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一道三角题的多种解法与“弦图”背景


一道三角题的多种解法与“弦图” 一道三角题的多种解法与“弦图”背景
湖北省阳新县高级中学 邹生书 题 目 以 的 斜 边 为 一 边 向 形 外 作 正 方 形 : , 设 .







这是笔者从华中师范大学彭翕成老师的博客中看到的一道题目, 该题首先是由彭老师发 给史嘉老师的并且要求用向量进行解答, 然后史嘉老师将此题发到人教网上征求解答, 引起 网友们的强烈反响和热烈参与,解法多种多样精彩纷呈,笔者从中受益匪浅,现将有关解法 和本人的肤浅体会整理成文与大家分享.

一、路漫漫其修远兮,吾将上下而求索 路漫漫其修远兮,

图1

证法 1 如图 1,过点 形的边长为 1,则



于点



于点

,设

,设正方 .





于是 .由余弦定理得,

. 同理 ,





图2

.

由上易证

.

证法 2 以

的中点

为坐标原点建立直角坐标系如图 2 所示,设正方形的边长为 2. .由向量

依题意点

在以

为直径的上半圆上,设点

的坐标为

夹角公式知,要证

.只要证 .

,只要证



, 得

.









.

所以

.







.

所以



所以

,故

.

证法 3 以

的中点

为坐标原点建立直角坐标系如图 2 所示,设正方形的边长为 2, .

依题意点

在以

为直径的上半圆上,设点

的坐标为

因为

, 所以要证

, 只要证



即要证 .由到角公式得,

,两边同除以

,则只要证

.



.

二、“弦图”背景——会当临绝顶,一览众山小 弦图”背景——会当临绝顶, ——会当临绝顶 该题文字简洁解法多样且背景深厚.上述证法运算量较大, 若将其补成一个正方形如图 3 所示,补形后不仅图形对称完美,而且证明思路更加清晰证法更加简洁直观.

证法 4 同法 2 只要证 交 线 的延长线于点 ,过点 作 交

.如图 3,过点 的延长线于点



,设直

图3

相交于点

,易证四边形

是正方形,

且四个角上的四个直角形全等,此图就是我国古代数

学家赵爽用于证明勾股定理的“弦图”.



,则

,则

.

由向量数量积的几何意义得,





所以

.

.

所以

.所以

.



.

由直角三角形的边角关系得, 证法 5 同法 4 补形成正方形,



所以

.由余弦定理得,

.

综上

.

证法 6 如图 3,因为

,所以要证

,只要证

,即要证

.





,所以





.

证法 7 同法 6 只要证

, 两边同除以



则只要证

,而

,故

.

赵爽弦图 2002 年国际数学家大会在北京召开,大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”, 体现了数学研究中的继承和发展.赵爽的“弦图”隐含了勾股定理的两种面积证法,其证法如 下:

证法 1 由“弦图”知,边长为 的正方形面积等于边长为

的正方形面积减去 4 个

两直角边为

的三角形面积,即

.

证法 2 由“弦图”知,边长为 的正方形面积等于边长为

的正方形面积加上 4 个

两直角边为

的三角形面积,即

.

赵爽的“弦图”证法优美精巧是证明勾股定理最著名的证法之一, 特别是“弦图”一图蕴涵 两种证法更是举世无双.“弦图”是证明勾股定理的无字证明,充分体现了我国古代的数学文 明和数学文化,本题补形后的“弦图”不仅图形对称完美,而且证明思路更加清晰证法更加简 洁直观,使我们再次领会到“弦图”的魅力和丰富的数学内涵.


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