当前位置:首页 >> 数学 >>

一道三角题的多种解法与“弦图”背景


一道三角题的多种解法与“弦图” 一道三角题的多种解法与“弦图”背景
湖北省阳新县高级中学 邹生书 题 目 以 的 斜 边 为 一 边 向 形 外 作 正 方 形 : , 设 .







这是笔者从华中师范大学彭翕成老师的博客中看到的一道题目, 该题首先是由彭老师发 给史嘉老师的并且要求用向量进行解答, 然后史嘉老师将此题发到人教网上征求解答, 引起 网友们的强烈反响和热烈参与,解法多种多样精彩纷呈,笔者从中受益匪浅,现将有关解法 和本人的肤浅体会整理成文与大家分享.

一、路漫漫其修远兮,吾将上下而求索 路漫漫其修远兮,

图1

证法 1 如图 1,过点 形的边长为 1,则



于点



于点

,设

,设正方 .





于是 .由余弦定理得,

. 同理 ,





图2

.

由上易证

.

证法 2 以

的中点

为坐标原点建立直角坐标系如图 2 所示,设正方形的边长为 2. .由向量

依题意点

在以

为直径的上半圆上,设点

的坐标为

夹角公式知,要证

.只要证 .

,只要证



, 得

.









.

所以

.







.

所以



所以

,故

.

证法 3 以

的中点

为坐标原点建立直角坐标系如图 2 所示,设正方形的边长为 2, .

依题意点

在以

为直径的上半圆上,设点

的坐标为

因为

, 所以要证

, 只要证



即要证 .由到角公式得,

,两边同除以

,则只要证

.



.

二、“弦图”背景——会当临绝顶,一览众山小 弦图”背景——会当临绝顶, ——会当临绝顶 该题文字简洁解法多样且背景深厚.上述证法运算量较大, 若将其补成一个正方形如图 3 所示,补形后不仅图形对称完美,而且证明思路更加清晰证法更加简洁直观.

证法 4 同法 2 只要证 交 线 的延长线于点 ,过点 作 交

.如图 3,过点 的延长线于点



,设直

图3

相交于点

,易证四边形

是正方形,

且四个角上的四个直角形全等,此图就是我国古代数

学家赵爽用于证明勾股定理的“弦图”.



,则

,则

.

由向量数量积的几何意义得,





所以

.

.

所以

.所以

.



.

由直角三角形的边角关系得, 证法 5 同法 4 补形成正方形,



所以

.由余弦定理得,

.

综上

.

证法 6 如图 3,因为

,所以要证

,只要证

,即要证

.





,所以





.

证法 7 同法 6 只要证

, 两边同除以



则只要证

,而

,故

.

赵爽弦图 2002 年国际数学家大会在北京召开,大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”, 体现了数学研究中的继承和发展.赵爽的“弦图”隐含了勾股定理的两种面积证法,其证法如 下:

证法 1 由“弦图”知,边长为 的正方形面积等于边长为

的正方形面积减去 4 个

两直角边为

的三角形面积,即

.

证法 2 由“弦图”知,边长为 的正方形面积等于边长为

的正方形面积加上 4 个

两直角边为

的三角形面积,即

.

赵爽的“弦图”证法优美精巧是证明勾股定理最著名的证法之一, 特别是“弦图”一图蕴涵 两种证法更是举世无双.“弦图”是证明勾股定理的无字证明,充分体现了我国古代的数学文 明和数学文化,本题补形后的“弦图”不仅图形对称完美,而且证明思路更加清晰证法更加简 洁直观,使我们再次领会到“弦图”的魅力和丰富的数学内涵.


赞助商链接
相关文章:
一道三角函数题的多种解法
一道三角函数题的多种解法林秋林 摘要: 三角函数的求值问题是三角函数中的一个最基本内容, 公式和方法选择的不同会直接 导致运算量的差异.笔者针对学生反映问题...
一道斜三角形应用题的多种解法和启示
一道三角形应用题的多种解法和启示_理学_高等教育_教育专区。学习资料一道三角形应用题的多种解法和启示江苏省邳州市八义集中学 刘延芹(221300) 内容摘要:本...
一道斜三角形应用题多种解法和启示
一道三角形应用题的多种解法和启示 摘要:本文主要是从一道解斜三角形应用题的三种解法,渗透 方程思想、整体思想在解题中的妙用,以及注意挖掘题目中的隐含 条件...
一道题几何题的多种解法探讨
一道题几何题的多种解法探讨问题:在 Rt△ABC 中,...∴△BDE 是正三角形, ∴BD=ED=BE, ∠BED=∠...(方法五与方法六结合) A A G 图4 F D B M ...
一道几何问题的多种解法
徐老师模型数学 20170717 一道几何问题的多种解法 ...下面这道题有至少 6 种不同的解法: 问题:已知,...【解法一】首先由弦等想到了垂径定理,再用三角形...
一道选择题的多种解法
以下是一道几何选择题的多种解法,与 广大读者共享。 例 如图(1)ABCD 是面积为 1 的正方形,△PBC 为 正三角形,则△BPD 的面积是( ) A C 解法一 解法一...
一道三角基础题的12种解法
一道三角基础题的12种解法_互联网_IT/计算机_专业资料。一道三角基础题的 12 种解法 已知 ? 是某三角形的一个内角,满足 sin ? ? cos ? ? (1)判断该...
一道折叠问题的多种解法
一道折叠问题的多种解法例:有一张三角形状的纸片△ABC,已知∠A=70°, ∠B=60°, 如 A 图, 将∠C沿 DE 折起,点 C 落在△ABC 内部,已知∠1=30°。...
一道三角问题的解法赏析
一道三角题的多种解法与 7页 5财富值如...(1)这是一种典型的化归思想,深刻的背景是将关于 ...)及 y ? ? ( 的图象(如图 3) 3 图3 不妨...
高考数学三角问题的题型与方法
函数函数 y=Asin(ωx+ψ)的简图,理解 A、...三、复习目标 1. 熟练掌握三角变换的所有公式, ...要注意解可能有多种情况. (4)已知三边 a、b、c...
更多相关文章: