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大高考2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第2节圆与方程及直线与圆的位置关系高考AB卷理


【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 9 章 平面解析几何 第 2 节 圆与方程及直线与圆的位置关系高考 AB 卷 理

圆的方程 1.(2015?全国Ⅰ,14)一个圆经过椭圆 + =1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上, 16 4 则该圆的标准方程为________. 解析 由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,-2)三点,(4,0),(0,-2)两点的垂直平分 3 5 ?3 ? 线方程为 y+1=-2(x-2),令 y=0,解得 x= ,圆心为? ,0?,半径为 .故圆的标准方 2 2 ?2 ? 2 25 ? 3? 2 程为?x- ? +y = . 4 ? 2? 2 25 ? 3? 2 答案 ?x- ? +y = 4 ? 2? 直线与圆,圆与圆的位置关系 2.(2016?全国Ⅱ,4)圆 x +y -2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则
2 2

x2

y2

a=(
4 A.- 3 C. 3

) 3 B.- 4 D.2
2 2

解析 由圆的方程 x +y -2x-8y+13=0 得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式 |1?a+4-1| 4 得 d= =1,解之得 a=- . 2 3 1+a 答案 A 3.(2015?全国Ⅱ,7)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M、N 两点,则|MN| =( A.2 6 C.4 6 ) B.8 D.10

→ → → → 解析 由已知,得AB=(3,-1),BC=(-3,-9),则AB?BC=3?(-3)+(-1)?(-9) → → 2 =0,所以AB⊥BC,即 AB⊥BC,故过三点 A、B、C 的圆以 AC 为直径,得其方程为(x-1) +(y+2) =25,令 x=0 得(y+2) =24,解得 y1=-2-2 6,y2=-2+2 6,所以|MN| =|y1-y2|=4 6,选 C.
1
2 2

答案 C 4.(2016?全国Ⅲ,16)已知直线 l:mx+y+3m- 3=0 与圆 x +y =12 交于 A,B 两点,过
2 2

A,B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点,若|AB|=2 3,则|CD|=________.
解析 设 AB 的中点为 M,由题意知,圆的半径 R=2 3,AB=2 3,所以 OM=3,解得 m =-

?x- 3y+6=0, 3 ,由? 2 解得 A(-3, 3),B(0,2 3),则 AC 的直线方程为 y- 3 3 ?x +y2=12

=- 3(x+3),BD 的直线方程为 y-2 3=- 3x,令 y=0,解得 C(-2,0),D(2,0), 所以|CD|=4. 答案 4 5.(2014?全国Ⅱ,16)设点 M(x0,1),若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°, 则 x0 的取值范围是________. 解析 由题意可知 M 在直线 y=1 上运动,设直线 y=1 与圆 x +y =1 相切于点 P(0,1). 当 x0=0 即点 M 与点 P 重合时,显然圆上存在点 N(±1,0)符合要求;当 x0≠0 时,过 M 作圆的切线,切点之一为点 P,此时对于圆上任意一点 N,都有∠OMN≤∠OMP,故要存在 ∠OMN=45°,只需∠OMP≥45°.特别地,当∠OMP=45°时,有 x0=±1.结合图形可知, 符合条件的 x0 的取值范围为[-1,1].
2 2 2 2

答案 [-1,1]

圆的方程 1.(2013?重庆,7)已知圆 C1:(x-2) +(y-3) =1,圆 C2:(x-3) +(y-4) =9,M、N 分 别是圆 C1、C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A.5 2-4 C.6-2 2 B. 17-1 D. 17 )
2 2 2 2

解析 依题意,设⊙C1 关于 x 轴的对称圆为⊙C′,圆心 C′为(2,-3), 半径为 1,⊙C2 的圆心为(3,4),半径为 3,则(|PC′|+|PC2|)min=|C′C2|=5 2, ∴(|PM|+|PN|)min=(|PC′|+|PC2|)min-(1+3)=5 2-4,选 A. 答案 A 2.(2015?江苏,10)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1

2

=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________. 解析 直线 mx-y-2m-1=0 恒过定点(2,-1),由题意,得半径最大的圆的半径 r= (1-2) +(0+1) = 2. 故所求圆的标准方程为(x-1) +y =2. 答案 (x-1) +y =2 3.(2014?陕西,12)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的 标准方程为____________. 解析 因为点(1,0)关于直线 y=x 对称点的坐标为(0,1),即圆心 C 为(0,1),又半径 为 1,∴圆 C 的标准方程为 x +(y-1) =1. 答案 x +(y-1) =1 直线与圆,圆与圆的位置关系 4.(2015?广东,5)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x +y =5 相切的直线的方程是( A.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0 B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 D.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 |0+0+c| 解析 设所求切线方程为 2x+y+c=0,依题有 = 5,解得 c=±5,所以所求 2 2 2 +1 切线的直线方程为 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0,故选 D. 答案 D 5.(2015?重庆,8)已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对称 轴,过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( A.2 C.6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

)

B.4 2 D.2 10

解析 圆 C 的标准方程为(x-2) +(y-1) =4,圆心为 C(2,1),半径为 r=2,因此 2+

a?1-1=0,a=-1,即 A(-4,-1),
|AB|= |AC| -r = (-4-2) +(-1-1) -4=6,选 C. 答案 C 6.(2015?山东,9)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y-2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( 5 3 A.- 或- 3 5 5 4 C.- 或- 4 5 ) 3 2 B.- 或- 2 3 4 3 D.- 或- 3 4
3
2 2 2 2 2 2

解析 圆(x+3) +(y-2) =1 的圆心为(-3,2),半径 r=1.(-2,-3)关于 y 轴的对称 点为(2,-3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率 k 存在,∴反射光线所在直 线方程为 y+3=k(x-2),即 kx-y-2k-3=0.

2

2

|-3k-2-2k-3| ∵反射光线与已知圆相切,∴ =1, k2+(-1)2 3 4 2 整理得 12k +25k+12=0,解得 k=- 或 k=- . 4 3 答案 D 7.(2014?江西,9)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直 径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( 4 A. π 5 C.(6-2 5)π 3 B. π 4 5 D. π 4 )

解析 由题意可知以线段 AB 为直径的圆 C 过原点 O,要使圆 C 的面积最小,只需圆 C 的 半径或直径最小.又圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,所以由平面几何知识,知圆的直径的 最小值为点 O 到直线 2x+y-4=0 的距离,此时 2r= 4 2 值为 S=π r = π . 5 答案 A 8.(2012?天津,8)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1) +(y-1) =1 相切,则 m+n 的取值范围是( A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) 解析 ∵直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1) +(y-1) =1 相切,∴圆心(1,1)到 直线的距离为
2 2 2 2

4 5

,得 r=

2 5

,圆 C 的面积的最小

)

d=

|(m+1)+(n+1)-2| =1, 2 2 (m+1) +(n+1)

4

所以 mn=m+n+1≤?

?m+n? . ? ? 2 ?

2

1 2 设 t=m+n,则 t ≥t+1,解得 t∈(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞). 4 答案 D 9.(2014?湖北,12)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x +y =1 分成长度相等 的四段弧,则 a +b =____________. π 2 |a| 解析 由题意得,直线 l1 截圆所得的劣弧长为 ,则圆心到直线 l1 的距离为 ,即 = 2 2 2 2 2 2 2 2 ? a =1,同理可得 b =1,则 a +b =2. 2 答案 2 10.(2014?江苏, 9)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 x+2y-3=0 被圆(x-2) +(y+1) =4 截得的弦长为________. |2-2-3| 3 解析 因为圆心(2,-1)到直线 x+2y-3=0 的距离 d= = ,所以直线 x+ 5 5 2y-3=0 被圆截得的弦长为 2 答案 2 55 5
2 2 2 2 2 2 2 2

9 2 55 4- = . 5 5

11.(2016?江苏,18)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知以 M 为圆心的圆 M:x +y -12x -14y+60=0 及其上一点 A(2,4).

(1)设圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切,且圆心 N 在直线 x=6 上,求圆 N 的标准方程; (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点,且 BC=OA,求直线 l 的方程; → → → (3)设点 T(t, 0)满足: 存在圆 M 上的两点 P 和 Q, 使得TA+TP=TQ, 求实数 t 的取值范围. 解 (1)圆 M 的方程化为标准形式为(x-6) +(y-7) =25,圆心 M(6,7),半径 r=5,
2 2 2 2 2

由题意,设圆 N 的方程为(x-6) +(y-b) =b (b>0). 且 (6-6) +(b-7) =b+5. 解得 b=1,∴圆 N 的标准方程为(x-6) +(y-1) =1. (2)∵kOA=2,∴可设 l 的方程为 y=2x+m, 即 2x-y+m=0.
5
2 2 2 2

又 BC=OA= 2 +4 =2 5. 由题意,圆 M 的圆心 M(6,7)到直线 l 的距离为 d= 即 |2?6-7+m| 2 +(-1)
2

2

2

2 ?BC? 2 5 -? ? = 25-5=2 5. ?2?

2

=2 5,

解得 m=5 或 m=-15. ∴直线 l 的方程为 y=2x+5 或 y=2x-15. → → → (3)由TA+TP=TQ,则四边形 AQPT 为平行四边形, 又∵P、Q 为圆 M 上的两点, ∴|PQ|≤2r=10. ∴|TA|=|PQ|≤10,即 (t-2) +4 ≤10, 解得 2-2 21≤t≤2+2 21. 故所求 t 的范围为[2-2 21,2+2 21]. 12.(2015?广东, 20)已知过原点的动直线 l 与圆 C1: x +y -6x+5=0 相交于不同的两点 A,
2 2 2 2

B.
(1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解 (1)圆 C1 的标准方程为(x-3) +y =4.
2 2

∴圆 C1 的圆心坐标为(3,0). (2)设动直线 l 的方程为 y=kx.
?(x-3) +y =4, ? 2 2 联立? ? (k +1)x -6x+5=0, ?y=kx ?
2 2 4 则 Δ =36-4(k +1)?5>0? k < . 5 2 2

设 A,B 两点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2= ? AB 中点 M 的轨迹 C 的参数方程为 3 x= ? k + 1, ? ? 3k ? 2 5 2 5? - <k< ?, ? ?y=k +1,? 5 ? ? 5
2 2

6 . k +1
2

2 9 5 ? 3? 2 即轨迹 C 的方程为?x- ? +y = , <x≤3. 4 3 ? 2?
6

? ?x -3x+y =0, 2 2 2 (3)联立? ? (1+k )x -(3+8k)x+16k =0. ? ?y=k(x-4)

2

2

3 2 2 2 令 Δ =(3+8k) -4(1+k )16k =0? k=± . 4 2 5 2 5? ?5 又∵轨迹 C(即圆弧)的端点? ,± ?与点(4,0)决定的直线斜率为± 7 . 3 3 ? ?

? 2 5 2 5? ∴当直线 y = k(x - 4) 与曲线 C 只有一个交点时, k 的取值范围为 ?- , ?∪ 7 ? ? 7
? 3 3? ?- , ?. ? 4 4?

3 3? ? 2 5 2 5? ? 综上所述,所求 k 的取值范围为?- , ?∪?-4,4?. 7 ? ? ? ? 7

7


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