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高中数学3.1.1《实数指数幂及其运算》课件2新人教B版必修


3.1 指数与指数函数

3.1.1实数指数幂及其运算
自学提纲 1 幂,底数,指数的形式 2 整数指数幂的概念及运算 3分数指数幂的概念及运算

4 无理指数幂的概念及运算

1整数指数幂
复习:正整指数幂
a n(n个a相乘)叫做a的n次幂, a叫做幂的底数,n叫做幂的指数

推广:正整指数幂→负整指数幂
3 ? a5 a 1 2 ?a ? 5 ? 2 ? 3 ?a a a ? 3 ? a ? a 3?5 ? a ?2 ? ? a5 1 ? 2 ? a ?2 a

于是,我们规定:

a ? 1(a ? 0) 1 ?n a ? n (a ? 0, n ? N ? ) a
0
并且,正整指数运算法则对负整数指数运算依然成立

即整数指数幂的运算法则有:
a m ? a n ? a m?n ( a m ) n ? a mn am m?n ? a ( a ? 0) n a m m n ( ab) ? a ? a (其中m,n均为整数)

复习

2分数指数幂
-2 叫4的平方根 2, 2叫8的立方根 -2叫-8的立方根 2叫32的5次方根 ````

22=4 (-2) 2=4 23=8 (-2)3=-8
25=32 ````

2n=a

2叫a的n次方根

(1)n次方根的定义

若x ? a(n ? 1, 且n ? N ),
n

?

则x叫a的n次方根.

n次方根的个数与n是奇数或是偶数有关

偶次方根有以下性质:
在实数范围内, 正数的偶次方根有两个,且是相反数, 负数没有偶次方根, 零的偶次方根是零。

奇次方根有以下性质:
在实数范围内, 正数的奇次方根是正数。 负数的奇次方根是负数。 零的奇次方根是零。

(2)n次方根的表示 x是a的n次方根
其中n a叫根式,n叫根指数, a叫被开方数
n ? a , n ? 2k ? 1 ? x?? n ? ? ? a , n ? 2k , a ? 0

?k ? N ?
?

? n a n ? a ? ? ? a ( n是奇数) ? ? n ? n (a ) ? ? a ( n是偶数) ? ? ? ?

?

?

即: a

? ?
n

n

与 a 不一定相等

n

n

基础练习3
(1)
4

3

(-8); (2)
4

3

(-10);
( 3 - 5) ;
2

2

(3)
(1) ? 8

(3 -π) ;(4)
(3)? ? 3 (4) 5 ? 3

(2)10

1 (6) (3a - 1) (a ? ). 3
4 4
2 ? (a b)(a ? b) ? (7) ? 2 (a b)(a > b) ? ?

答案 (6)1-3a (7)b-a;a-b

推广:整数指数幂→正分数指数幂
根式与分数指数幂的互化
(a ) ? a
3 1 3 1 ?3 3

?a

?a a
2 3

1 3

?

3

a ? (a ) ? ( a )
2 3 1 3 2

?a

1 ?2 3 1 3

又?a

2?

? ( a 2) ?
3 2

1 3

3

a2
3

还可以看出, ( a) ?

a

2

规定:一般地, a

m n

?

n

a

m

( a ? 0 , m, n 均为正整数) 。 这就是正数的分数指数幂的意义。 规定: a
? m n

?

1 a
m n

( a ? 0 , m, n 均为正整数) 。

规定: 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意 义,0的零次幂没有意义

幂的运算法则的推广: 原整数指数幂的运算法则可推广到有理数。
a? a ? ? a? ? ? ,

?a ?
? ab ?

? ?

?a ,
?a b 。
? ?

??

?

其中 ? , ? ? Q , a ? 0 , b ? 0

3无理指数幂

?作为了解,阅读教材P88

提高练习1
已知 a>0, (1) a
3 a2 1 a2
1 a2

?a

?

1 2

=3,求下列各式的值: ;
1 2

?a
1 2

?1
?


5

(2)a ? a

(3)

? ?

3 ? a 2 1 ? a 2



提高练习2
x ?2 ? y ?2 x
2 ? 3

?y

2 ? 3

?

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y

?

2 3

巧用因式分解法
? (x ) ? ( y ) x
2 ? 3 ? 2 3 3 ? 2 3 3

?y

2 ? 3

?

(x ) ? ( y ) x
? 2 3

?

2 3 3

?

2 3 3

?y

?

2 3

再利用立方差展开,消去分母,简化计算.

课堂小结
? 正整数指数幂的运算 ? 负整数指数幂的运算 ? 分数指数幂的运算,其中分数指数 幂与根式的互化是重点 ? 准确的运算是本小节的重点


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