5*n4 打工收入为 w3=6.8*n6+7*n7 那么,w=w1 +w2+w3=175*n1+300*n2+120*n3+450*n5+3.5*n4+6.8*n6+7*n7 则有以下方程组: n1+n2+n3+1.5*n5<=100 n4<=3000 n5<=32 400*n5+3*n4<=25000 20*n1+35*n2+10*n3+100*n5+0.6*n4+n6<=3500 30*n1+75*n2+40*n3+50*n5+0.3*n4+n7<=4000 程序如下所示: MAX=175*n1+300*n2+120*n3+450*n5+3.5*n4+6.8*n6+7*n7; n4<=3000; n5<=32; n1+n2+n3+1.5*n5<=100; 3*n4+400*n5<=25000; 20*n1+35*n2+10*n3+0.6*n4+100*n5+n6<=3500; 30*n1+75*n2+40*n3+0.3*n4+50*n5+n7<=4000; @gin(n4); @gin(n5); @gin(n6); @gin(n7); end 输出结果:
Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: 51800.00 51800.00 0.000000 0 5

Variable N1 N2 N3 N5

Value 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

Reduced Cost 0.000000 137.5000 113.3333 -158.3333

N4 N6 N7 Row 1 2 3 4 5 6 7

0.000000 3500.000 4000.000 Slack or Surplus 51800.00 3000.000 32.00000 100.0000 25000.00 0.000000 0.000000

-1.750000 -6.800000 -1.166667 Dual Price 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 5.833333

由结果分析可得,不种植农作物,不饲养家禽,出去打工,年净收入最大值为 51800 元。

3、某储蓄所每天的营业时间是上午 9 时到下午 5 时。根据经验,每天不同时间段所需要的 服务员数量如下表所示,储蓄所可以雇用全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬 100 元,从上午 9 时到下午 5 时工作,但中午 12 时到下午 2 时之间必须安排 1h 的午餐时间。储 蓄所每天可以雇用不超过 3 名的半时服务员, 每个半时服务员必须连续工作 4h, 报酬 40 元。 问该储蓄所应该如何雇用全时和半时两类服务员。 如果不能雇用半时服务员, 每天至少增加 多少费用?如果雇用的半时服务员的数量没有限制,每天可以减少多少费用? 时间段/时 服务员数量/人 9~10 4 10~11 3 11~12 4 12~1 6 1~2 5 2~3 6 3~4 8 4~5 8

解: 设总的费用用 Q 表示,设全时的人数为 m,半时的人数为 n,那么 n 为每个时间段增加的半 时人数之和,设每个时间段的半时增加的人数为 bi,设 p 为每种服务人员的费用。则 Q =p1*a+p2*b 。 由题意可知,在 12 到 1,1 到 2 这两个时间段内全时人员必须进行吃饭,设在 12 到 1 点之 间吃饭人数为 y,每个时间段的人数必须不少于所要求的服务员的数量。 第一问:问该储蓄所应该如何雇用全时和半时两类服务员 程序如下所示: Model: min=a*100+(b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8)*40; a+b1>=4; a+b1+b2>=3; a+b1+b2+b3>=4; a+b1+b2+b3+b4-y>=6; y<=a; b2+b3+b4+b5+y>=5; b3+b4+b5+b6+a>=6; b4+b5+b6+b7+a>=8;

b5+b6+b7+b8+a>=8; b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8<=3; @gin(a); @gin(y); @gin(b1); @gin(b2); @gin(b3); @gin(b4); @gin(b5); @gin(b6); @gin(b7); @gin(b8); end 输出结果:
Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: 820.0000 820.0000 0.000000 0 22

Variable A B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 Y Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Value 7.000000 0.000000 2.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 2.000000 Slack or Surplus 820.0000 3.000000 6.000000 5.000000 1.000000 5.000000 0.000000 2.000000 0.000000

Reduced Cost 100.0000 40.00000 40.00000 40.00000 40.00000 40.00000 40.00000 40.00000 40.00000 0.000000 Dual Price -1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

10 11

0.000000 0.000000

0.000000 0.000000

由结果分析可得,最少需要花费820元雇佣服务员,其中全时服务员7人,10到11点雇佣半时 服务员2人,1到2点雇佣半时服务员1人。 第二问:如果不能雇用半时服务员,每天至少增加多少费用 Model: min=a*100; a>=4; a>=3; a>=4; a-y>=6; y<=a; y>=5; a>=6; a>=8; a>=8; @gin(a); @gin(y); end 输出结果:
Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: 1100.000 1100.000 0.000000 0 0

Variable A Y Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Value 11.00000 5.000000 Slack or Surplus 1100.000 7.000000 8.000000 7.000000 0.000000 6.000000 0.000000 5.000000 3.000000

Reduced Cost 100.0000 0.000000 Dual Price -1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

10

3.000000

0.000000

由结果分析可得,总费用为1100元,雇佣11名全时服务员。 第三问:如果雇用的半时服务员的数量没有限制,每天可以减少多少费用 Model: min=a*100+(b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8)*40; a+b1>=4; a+b1+b2>=3; a+b1+b2+b3>=4; a+b1+b2+b3+b4-y>=6; y<=a; b2+b3+b4+b5+y>=5; b3+b4+b5+b6+a>=6; b4+b5+b6+b7+a>=8; b5+b6+b7+b8+a>=8; @gin(a); @gin(y); @gin(b1); @gin(b2); @gin(b3); @gin(b4); @gin(b5); @gin(b6); @gin(b7); @gin(b8); end 输出结果:
Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: 560.0000 560.0000 0.000000 0 2

Variable A B1 B2 B3 B4 B5 B6

Value 0.000000 6.000000 0.000000 0.000000 0.000000 8.000000 0.000000

Reduced Cost 100.0000 40.00000 40.00000 40.00000 40.00000 40.00000 40.00000

B7 B8 Y Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.000000 0.000000 0.000000 Slack or Surplus 560.0000 2.000000 3.000000 2.000000 0.000000 0.000000 3.000000 2.000000 0.000000 0.000000

40.00000 40.00000 0.000000 Dual Price -1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

由结果分析可得, 总费用为 560 元, 雇佣 0 名全是服务员, 到 10 点雇佣 6 名半时服务员, 9 1 到 2 点雇佣 8 名半时服务员。

4、某海岛小有 12 个主要的居民点,每个居民点的位置(用平面坐标 x,y 表示,距离单位: km)和居住的人数(R)如下表所示,现在准备在岛上建立一个服务中心为居民提供各种服 务,那么服务中心应该建立在何处? 1 x y R 0 0 600 2 8.20 0.50 1000 3 0.50 4.90 800 4 5.70 5.00 1400 5 0.77 6.49 1200 6 2.87 8.76 700 7 4.43 3.26 600 8 2.58 9.32 800 9 0.72 9.96 1000 10 9.76 3.16 1200 11 3.19 7.20 1000 12 5.55 7.88 1100

解: 由题意分析,设服务中心建立的地点为(x1,y1) ,每个人到该服务中心的总路程为 S。 则有,S= (R ? ((x1 ? x(i))^2 + (y1 ? y(i))^2)^1/2) 则有以下方程组: min(x)<x1<max(x) min(y)<y1<max(y) S=sum(R*((x1-x(i))^2+(y1-y(i))^2)^1/2) 程序如下所示:
Model: sets: location/1..12/:x,y,R; endsets data: x=0,8.2,0.5,5.7,0.77,2.87,4.43,2.58,0.72,9.76,3.19,5.55; y=0,0.5,4.9,5,6.49,8.76,3.26,9.32,9.96,3.16,7.2,7.88;

R=600,1000,800,1400,1200,700,600,800,1000,1200,1000,1100; enddata min=@sum(location:((x-x1)^2+(y-y1)^2)^(1/2)*R); end

输出结果:
Local optimal solution found. Objective value: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: 44236.04 0.000000 5 138

Variable X1 Y1 X( 1) X( 2) X( 3) X( 4) X( 5) X( 6) X( 7) X( 8) X( 9) X( 10) X( 11) X( 12) Y( 1) Y( 2) Y( 3) Y( 4) Y( 5) Y( 6) Y( 7) Y( 8) Y( 9) Y( 10) Y( 11) Y( 12) R( 1) R( 2) R( 3) R( 4)

Value 3.601028 6.514223 0.000000 8.200000 0.5000000 5.700000 0.7700000 2.870000 4.430000 2.580000 0.7200000 9.760000 3.190000 5.550000 0.000000 0.5000000 4.900000 5.000000 6.490000 8.760000 3.260000 9.320000 9.960000 3.160000 7.200000 7.880000 600.0000 1000.000 800.0000 1400.000

Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

R( 5) R( 6) R( 7) R( 8) R( 9) R( 10) R( 11) R( 12) Row

1200.000 700.0000 600.0000 800.0000 1000.000 1200.000 1000.000 1100.000 Slack or Surplus

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 Dual Price

由结果分析可得,服务中心建的地址为(3.60,6.51) ,总的路程为 44236.04。


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