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全国高中数学联赛一试常用解题方法之基本不等式法8


全国高中数学联赛一试常用解题方法
八、基本不等式法 方法介绍 基本不等式法是指利用基本不等式求解数学问题的方法.中学数学竞赛中常见的基本不等式 有:(1)平均值不等式; (2)柯西不等式; (3)绝对值不等式; (4)函数的单调性的应用. 例题精讲 例 1 设 P 是椭圆

y2 x2 ? ? 1 的任意一点, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,试求

| PF1 | ? | PF2 | 25 9

的取值范围. 注:设 | PF1 |? m, | PF2 |? n ,则 m ? n ? 10 ,由焦半径公式得 1 ? m, n ? 9 , 所以 | PF1 | ? | PF2 |? mn ? m(10 ? m) ? 25 ,当 m ? n ? 5 时等号成立. 例 2 数 列 {a n } 定 义 如 下 : a1 ? 2, a n ?1 ?
4 an ?1 ,n ?1 . 求 证 : 对 任 意 n ?1 , 均 有 5a n

1 ? an ? 2 . 5
注:由条件可知对任意 n ? 1, a n ? 0 , a n ?1 ? 另 一 方 面 , 当 n ? 2 时 , a2 ?
3 an 1 1 1 ? ? 44 ? . 3 5 5a n 5 5 ? 15

17 ? 2 . 设 n ? k 时 , 有 ak ? 2 . 若 1 ? a k ? 2 , 则 10 3 3 ak ak 1 8 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 ;若 ? a k ? 1 ,则 a k ?1 ? ak ?1 ? ? ? ? ? 2. 1 5 15a k 5 5 ? 1 5 15a k 5 5 5? 5 所以总有 a k ?1 ? 2 .下略. 3 例 3 已知 ? x ? 5 ,求证: 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 19 . 2
2 2 a12 ? a 2 ? ? ? a15 (平方平均值),可得 15 x ?1 2x ? 3 15 ? 3x 8? ? 4? ? 3? x ?1 2x ? 3 15 ? 3x 4 16 9 左边 ? 8 ? ? 4? ? 3? ? 15 4 4 3 15

注:利用公式

a1 ? a 2 ? ? ? a15 ? 15

? 15

19 ? 2 19 =右边. 4 ? 15
a1 ? a 2 ? a3 ? 3
2 2 a12 ? a 2 ? a3 ,可得 3

另法 1:利用公式 左边 ? 略.

x ?1 ? 3

( x ? 1) ? (2 x ? 3) ? (15 ? 3x) ? x ? 1 ? 39 ? 6 ? 39 ? 19 ,下 3
2 a12 ? a 2 ,可得 2

a ? a2 ? 另法 2:利用公式 1 2

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左边 ? 2 x ? 1 ? ( 2 x ? 3 ? 15 ? 3x ) ? 2 x ? 1 ? 2

(2 x ? 3) ? (15 ? 3x) 2

x ? 2 x ?1 ? 6 ? ? 4 2

x ( x ? 1) ? (6 ? ) 2 ? 2 14 ? x ? 2 19 . 2
4( x ? 14) ? 2 19 .
2 2 2

另法 3:利用柯西不等式,可得 左边 (1 ? 1 ? 1 ? 1)( x ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 15 ? 3x) ? 例 4 设 ? 是给定的正数,若对所有非负实数 x, y 均有 x ? y ? ?xy ? c( x ? y) ,求实数 c 的最大值. 注:(1)若 ? ? 2 ,则 x ? y ? ?xy ? x ? y ? 2 xy ? ( x ? y) ,当 x ? 0 或 y ? 0 时取等 号,此时 c 的最大值为 1; (2)若 0 ? ? ? 2 ,则
2 2 2 2 2

x 2 ? y 2 ? ?xy ? ( x ? y) 2 ? (2 ? ? ) xy ? ( x ? y) 2 ? (2 ? ? )(
当 x ? y 取等号,此时 c 的最大值为

2?? . 4 3 ?a ?b ?c 2 2 2 例 5 设实数 a, b, c 满足 a ? 2b ? 3c ? ,求证: 3 ? 9 ? 27 ? 1 . 2
注:由柯西不等式得
2 2 2

x? y 2 2?? x? y 2 ) ? ( ) , 2 4 2

(a ? 2b ? 3c) 2 ? ( 1 ? 2 ? 3 ) ( 1 ? a) 2 ? ( 2 ? b) 2 ? ( 3 ? c) 2 ? 9 ,
所以 a ? 2b ? 3c ? 3 ,故 3
?a

?

?

? 9 ?b ? 27 ? c ? 33 3? ( a ? 2b ?3c ) ? 33 3?3 ? 1 .
2

例 6 设 ? , ? 为锐角,且 sin ? ? sin ? ? sin(? ? ? ) ,求证: ? ? ? ?
2

?
2

.

注:由 ? , ? 为锐角得 cos( ? ? ?) ? 0,

? ? ? ) cos( ? ? ? ) (*) 又 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ? 1 ? cos(
2 2





c

? ? ? ) ?o

1? s ? ? ? ) i s ?0 c ? ? ?) o

(

n , s

( (



0 ?| ? ? ? |?

?
2

,0 ? cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ?),
2 2

代入(*)式得, 0 ? sin(? ? ? ) ? 1 ? cos (? ? ? ) ? sin (? ? ? ) , 所以 sin(? ? ? ) ? 1 ,只能是 sin(? ? ? ) ? 1, ? ? ? ? 另 法 : 若 ? ?? ?

?
2

.

? ? ? ? , s i? n ? s i n ? (? ) ? c o? s ?0 , 同 理 2 2 2 n ? s i2 ? n ? s i? n c o? ? sc o ?s s i? n ? s i?n? ? () , 与 s i?n? c o ?s ? 0 , 故 s i2 ? ? s i2 ? n ? s i2 ? n ? s i?n ?? ( ) 矛盾,所以 ? ? ? ? . 2 ? 6 ? 例 7 已知不等式 2 (2a ? 3) cos( ? ? )? ? 2 sin 2? ? 3a ? 6 对于 ? ? [0, ] 4 sin ? ? cos? 2 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2 ( ? )? x ,从而原不 注:设 sin? ? cos? ? x ,则 x ? [1, 2 ], s in2? ? x ? 1, co s ? 4 2
, 则 ??
第 2 页 共 7 页

?

6 6 ? 2( x 2 ? 1) ? 3a ? 6,2 x 2 ? 2ax ? 3x ? ? 3a ? 4 ? 0 ,也即为 x x 2 2 2 , 故 , 故 2 x( x ? ? a) ? 3( x ? ? a) ? 0 (2 x ? 3)( x ? ? a) ? 0 x x x 2 2 2 2 x ? 3 ? 0, x ? ? a ? 0 ,即 x ? ? a ? 0 对 x ? [1, 2 ] 恒成立,从而只要 a ? ( x ? ) max , x x x 2 2 又容易证明 f ( x) ? x ? 在 x ? [1, 2 ] 上递减,所以 ( x ? ) max ? 3, a ? 3 . x x 例 8 设 x, y, z ? 0, x ? y ? z ? 1. 27 1 1 1 11 求证: ? ? ? ? . x? y 2 y?z 2 z?x 2 8 3 1? ( ) 1? ( ) 1? ( ) 2 2 2 1 4 4 1 1 注:因为 ,所以原不等式等价 ? ? ? ? 2 x ? y 2 4 ? (1 ? z ) (3 ? z )(1 ? z ) 3 ? z 1 ? z 1? ( ) 2 27 1 1 1 1 1 1 11 于 ?( ? ? )?( ? ? ) ? ,由柯西不等式得 8 1? x 1? y 1? z 3? x 3? y 3? z 3 1 1 1 1 1 1 9 ( ? ? )?(1 ? x) ? (1 ? y ) ? (1 ? z )? ? 9, ? ? ? ; 1? x 1? y 1? z 1? x 1? y 1? z 4 1 1 1 1 1 1 9 ( ? ? )?(3 ? x) ? (3 ? y ) ? (3 ? z )? ? 9, ? ? ? . 3? x 3? y 3? z 3? x 3? y 3? z 8 1 1 1 1 1 1 又 ? 1 ? x, ? 1 ? y, ? 1? z , 1? x 2 1? y 2 1? z 2 1 1 1 1 5 故 ? ? ? 3 ? ( x ? y ? z) ? . 1? x 1? y 1? z 2 2 1 1 1 1 1 1 又 ? (2 ? x), ? (2 ? y ), ? (2 ? z ) , 3? x 6 3? y 6 3? z 6 1 1 1 1 7 故 ? ? ? 1 ? ( x ? y ? z) ? . 3? x 3? y 3? z 6 6
等式可化为 (2a ? 3) x ? 下略. 例 9 求函数 y ? 注: y ?

x 2 ? 10 x ? 50 ? x 2 ? 25 的值域.

( x ? 5) 2 ? 5 2 ? x 2 ? 5 2 ,设 OA ? (5 ? x,5), OB ? ( x,5),

由 | OA | ? | OB |?| OA ? OB |? 5 5 知, y ? 5 5 ,等号当 OA, OB 同向取到,此时 x ? 说明:本题亦可构造距离求解. 例 10 已知 a, b, c 为实数,函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,当 0 ? x ? 1 时, | f ( x) |? 1 .
2

5 . 2

求 | a | ? | b | ? | c | 的最大值. 注:因 f (0) ? c,4 f ( ) ? a ? 2b ? 4c, f (1) ? a ? b ? c , 故 a ? 2 f (1) ? 4 f ( ) ? 2 f (0), b ? 4 f ( ) ? f (1) ? 3 f (0) ,

1 2

1 2

1 2

1 1 | a | ? | b | ? | c |? | 2 f (1) ? 4 f ( ) ? 2 f (0) | ? | 4 f ( ) ? f (1) ? 3 f (0) | ? | f (0) | 2 2
第 3 页 共 7 页

1 1 ?| 2 f (1) | ?4 | f ( ) | ?2 | f (0) | ?4 | f ( ) | ? | f (1) | ?3 | f (0) | ? | f (0) | 2 2 1 ? 3 | f (1) | ?8 | f ( ) | ?6 | f (0) |? 17 . 2 1 1 当 f (1) ? f (0) ? 1, f ( ) ? ?1 ,或 f (1) ? f (0) ? ?1, f ( ) ? 1 ,即 a ? 8, b ? ?8, c ? 1 或 2 2 或 时,上式中的两个 a ? ?8, b ? 8, c ? 1 a ? ?8, b ? ?8, c ? 1 " ?" 同时取到.
例 11 将编号为 1,2,3,…,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点 上各一个小球,设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 S ,求 S 达到最小值的方 法的概率(若某种方法,经旋转或镜面反射可与另一种方法重合,则认为是相同方法). 注:九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九个不同元素在 圆周上的一个圆形排列,故共有 8! 种放法,考虑到翻转因素,则本质不同的放法有

8! 种.下 2

求使 S 达到最小值的放法数:在圆周上,从 1 到 9 有优弧与劣统两条路径,对其中任一条 路径,设 x1 , x 2 ,?, x k 是依次排列于这段弧上的小球号码,则

| 1 ? x1 | ? | x1 ? x2 | ?? ? | xk ? 9 |?| (1 ? x1 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? ( xk ? 9) |?| 1 ? 9 |? 8 , 取
等号当且仅当 1 ? x1 ? x2 ? ? ? xk ? 9 ,即每一段弧上的小球编号都是由 1 到 9 递增排 列,因此 S min ? 2 ? 8 ? 16 . 由上知,当每个弧段上的球号 {1, x1 , x 2 ,?, x k ,9} 确定之后,达到最小值的排列方案便 惟一确定. 在 1,2,…,9 中,除 1 与 9 外,剩下 7 个球号 2,3,…,8,将它们对应为两个子 集,元素较少的一个子集共有 C 7 ? C 7 ? C 7 ? C 7 ? 2 种情况,每种情况对应圆周上使 S
0 1 2 3 6

达到最小的惟一排法,即有利事件总数有 2 6 种,故所求概率为 P ?

26 1 . ? 8! 315 2


同步操练 1.设 f ( x) ?| lg x |, a, b ? 0 ,且 a ? b ,则下列关系中不可能成立的是(

a?b 2ab ) ? f ( ab ) ? f ( ) 2 a?b 2ab a?b C. f ( ) ? f ( ab ) ? f ( a?b 2
A. f (

2ab a?b )? f( ) ? f ( ab ) a?b 2 2ab a?b D. f ( ab ) ? f ( )? f( ) a?b 2 a?b 2ab 注:利用函数 f ( x) ?| lg x | 的图象及 ,选 D. ? ab ) ? 2 a?b 2.使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是 .
B. f ( 注:由柯西不等式得 ( x ? 3 ? 6 ? x ) ? (1 ? 1)( x ? 3 ? 6 ? x) ? 6 ,当 x ?
2

9 时取到等 2

号,因原不等式有解,故 k ? 6 . 3 .给定正数 p, q, a, b, c ,其中 p ? q ,若 p, a, q 是等比数列, p, b, c, q 是等差数列,则 一元二次方程 bx ? 2ax ? c ? 0 的根的情况是
2
2

.

注:由题意得 pq ? a ,2b ? p ? c,2c ? q ? b ,于是 b ?

bc ?

2 p ? q p ? 2q 3 2 3 ? ? p q ? pq 2 ? pq ? a 2 ,于是 bc ? a 2 , ? ? 0 ,无实根. 3 3

2p ? q p ? 2q ,进而可得 ,c ? 3 3

第 4 页 共 7 页

x2 y2 x y ? ? 1 相交于 A, B 两点,该椭圆上点 P 使得 ?ABP 的面积 ? ? 1 与椭圆 16 9 4 3 等于 3,则这样的点 P 共有 个.
4.直线 注:设 P(4 cos? ,3 sin ? )(0 ? ? ? 的

?

2

) ,即点 P 在第一象限的椭圆上,考虑四边形 PAOB
面 积
P

1 1 ? S ? S ?O ? S ?O ? ? 4(3 s ? ) ? ? 3(4 s ? i 6 2 s ? ? i) , s A) ? 6( B ? ? c ? ) ? P所 以 2 2 4 ? 1 S m a x ? 6 2 ( x ? ) ,因 S ?AOB ? ? 3 ? 4 ? 6 ,所以 S ?PAB 的最大值为 6( 2 ? 1) ? 3 , 4 2 故点 P 不可能在直线 AB 的上方,显然在直线 AB 的下方有两个点 P 满足条件. 4 9 5 . 已 知 x, y 都 在 区 间 (?2,2) 内 , 且 xy ? ?1 , 则 函 数 u ? 的最小值 ? 2 4? x 9 ? y2
为 . 注:消去 y 之后,可得 u ? 1 ?

o

n

35 37 ? (9 x 2 ? 4 ) x2

,求得函数 u 的最小值为

12 . 5
.

6.已知正实数 a, b 满足 a ? b ? 1 ,则 M ? 1 ? a ? 1 ? 2b 的整数部分是
2
2 2 2 2

注:因 0 ? a ? 1 ,故 ( 1 ? a ? 1 ? 2b ) ? 2(1 ? a ? 1 ? 2b) ? 2(a ? 2a ? 4) ? 8 ,又

1 ? a 2 ? 1 ? 2b ? 2 ,所以 M 的整数部分是 2.
7.用一张长 16 厘米、宽 10 厘米的矩形铁皮,四角各截去一个正方形,折成一个无盖铁 盒,由此铁盒的最大容积是 . 注:设正方形边长为 x(0 ? x ? 5) (单位:厘米),则 V ? 于是 V ?

2 (8 ? x) ? (10 ? 2 x) ? 3x 3 [ ] ? 144 ,当 8 ? x ? 10 ? 2 x ? 3x, x ? 2 时等等号成 3 3

2 (8 ? x)(10 ? 2 x) ? 3x , 3

立,故最大容积为 144 立方厘米. 8.已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数, f (1) ? 1 ,且对任意 x ? R ,都有 . f ( x ? 5) ? f ( x) ? 5, f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1 ,若 g ( x) ? f ( x) ? 1 ? x ,则 g (2012 ) ? 注:由 g ( x) ? f ( x) ? 1 ? x 得 f ( x) ? g ( x) ? x ? 1 ,所以 g ( x ? 5) ? ( x ? 5) ? 1 ? g ( x) ? ( x ? 1) ? 5, g ( x ? 1) ? ( x ? 1)? ? g ( x) ? ( x ? 1) ? 1, 即 g ( x ? 5) ? g ( x), g ( x ? 1) ? g ( x) , 所以 g ( x) ? g ( x ? 5) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 3) ? g ( x ? 2) ? g ( x) ,所以 g ( x ? 1) ? g ( x) , 即 g ( x) 是以 1 为周期的周期函数,又 g (1) ? 1 ,故 g (2012 ) ? 1 . 9.函数 y ?

x 4 ? x 2 ? 1 ? x 4 ? x 2 ? 1 的值域为
2

.

1 3 1 3 , ), q ? ( x 2 ? , ) ,则 y ?| p | ? | q | ,而 p ? q ? (1,0) , 2 2 2 2 又 p, q 不同向,所以 | y |?| p | ? | q |?| p ? q |? 1,?1 ? y ? 1 ;
注:构造向量 p ? ( x ?

1 2 3 1 3 ) ? ( ) 2 ? ( x 2 ? ) 2 ? ( ) 2 ,故 y ? 0 ,于是值域为 [0,1] . 2 2 2 2 10.过定点 P(2,1) 作直线 l 分别交 x 轴正向和 y 轴正向于 A, B ,使 ?AOB 的面积最小,则 . l 的方程为
另一方面 ( x ?
2

第 5 页 共 7 页

2 1 2 x y , 等 号 在 a ? 4, b ? 2 时 取 到 , 所 以 使 ? ?1 ,则1 ? ? ? 2 a b ab a b ?AOB 面积最小的直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2 2 2 11 .在 ?ABC 中, a, b, c 是角 A, B, C 的对边,且满足 a ? b ? 2c ,则角 C 的最大值
注:设直线 是 注: cos C ?
2 2

.

a ? b ? c2 a2 ? b2 1 ? ? ? ,当 a ? b ? c 时,等号成立,故 ?C ? . 2ab 4ab 2 3
x ?1

12.设 f ( x) ? 2

? 2 ? x ?1 ,若 0 ? ? ?

?

2

时, f (cos ? ? 2m sin? ) ? f (?2m ? 2) ? 0 恒
2

成立,则实数 m 的取值范围是

.
2

注:易知 f ( x) 为奇函数,又 f ( x) 在 R 上是增函数,故 cos ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 ,令

t ? sin? ,则 t 2 ? 2mt ? (2m ? 1) ? 0(0 ? t ? 1) 恒成立,即 2m(1 ? t ) ? ?(t 2 ? 1) . 当 t ? 1 时, m ? R ; 2 2 当 0 ? t ? 1 时, 2m ? h(t ) ? 2 ? [(1 ? t ) ? ] ,由函数 g ( x) ? x ? 在 (0,1] 上递减,知 1? t x 1 当 t ? 0 时 h( x) max ? ?1 ,于是得 m ? ? . 2 1 综上所述, m ? ? . 2 Sn * 13.设 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n, n ? N ,求 f ( n) ? 的最大值为 . (n ? 32 ) S n ?1 Sn n 1 1 ? ? ? ? f (8) . 注: f (n) ? 64 (n ? 32) S n ?1 (n ? 32)( n ? 2) 50 n? ? 34 n x2 y2 ? ? ? 1 有一个内接 ?PAB ,射线 OP 与 x 轴正向成 角,直线 AP, BP 14.设椭圆 2 6 3 的斜率适合条件 k AP ? k BP ? 0 . (1)求证:过 A, B 的直线的斜率 k 是定值; (2)求 ?PAB 面积的最大值. 2 2 注:(1)直线 OP : y ? 3x ,代入 3x ? y ? 6 ,得 P (1, 3 ) ,设直线 PA, PB 的方程分别


y ? 3 ? ?k ( x ? 1), y ? 3 ? k ( x ? 1)





k 2 ? 2 3k ? 3 k 2 ? 2 3k ? 3 , x ? , 从 而 B k2 ?3 k2 ?3 ? k (2 3k ? 6) ? k (?2 3k ? 6) yA ? , yB ? ,于是 k AB ? 3 为定值. 2 k ?3 k2 ?3 2 2 (2) 设 直 线 AB 方 程 为 y ? 3 x ? b , 故 6 x ? 2 3bx ? (b ? 6) ? 0 , 4 |b| , 于 是 | AB | 2 ? ? b 2 ? 16 , 而 点 P 到 直 线 AB 的 距 离 为 d ? 3 2 b2 2 S? ? (12 ? b 2 ) ? 3 ,当 b 2 ? 12 ? b 2 ,即 b ? ? 6 时,取到最大值 3 . PAB 12 2x ? t 2 15 .已知 ? , ? 是方程 4 x ? 4tx ? 1 ? 0(t ? R) 的两个不等实根,函数 f ( x) ? 2 的定 x ?1 xA ?
第 6 页 共 7 页

义域为 [? , ? ] . (1)求 g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ; (2)证明:对于 u i ? (0, 则

?
2

)(i ? 1,2,3) ,若 sin u1 ? sin u 2 ? sin u3 ? 1 ,

1 1 1 3 ? ? ? 6. g (tan u1 ) g (tan u 2 ) g (tan u 3 ) 4
2 2

注:(1)设 ? ? x1 ? x2 ? ? ,则 4 x1 ? 4tx1 ? 1 ? 0,4 x 2 ? 4tx2 ? 1 ? 0 ,
2 2 因此 4( x1 ? x2 ) ? 4t ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 0,2 x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ?

1 ? 0, 2

1 ? 0, 2 ( x ? x1 )[t ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? 2] ? 0, 于是 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 2 2 ( x2 ? 1)( x12 ? 1) 故函数 f ( x) 在区间 [? , ? ] 上是增函数. 1 因 ? ? ? ? t , ?? ? ? ,故 g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ? f (? ) ? f (? ) , 4 5 t 2 ? 1(t 2 ? ) ( ? ? ? )[t ( ? ? ? ? 2?? ? 2)] 8 t 2 ? 1(2t 2 ? 5) 2 即 g (t ) ? . ? ? 25 ? 2? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 1 16t 2 ? 25 t2 ? 16 16 ? 24 cos u i 2 2 8 tan u i ? 1(2 tan u i ? 5) cos u i 2 16 ? 24 16 6 ? ? ? (2)因 g (tan u i ) ? 2 2 2 16 ? 9 cos u i 16 ? 9 cos u i 16 ? 9 cos2 u i 16 tan u i ? 25
又 t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 故

1 1 1 1 3 ? ? ? (16 ? 9 cos2 u i ) ? g (tan u1 ) g (tan u 2 ) g (tan u 3 ) 16 6 i ?1 3 1 ? (16 ? 3 ? 9 ? 3 ? 9? sin 2 ui ) . 16 6 i ?1
sin 2 u i ? 1, u i ? (0, ) ,故 3? sin 2 u i ? (? sin u i ) 2 ? 1 , ? 2 i ?1 i ?1 i ?1
3



?

3

3

而均值不等式与柯西不等式中,等号不能同时成立,所以

1 1 1 1 1 3 ? ? ? (75 ? 9 ? ) ? 6. g (tan u1 ) g (tan u 2 ) g (tan u 3 ) 16 6 3 4

第 7 页 共 7 页


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