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数学思想活用-巧得分系列之十 转化思想在抛物线中的应用2


《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

[典例] (2011· 大纲全国卷)已知抛物线 C:y2 =4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠AFB=( 4 A. 5 3 C.- 5 ) 3 B. 5 4 D.- 5

[解析] 法一:设点 A(x1,y1),B(x2,y2).
2 ? ?y =4x 由题意得点 F(1,0), 由? 消去 y 得 x2-5x+4=0, 解得 x=1 或 x=4.因此可令 ?y=2x-4 ?

点 A(1,-2),B(4,4),F(1,0), ∴|AB|=3 5,|FA|=2,|FB|=5. 4 ∴在△FAB 中,由余弦定理知,cos∠AFB=- . 5 法二:由法一知 A(1,-2),B(4,4),F(1,0), ∴ FA =(0,-2), FB =(3,4), ∵∠AFB 可以看作向量 FA 、 FB 的夹角.

FA · FB 4 ∴cos∠AFB= =- . 5 | FA || FB |
[答案] D [题后悟道] 等价转化思想在抛物线中应用广泛.除遇到焦点到抛物线上的点之间的距 离问题使用定义转化外, 有时线段的长度、 角度等问题可转化为相应向量的模与夹角去处理, 如典例法二将∠AFB 转化为向量 FA― →、 FB 夹角计算时较法一利用余弦定理简单,注意 体会运用.

《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

针对训练 (2012· 重庆一诊)已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为________. 解析:由抛物线的定义知,点 P 到点 Q 和点 P 到抛物线焦点的距离之和等于点 P 到点 Q 和点 P 到抛物线准线的距离之和,因为距离之和为最小,所以从点 Q 向抛物线的准线引 1 ? 垂线,与抛物线的交点 P 即为所求,故点 P 坐标为? ?4,-1?. 1 ? 答案:? ?4,-1?


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