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2016天津市河北区高三三模数学理科试卷(及答案)


河北区 2015-2016 学年度高三年级总复习质量检测(三)



学(理工类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页.

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规 定位置粘贴考试用条形码。 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3. 本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式:
· 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A∪B)=P(A)+P(B) · 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(AB)=P(A) ? P(B) · 球的表面积公式 S= 4 ? R
4 3
2

球的体积公式 V= ?R 其中 R 表示球的半径

3

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合 A ? {x ( x ? 1)( x ? 2) ≤ 0} ,集合 B ? {x x ? 0} ,则 A ? B ?
0) (A) (??,
0) (B) [ ?2,

(C) (??, 1]

(D) [1 , ? ?)

? x ? y ≥ 0, ? (2)若实数 x,y 满足条件 ? x ? y ? 1≥ 0, 则 x ? 3y 的最小值为 ?0 ≤ x ≤ 1, ?
(A) ?5 (C) 1 (B) ?3 (D) 4

开始

i ? 1, T ? 0, P ? 15
否 是

1 (3)运行如图所示的程序框图,若输出的结果为 , 63

i ? i ?1
T ? T ?1

输出 P

则判断框中应填入的条件是 (A) i ? 4? (C) i ? 5? (B) i ? 4? (D) i ? 5?
高三数学理科(三) 第1页 共8页

结束

P P? T ?i

(4)某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 (A) 24 (B) 40 (C) 36 (D) 48 (5)下列结论错误的是 (A)若“ p ? q ”为假命题,则 p,q 均为假命题 (B)“ a ? b ”是“ ac 2 ? bc 2 ”的充分不必要条件
x2 ? x ≤ 0 ” (C)命题:“ ?x ? R,x 2 ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R,

(D) 命题:“若 x ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆否命题为“若 x ? 2 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ?0 ”
2

? ?1 ≤ x ≤ 1, (6)设曲线 y ? x 2 及直线 y ? 1 所围成的封闭图形为区域 D ,不等式组 ? ?0 ≤ y ≤ 1

所确定的区域为 E ,在区域 E 内随机取一点,则该点落在区域 D 内的概率为 (A)

1 3

(B)

2 5

(C)

3 5

(D)

2 3

2 y2 b ? 0) 的右焦点 F 是抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点,两曲线的一个 (7)双曲线 x2 ? 2 ? 1 (a ? 0, a b

公共点为 P ,且 PF ? 5 ,则该双曲线的离心率为 (A)
2 3 3

(B)

5 2

(C) 5

(D) 2

? kx ? 1,x ≤ 0 (8)已知函数 f ( x ) ? ? ,则下列关于函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数的判断 ?ln x, x ? 0

正确的是 (A)当 k ? 0 时,有 3 个零点,当 k ? 0 时,有 2 个零点 (B)当 k ? 0 时,有 4 个零点,当 k ? 0 时,有 1 个零点 (C)无论 k 为何值,均有 2 个零点 (D)无论 k 为何值,均有 4 个零点
高三数学理科(三) 第2页 共8页

河北区 2015-2016 学年度高三年级总复习质量检测(三)



学(理工类)
第Ⅱ卷

注意事项: 1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2. 用钢笔或圆珠笔答在答题纸 上。 ... 3. 本卷共 12 小题,共 110 分。

题 号 分 数 得 分



(15)

(16)

(17)

三 (18)

(19)

(20)

总 分

评卷人

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在 题中横线上.
2 ? 4i ? _______________. 1? i

(9)已知 i 为虚数单位,复数

(10)如图,已知圆 O1 和圆 O 2 交于点 C 和 D ,圆 O1 上的点 P 处的切线交圆 O 2 于 A ,B 两点,交直线 CD 于点 E , M 是圆 O 2 上的一点,若 PE ? 2 , EA ? 1 , ?AMB=30? , 则圆 O 2 的半径为_______________.

(11)在锐角 ?ABC 中,角 A ,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 sin A ?
a ? 2,S?ABC ? 2 ,则 b 的值为_______________.

2 2 , 3

(12)已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 曲线 C1, C2 相交于点 M ,N ,则弦 MN 的长为_______________.
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π ( ? ? R) , 3

(13)已知 ?ABC 是边长为 2 3 的等边三角形, EF 为 ?ABC 的外接圆 O 的一条直径, ???? ???? ? M 为 ?ABC 的边上的动点,则 ME ? FM 的最大值为______________. (14) 设函数 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [a,b] 上的两个函数, 若对任意的 x ? [a,b] , 都有 f ( x) - g ( x) ≤1 ,则称 f ( x) 与 g ( x) 在 [a,b] 上是“密切函数”,区间 [a,b] 称 为“密切区间”.若 f ( x) = lnx 与 g ( x) =
m 的取值范围是_______________.

mx ? 1 1 在 [ ,e] 上是“密切函数”,则实数 e x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 得 分 评卷人

(15) (本小题满分 13 分)

π π π 已知函数 f ( x) = 1 - 2sin( x + )[sin( x + ) - cos( x + )] , x ? R . 8 8 8 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;
π π (Ⅱ)求函数 f ( x ? ) 在区间 [- , 0] 上的最大值和最小值. 8 2

请将答案写在答题纸上 得分 评卷人

(16) (本小题满分 13 分)

集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成,现由于元件老化,三个电子元件能 1 1 2 正常工作的概率分别降为 , , ,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若三 2 2 3 个电子元件中至少有 2 个正常工作,则 E 能正常工作,否则就需要维修,且维修 集成电路 E 所需费用为 100 元. (Ⅰ)求集成电路 E 需要维修的概率; (Ⅱ)若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成,设 X 为该电子设备需要维修 集成电路所需的费用,求随机变量 X 的分布列和期望 E ( X ) . 请将答案写在答题纸上
高三数学理科(三) 第4页 共8页

得分

评卷人

(17) (本小题满分 13 分)

如图,在直三棱柱 ABC - A1 B1C1 中, AA1 = AB = AC = 1, E,F 分别是 CC1,BC 的 中点, AE ? A1 B1 , D 是 A1 B1 上的点. (Ⅰ)求证: DF ? AE ; (Ⅱ)是否存在一点 D ,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为

14 ?若存在,说明点 D 的位置;若不存在,请说明理由. 14

请将答案写在答题纸上

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第5页 共8页

得分

评卷人

(18) (本小题满分 13 分)

x2 y 2 1 9 已知圆 E : x2 ? ( y ? )2 ? 经过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点 a b 2 4
F1,F2 ,且与椭圆 C 在第一象限的交点为 A ,且 F1,E,A 三点共线,直线 l 交椭圆

???? ? ??? ? C 于 M,N 两点,且 MN = λOA (λ > 0) .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当 ?AMN 的面积取到最大值时,求直线 l 的方程.

y

A E F1 O F2 x

请将答案写在答题纸上

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第6页 共8页

得 分

评卷人 (19) (本小题满分 14 分)

1 已知数列 {an } 是公比为正整数的等比数列,若 a2 ? 2 且 a1,a3 ? ,a4 成等差 2
数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)定义:
n P2,P3, ?, Pn ( n ? N* )的“均倒数”, 为 n 个正数 P 1, P ? P ? ? ? P 1 2 n

(ⅰ)若数列 {bn } 的前 n 项的“均倒数”为 公式; (ⅱ)试比较

1 (n ? N* ) ,求数列 {bn } 的通项 2an ? 1

1 2 n ? ? ? ? 与 2 的大小,并说明理由. b1 b2 bn

请将答案写在答题纸上

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第7页 共8页

得 分

评卷人

(20) (本小题满分 14 分)

1 已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? ln x ,其中 a ? R . x (Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1 , f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在其定义域内为增函数,求 a 的取值范围;

(Ⅲ)设函数 g ( x) ? 求实数 a 的取值范围.

e ,若在 [1 ,e] 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ≥ g ( x0 ) 成立, x

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数 学 答 案(理)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 B 6 D 7 D 8 B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) 3 + i ; (12) 3 ; (10) 3 ; (13) 3 ; (11) 3 ; (14) [e ? 2, 2] .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15) (本小题满分 13 分)

π π π 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ( x ? ) ? 2sin( x ? )cos( x ? ) 8 8 8 π π ? cos(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x , 4 4 ∴ f ( x) 的最小正周期 T ? π . ………… 6 分
π π (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ? ) ? 2 cos(2 x ? ) , 8 4

π 令 g ( x) ? 2 cos(2 x ? ) , 4
π π π ∵ g ( x ) 在 [? , 0] 上为减函数, ? ] 上为增函数,在 [? , 8 2 8

π 3π π π 且 g (? ) ? 2 cos(? ) ? ?1, g (? ) ? 2 , g (0) ? 2 cos ? 1 , 2 4 8 4
π ∴ g ( x ) 在区间 [? , 0] 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 , 2
π π 即 f ( x ? ) 在区间 [? , 0] 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . …………13 分 8 2

(16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)三个电子元件能正常工作分别记为事件 A ,B,C ,

1 1 2 则 P( A) ? ,P( B) ? ,P(C) ? . 2 2 3 依题意,集成电路 E 需要维修有两种情形:
高三数学理科(三) 第9页 共8页

① 3 个元件都不能正常工作,概率为

1 1 1 1 P ? ? ? ; 1 ? P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) ? 2 2 3 12 ② 3 个元件中的 2 个不能正常工作,概率为 P2 ? P( ABC ? ABC ? ABC) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC) ?
5 .…………6 分 12 100, 200 . (Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 0,

1 . 3

∴集成电路 E 需要维修的概率为 P 1 ?P 2 ?

7 49 ∵ P( X ? 0) ? ( )2 ? , 12 144

1 P( X ? 1 0 0 ? ) C 2

5 7 35 ( )( ? ) , 12 12 72

5 25 , P( X ? 200) ? ( )2 ? 12 144 ∴ X 的分布列为 0 100 200 X 49 35 25 P 144 72 144

49 35 25 250 . ? 100 ? ? 200 ? ? 144 72 144 3 (17) (本小题满分 13 分) E( X ) ? 0 ?
证明: (Ⅰ)∵ AE ? A1 B1 , A1 B1 ∥ AB , ∴ AE ? AB . 又 AA1 ? 平面 ABC ∴ AA1 ? AB . 又 AE ? AA1 ? A , ∴ AB ? 平面 A1 ACC1 . ∴ AB ? AC . 以 A 为坐标原点,建立如图所示的 空间直角坐标系,

…………13 分

1 1 1 则 A(0,, 0 0),E(0, 1, ),F ( , , 0) . 2 2 2 设 D(λ,, 0 1) (0 ≤ λ ≤ 1) ,

??? ? 1 ??? 1 1 - 1 ) , AE = (0,, 1 ). 则 DF = ( - λ, , 2 2 2
高三数学理科(三) 第 10 页 共 8 页

∵ DF ? AE =

??? ? ??? 1 1
2 2

=0 ,

∴ DF ? AE .

…………6 分

y z) , (Ⅱ)假设 D 点存在,设平面 DEF 的法向量为 n ? ( x,,

??? ? ? ?n ? FE ? 0, 则 ? ???? ? ?n ? DF ? 0.

??? ??? ? 1 1 1 1 1 -1 ) , ∵ FE = (- , , ) , DF = ( - λ, , 2 2 2 2 2 1 1 ? 1 ? x ? y ? z ? 0, ? ? 2 2 2 ∴? ?( 1 - λ) x ? 1 y - z ? 0. ? ? 2 2 3 ∴ (λ ? 1) x ? z ? 0 . 2 1 + 2λ, 2(1 - λ )) . 取 x ? 3 ,则 n ? (3, 0 1) , 又平面 ABC 的法向量为 m ? (0,,
∵平面 DEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 ∴ cos m,n ?

14 , 14

m?n m?n

?

2(1 ? λ) 9 ? (1 ? 2λ) + ( 4 1 ? λ)
2 2

?

14 . 14

7 1 解得 λ = 或 λ = (舍) . 4 2

∴当 D 为 A1 B1 的中点时,满足条件.…………13 分 (18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)如图,圆 E 经过椭圆 C 的左、右焦点 F1,F2 ,
1 9 ∴ c 2 ? (0 ? )2 ? ,解得 c ? 2 . 2 4

∵ F1,E,A 三点共线, ∴ AF1 为圆 E 的直径. ∴ AF2 ? F1F2 . ∵ AF2 ? AF1 ? F1 F2 ? 9 ? 8 ? 1 , ∴ 2a ? AF1 ? AF2 ? 3 ? 1 ? 4 .
高三数学理科(三) 第 11 页 共 8 页
2 2 2

∴a ? 2. 由 a 2 ? b 2 +c 2 , 得 b ? 2 . ∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2

…………… 5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,点 A 的坐标为 ( 2, 1) , ∵ MN ? λ OA (λ ? 0) ∴直线 l 的斜率为
2 2

????

???

,设直线 l 的方程为 y ?

2 2

x?m.

? 2 y? x?m ? ? 2 2 联立 ? 2 2 2 , 得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 . ?x ? y ?1 ? ?4 2 设 M ( x1,y1 ), N ( x2,y2 ) ,
由 ? ? ( 2m)2 ? 4(m2 ? 2) ? 0 ,得 ?2 ? m ? 2 .

? ? x ? x2 ? ? 2m, ∵? 1 2 ? ? x1 x2 ? m ? 2,
∴ MN ? 1 ? k 2 x 1 ? x2 = 1 ? 又点 A 到直线 l 的距离为 d =
S ?AMN ? ? 1 2 2 MN d ? 2 1 2
2

1 2

? (x 2 ? 3m . 1 ? x2 ) ? 4 x 1x2 ? 1
m,
6 3 m
2 2

2

2

6 3
2

1 2 ? 3m ?
2

(4 ? m ) m ≤

2 (4 ? m ) ? m 2 2

? 2,

2 2 当且仅当 4 ? m = m ,即 m= ? 2 时,等号成立.

∴直线 l 的方程为 y ? (19) (本小题满分 14 分)

2 2

x? 2 或 y ?

2 2

x? 2 .

…………… 13 分

解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公比为 q , 由题意知, 2(2q + ) =
2 1 2 q
2 + 2q ,

即 (2q ? 1)( q ? 2) = 0 . ∵ q 为正整数, ∴q = 2.
高三数学理科(三) 第 12 页 共 8 页

2

…………5 分 n 1 (Ⅱ) (ⅰ)由题意有 , ? n b1 ? b2 ? ? ? bn 2 ? 1 ∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ? n(2n ? 1) . ① ② .

∴ an ? 2n ?1 .

b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? (n ? 1)(2n?1 ? 1) (n ≥ 2) .

由①-②得, bn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 1 (n ≥ 2) ,又 b1 ? 1 , ∴ bn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 1 (n ? N* ) . (ⅱ)当 n ? 1 时,
1 b1 ?1? 2;

当 n ≥ 2 时, ∴

n n (n ? 1) ? 1 (n ? 1) 1 ? ? ? ? n ?1 . n ?1 n ?1 n ?1 bn (n ? 1)2 ? 1 (n ? 1)2 ? 1 ( n ? 1)2 2

1 2 n 1 2 n ? ??? ? ? ??? b1 b2 bn 2 ? 20 ? 1 3 ? 21 ? 1 ( n ? 1)2n ?1 ? 1

?

1 1 1 ? 1 ? ? ? n? 1 0 2 2 2
1?

1 n 1 2 ? ? 2 ? n ?1 ? 2 . 1 2 1? 2



1 2 n ? ? ? ? ? 2 (n ? N* ) . ………… 14 分 b1 b2 bn

(20) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1时, f ( x) ? x ?
1 1 1 ? ln x , f ?( x) = 1+ 2 - , x x x f (1) ? 1 ? 1 ? ln1 ? 0 , f ?(1) = 1 +1 - 1 ? 1 , ∴曲线 y ? f ( x ) 在点 (1 , f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 .………… 4 分

(Ⅱ)∵ f ?( x) = a(1 +

1 1 ax2 - x + a , ) ? x2 x x2 要使函数 f ( x) 在定义域 (0, ? ?) 内为增函数, ? f ( x ) ≥ 0 只需 在 (0, ? ?) 上恒成立. x 1 ∴ ax 2 - x + a ≥ 0 ,即 a ≥ 2 ,也即 a ≥ 恒成立. 1 x ?1 x? x

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第 13 页 共 8 页

1 1 又 x ? ≥ 2 ,∴ a 的取值范围为 a ≥ . ………… 8 分 2 x

(Ⅲ)∵ g ( x) ?

e 在 [1 ,e] 上是减函数, x ∴ g (e) ≤ g ( x) ≤ g (1) ,即 1 ≤ g ( x) ≤ e . 1 1 (1)当 a ≤ 0 时, f ?( x) = a(1 ? 2 ) - ? 0 , x x ∴ f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 [1 ,e] 上是减函数;

∴ ( f ( x))max ? f (1) ? 0 < 1 ,不合题意. 1 (2)当 0 < a ? 时, 2 ∵ x ? [1,e] , 1 ∴ x ? ≥0 . x 1 1 1 ∴ f ( x) ? a( x ? ) ? ln x ≤ ( x ? ) ? ln x . x 2 x 1 1 令 F ( x) ? ( x ? ) ? ln x ,由(Ⅱ)知, F ( x) 在 [1 ,e] 上是增函数, 2 x 1 1 1 1 1 1 ∴ ( x ? ) ? ln x ≤ (e ? ) ? ln e = (e ? ) ? 1 ? 1 . 2 x 2 e 2 e ∴ f ( x) ? 1 ,不合题意. 1 (3)当 a ≥ 时, 2 1 由(Ⅱ)知, f ( x) ? a( x ? ) ? ln x 在 [1 ,e] 上是增函数, x f (1) ? 0 ? 1 , 又 g ( x) ?
e 在 [1 ,e] 上是减函数, x

1 ∴只需 ( f ( x))max ≥ ( g ( x))min ,又 ( f ( x))max ? a(e ? ) ? ln e , e
2e 1 即 a(e ? ) ? 1≥1 , 解得 a ≥ 2 . e ?1 e 2e ∴ a 的取值范围是 [ 2 , ? ?) . ………… 14 分 e ?1

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