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数学公式1-三角函数


同角三角函数的基本关系式
倒数关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系: sinα/cosα=tanα= secα/cscα cosα/sinα=cotα= cscα/secα 平方关系: sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α

诱导公式 sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan (-α) =-tanα cot(-α)=-cotα sin(3π/2-α)= sin(2π-α)=- -cosα cos(3π/2-α)= sinα cos (2π-α) =cosα -sinα tan(3π/2-α)= tan(2π-α)=-

sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα

sin(π-α)=sinα tanα cos(π-α)=-cosα cotα tan(π-α)=-tanα cot(3π/2-α)= cot(2π-α)=- cotα cot(π-α)=-cotα tanα

sin(π/2+α)=cosα sin(π+α)=-sinα cos (π/2+α) =-sinα cos(π+α)=-cosα tan (π/2+α) =-cotα tan(π+α)=tanα cot π/2+α) ( =-tanα cot(π+α)=cotα

(2kπ+α) =sinα sin(3π/2+α)= sin cos(2kπ+α)= -cosα cos(3π/2+α)= cosα tan(2kπ+α)= sinα tan(3π/2+α)= tanα cot(2kπ+α)= -cotα cot(3π/2+α)= cotα (其中 k∈Z) -tanα

两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ tan(α+β)=—————— 1-tanα ·tanβ tanα-tanβ tan(α-β)=——————

万能公式 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan2(α/2) 1-tan2(α/2) cosα=—————— 1+tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα=—————— 1-tan2(α/2)

1+tanα ·tanβ 半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1- 2sin2α 2tanα tan2α=————— 1-tan2α 三角函数的和差化积公式 α+β α-β sinα+sinβ=2sin—--· cos—-— 2 2 α+β α-β sinα-sinβ=2cos—--· sin—-— 2 2 α+β α-β cosα+cosβ=2cos—--· cos—-— 2 2 α+β α-β cosα-cosβ=-2sin—--· sin—-— 2 2

三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α=3sinα-4sin3α cos3α=4cos3α-3cosα 3tanα-tan3α tan3α=—————— 1-3tan2α

三角函数的积化和差公式 1 sinα ·cosβ=-[sin (α+β) +sin (α-β) ] 2 1 cosα ·sinβ=-[sin (α+β) -sin (α-β) ] 2 1 cosα ·cosβ=-[cos(α+β)+cos(α -β)] 2 1 sinα ·sinβ=- -[cos(α+β)-cos(α -β)] 2

化 asinα ±bcosα 为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式)

1.基本求导公式 ⑴ ( C ) ? ? 0 (C 为常数)⑵ ( x ) ? ? nx
n n ?1

;一般地, ( x ) ? ? ? x
1 x
2

?

? ?1



2 特别地: ( x ) ? ? 1 , ( x ) ? ? 2 x , ( ) ? ? ?

1

, ( x )? ?
2

1 x



x
x x x x

⑶ ( e ) ? ? e ;一般地, ( a ) ? ? a ln a ( a ? 0 , a ? 1) 。 ⑷ (ln x ) ? ?
1 x

;一般地, (log

a

x)? ?

1 x ln a

( a ? 0 , a ? 1) 。

2.求导法则 ⑴ 四则运算法则 设 f(x),g(x)均在点 x 可导,则有: (Ⅰ) ( f ( x ) ? g ( x ) ) ? ? f ?( x ) ? g ?( x ) ; (Ⅱ) ( f ( x ) g ( x ) ) ? ? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ,特别 ( Cf ( x ) ) ? ? C f ?( x ) (C 为常数) ;

(Ⅲ) (

f (x) g (x)

)? ?

f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) g (x)
2

, ( g ( x ) ? 0 ) ,特别 (

1 g (x)

)? ? ?

g ?( x ) g (x)
2



3.微分 函数 y ? f ( x ) 在点 x 处的微分: dy ? y ?dx ? f ?( x ) dx 4、 常用的不定积分公式

(1)

?x ?x

?

dx ? dx ?

1

? ?1
x
4

x

? ?1

? C (? ? ? 1), ? dx ? x ? c , ? xdx ?

x

2

2

? c , ? x dx ?
2

x

3

3



3

?c

4
dx ? ln | x | ? C ;

(2)

?

1 x

? e dx ? e ? C ;
x x

? a dx ?
x

a

x

? C ( a ? 0 , a ? 1) ;

ln a

(3) ? kf ( x ) dx ? k ? f ( x ) dx (k 为常数) 5、定积分

?

b a

f ( x ) d x ? F ( x ) |a ? F ( b ) ? F ( a )
b



?

b

a

[ k 1 f ( x ) ? k 2 g ( x )] dx ? k 1 ? f ( x ) dx ? k 2 ? g ( x ) dx
a a

b

b

⑵ 分部积分法 设 u(x),v(x)在[a,b]上具有连续导数 u ?( x ), v ?( x ) ,则

?
6、线性代数

b

u ( x ) dv ( x ) ? u ( x ) v ( x )

b a

?

a

?

b

v ( x ) du ( x )

a

特殊矩阵的概念
?1 ? 0 ? ? ?? ? ?0 0 1 ? 0 ? ? ? ? 0? ? 0 ?1 ? 二阶 I ? ? 2? 2 ?? ?0 ? 1?
1 ?3 ?5 2 ? ? ?5 ? 7 ? ?

(1) 、零矩阵 O 2 ? 2 ? ?

?0 ?0

0? 、单位矩阵 I n ? , (2) 0?

0? ?, 1?

? a1 ? 0 (3)、对角矩阵 A ? ? ?? ? ?0

0 a2 ? 0

? ? ? 0

0 ? ?2 ? 0 ? (4)、对称矩阵 a ? a , A ? ? 1 ij ji ? ?? ?2 ? ? an ?

? a 11 ? 0 (5)、上三角形矩阵 A ? ? ?? ? ? 0 ? a 11 ? a 21 (6)、矩阵转置 A ? ? ?? ? ? a n1 a 12 a 22 ? an2

a 12 a 22 ? 0 ? ? ? ?

? ? ? 0

a 1n ? ? a1 ? ? a 2n 0 ? 下三角形矩阵 A ? ? ?? ? ? ? ? a nn ? ?0 a 21 a 22 ? a 2n ? ? ? ?

0 a2 ? 0

? ? ? 0 a n1 ? ? an2 ? ? ? ? a nn ?

0 ? ? 0 ? ?? ? an ?

a 1n ? ? a 11 ? ? a 2n a ? 转置后 A T ? ? 12 ?? ? ? ? ? a nn ? ? a 1n
f ? ?a ? e ? ? ? h ? ?c ? g af ? bh ? ? cf ? dh ? b? f? ? d ? h?

6、矩阵运算

?a A? B ? ? ?c b ??e ?? d ??g

b? ?e ?? ? d ? ?g

?a AB ? ? ?c

f ? ? ae ? bg ? ? ? h ? ? ce ? dg

7、MATLAB 软件计算题 例 6 试写出用 MATLAB 软件求函数 y ? ln( 解:>>clear; >>syms x y; >>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2) 例:试写出用 MATLAB 软件求函数 y ? ln( >>clear; >>syms x y; >>y=log(sqrt(x)+exp(x)); >>dy=diff(y) 例 11 试写出用 MATLAB 软件计算定积分 ? 解:>>clear; >>syms x y; >>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y,1,2) 例 试写出用 MATLAB 软件计算定积分 ?
1 x e
x
3

x? x

2

? e ) 的二阶导数 y ?? 的命令语句。
x

x ? e ) 的一阶导数 y ? 的命令语句。
x

2 1

1 x

e

x

3

d x 的命令语句。

d x 的命令语句。

解:>>clear; >>syms x y; >>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y) MATLAB 软件的函数命令 表 1 MATLAB 软件中的函数命令
函数 MATLAB

x

a

x

e

x

ln x

lg x

log

x 2

x
abs ( x )

x^ a

sqrt ( x )

exp( x )

log( x )

log 10 ( x )

log 2 ( x )

运算符号
运算符 功能 + 加 减 * 乘 / 除 ^ 乘方

典型例题 例 1 设某物资要从产地 A1,A2,A3 调往销地 B1,B2,B3,B4,运输平衡表(单位:吨) 和运价表(单位:百元/吨)如下表所示: 运输平衡表与运价表 销地 产地 A1 A2 A3 需求量 3 6 5 6 B1 B2 B3 B4 供应量 7 4 9 20 B1 3 1 7 B2 11 9 4 B3 3 2 10 B4 11 8 5

(1)用最小元素法编制的初始调运方案, (2)检验上述初始调运方案是否最优,若非最优,求最优调运方案,并计算最低运输 总费用。 解:用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示: 运输平衡表与运价表 销地 产地 A1 A2 A3 需求量 3 3 6 6 5 B1 B2 B3 4 1 3 6 B4 3 供应量 7 4 9 20 B1 3 1 7 B2 11 9 4 B3 3 2 10 B4 11 8 5

找空格对应的闭回路,计算检验数:? ? 11 =1,? ? 12 =1,? ? 22 =0,? ? 24 =-2 已出现负检验数,方案需要调整,调整量为 1 调整后的第二个调运方案如下表: 运输平衡表与运价表 销地 产地 A1 A2 A3 需求量 3 3 6 6 5 B1 B2 B3 5 B4 2 1 3 6 供应量 7 4 9 20 B1 3 1 7 B2 11 9 4 B3 3 2 10 B4 11 8 5

求第二个调运方案的检验数:? ? 11 =-1 已出现负检验数,方案需要再调整,调整量为 2 调整后的第三个调运方案如下表: 运输平衡表与运价表 销地 产地 A1 A2 A3 需求量 3 B1 2 1 6 6 5 B2 B3 5 3 3 6 B4 供应量 7 4 9 20 B1 3 1 7 B2 11 9 4 B3 3 2 10 B4 11 8 5

求第三个调运方案的检验数: ? ? 12 =2,? ? 14 =1,? ? 22 =2,? ? 23 =1,? ? 31 =9,? ? 33 =12 所有检验数非负,故第三个调运方案最优,最低运输总费用为: 2×3+5×3+1×1+3×8+6×4+3×5=85(百元) 例 2 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知, 该企业生产的甲、 乙、丙三种产品,均为市场紧俏产品,销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品 的单位产品原材料消耗定额分别为 4 公斤、4 公斤和 5 公斤;三种产品的单位产品所需工时 分别为 6 台时、3 台时和 6 台时。另外,三种产品的利润分别为 400 元/件、250 元/件和 300 元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制,原材料每天只能供应 180 公斤,工时每天只有 150 台时。 1.试建立在上述条件下,如何安排生产计划,使企业生产这三种产品能获得利润最大 的线性规划模型。 2. 写出用 MATLAB 软件计算该线性规划问题的命令语句。 解:1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为 x1 件、x2 件和 x3 件,显然 x1,x2,x3≥0 线性规划模型为
max S ? 400 x 1 ? 250 x 2 ? 300 x 3 ? 4 x 1 ? 4 x 2 ? 5 x 3 ? 180 ? ? 6 x 1 ? 3 x 2 ? 6 x 3 ? 150 ? x ,x ,x ? 0 2 3 ? 1

2.解上述线性规划问题的语句为: >>clear; >>C=-[400 250 300]; >>A=[4 4 5;6 3 6]; >>B=[180;150]; >>LB=[0;0;0]; >>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

?1 例 3 已知矩阵 A ? ? ?0

0 1

?2 ? 1? ? ? , B ? ?4 2 ? ?1 ?

? 1? ?1 ? 1 ,C ? ? ? ?1 ? 1? ?

0 ? T ? ,求: AB ? C ? 2?

?1 解: AB ? C ? ? ?0

0 1

?2 ? 1? ? ? 4 2 ? ? ?1 ?

? 1? ? ?1 1 ? ? ? ?1 ? 1? ?

0 ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ?6

0 ? ?1 ?? ? ? 1? ? 0

1 ? ?2 ? ? ? ? 2? ?6

1 ? ? ? 3?

例4

设 y=(1+x )ln x,求: y ?
1? x x
e
x

2

2

2 2 解: y ? ? (1 ? x ) ? ln x ? (1 ? x )(ln x ) ? ? 2 x ln x ?

例5

设y ?

1? x

,求: y ?

解: y ? ?

( e ) ?(1 ? x ) ? e (1 ? x ) ?
x x

(1 ? x )

2

?

xe

x 2

(1 ? x )

例 7 某厂生产某种产品的固定成本为 2 万元,每多生产 1 百台产品,总成本增加 1 万 2 元,销售该产品 q 百台的收入为 R (q)=4q-0.5q (万元) 。当产量为多少时,利润最大? 最大利润为多少? 解:产量为 q 百台的总成本函数为:C(q)=q+2 2 利润函数 L (q)=R (q)-C(q)=-0.5q +3q-2 令 ML(q)=-q+3=0 得唯一驻点 q=3(百台) 故当产量 q=3 百台时,利润最大,最大利润为 L (3)=-0.5×32+3×3-2=2.5(万元) 例 8 某物流企业生产某种商品, 其年销售量为 1000000 件, 每批生产需准备费 1000 元, 而每件商品每年库存费为 0.05 元,如果该商品年销售率是均匀的,试求经济批量。 解:库存总成本函数 C ( q ) ?
q 40 1 40 1000000000 q
2

?

1000000000 q

令 C ?( q ) ?

?

? 0 得定义域内的唯一驻点 q=200000 件。

即经济批量为 200000 件。 例 9 计算定积分: 解:

?

1 0

( x ? 3e )d x
x

?

1 0

( x ? 3e )d x ? (
x

1 2

x ? 3e ) | ? 3e ?
2 x 0
2

1

5 2

例 10 计算定积分: 解:

?1

3

(x
3

?

2 x

)dx
3

?1

3

(x

2

?

2 x

)dx ? (

1 3

x

? 2 ln | x |) | ?
1

26 3

? 2 ln 3

教学补充说明

1. 对编程问题,要记住函数 e ,ln x, x 在 MATLAB 软件中相应的命令函数 exp(x), log(x),sqrt(x); 2 对积分问题,主要掌握积分性质及下列三个积分公式:

x

?x
?e
1

a

dx ?

1 a ?1
x

x

a ?1

? c (a≠-1)

x

dx ? e ? c

? x d x ? ln | x | ? c
7. 记住两个函数值:e =1,ln 1=0。 模拟试题 一、单项选择题: (每小题 4 分,共 20 分) 1. 若某物资的总供应量( C )总需求量,可增设一个虚销地,其需求量取总供应量 与总需求量的差额,并取各产地到该销地的单位运价为 0,则可将该不平衡运输问题化为平 衡运输问题。 (A) 等于 (B) 小于 (C) 大于 (D) 不超过 2.某物流公司有三种化学原料 A1,A2,A3。每公斤原料 A1 含 B1,B2,B3 三种化学成分的 含量分别为 0.7 公斤、0.2 公斤和 0.1 公斤;每公斤原料 A2 含 B1,B2,B3 的含量分别为 0.1 公斤、0.3 公斤和 0.6 公斤;每公斤原料 A3 含 B1,B2,B3 的含量分别为 0.3 公斤、0.4 公斤 和 0.3 公斤。每公斤原料 A1,A2,A3 的成本分别为 500 元、300 元和 400 元。今需要 B1 成分 至少 100 公斤,B2 成分至少 50 公斤,B3 成分至少 80 公斤。为列出使总成本最小的线性规划 模型,设原料 A1,A2,A3 的用量分别为 x1 公斤、x2 公斤和 x3 公斤,则目标函数为( D ) 。 (A) max S=500x1+300x2+400x3 (B) min S=100x1+50x2+80x3 (C) max S=100x1+50x2+80x3 (D) min S=500x1+300x2+400x3 3. 设 A ? ?
? 1 ?4 ? x 2? ?, 7? ?1 B ? ? ?x 2? ? ,并且 A=B,则 x=( 7?
0

C ) 。

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 2 4.设运输某物品 q 吨的成本(单位:元)函数为 C(q)=q +50q+2000,则运输该物品 100 吨时的平均成本为( A )元/吨。 (A) 170 (B) 250 (C) 1700 (D) 17000 5. 已知运输某物品 q 吨的边际收入函数为 MR (q),则运输该物品从 100 吨到 300 吨时 的收入增加量为( D ) 。 (A) (C)

? 100

300

MR ( q ) d q ? C ( 0 )

(B) (D)

? 300 MR ( q ) d q ? 100
300

100

? MR ( q ) d q
0 1

MR ( q ) d q

二、计算题: (每小题 7 分,共 21 分)
?1 6.已知矩阵 A ? ? ?0 ?2 ? 1? ? ? , B ? ?4 2 ? ?1 ? ? 1? ?1 ? 1 ,C ? ? ? ?1 ? 1? ? 0 ? ? ,求:AB+C ? 2?

?1 解: AB ? C ? ? ?0

0 1

?2 ? 1? ? ? 4 2 ? ? ?1 ?

? 1? ? ?1 1 ?? ? ?1 ? 1? ?

0 ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ?6

0 ? ?1 ??? ? 1 ? ?1

0 ? ?2 ? ? ? ? 2 ? ?7

0 ? ? ? 3?

7. 设 y ?

ln x 1? x
3

,求: y ?
1? x
3

解: y ? ?

(ln x ) ? ? (1 ? x ) ? (ln x ) ? (1 ? x ) ?
3 3

? 3 x ln x
2 3 2

(1 ? x )
3

2

?

x (1 ? x )

8. 计算定积分: ? ( x 3 ? 2 e x ) d x
0

1

解: ? ( x 3 ? 2 e x ) d x ? ( x 4 ? 2 e x ) | ? 2 e ?
0

1

1

1

7 4

4

0

三、编程题: (每小题 6 分,共 12 分) 9. 试写出用 MATLAB 软件求函数 y ? ln( x ? x 2 ? e x ) 的二阶导数 y ?? 的命令语句。 解:>>clear; >>syms x y; >>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2) 10. 试写出用 MATLAB 软件计算定积分 ? x e
0 1 x

d x 的命令语句。

解:>>clear; >>syms x y; >>y=x*exp(sqrt(x)); >>int(y,0,1) 四、应用题(第 11、12 题各 14 分,第 13 题 19 分,共 47 分) 11. 某物流企业生产某种商品, 其年销售量为 1000000 件, 每批生产需准备费 1000 元, 而每件商品每年库存费为 0.05 元,如果该商品年销售率是均匀的,试求经济批量。 解: 库存总成本函数 C ( q ) ?
1 40 1000000000 q
2

q 40

?

1000000000 q

令 C ?( q ) ?

?

? 0 得定义域内的惟一驻点 q=200000 件。

即经济批量为 200000 件。 12. 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知,该企业生产的甲、 乙、丙三种产品,均为市场紧俏产品,销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品 的单位产品原材料消耗定额分别为 4 公斤、4 公斤和 5 公斤;三种产品的单位产品所需工时 分别为 6 台时、3 台时和 6 台时。另外,三种产品的利润分别为 400 元/件、250 元/件和 300 元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制,原材料每天只能供应 180 公斤,工时每天只有 150 台时。试建立在上述条件下,如何安排生产计划,使企业生产这三 种产品能获得利润最大的线性规划模型,并写出用 MATLAB 软件计算该线性规划问题的命令 语句。 解:设生产甲、乙、丙三种产品分别为 x1 件、x2 件和 x3 件,显然 x1,x2,x3≥0 线性规划模型为

max S ? 400 x 1 ? 250 x 2 ? 300 x 3 ? 4 x 1 ? 4 x 2 ? 5 x 3 ? 180 ? ? 6 x 1 ? 3 x 2 ? 6 x 3 ? 150 ? x,x ,x ? 0 2 3 ? 1

解上述线性规划问题的语句为: >>clear; >>C=-[400 250 300]; >>A=[4 4 5;6 3 6]; >>B=[180;150]; >>LB=[0;0;0]; >>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 线性规划习题 1. 某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品,要用 A,B,C 三种不同的原料,从工艺 资料知道:每生产一件产品甲,需用三种原料分别为 1,1,0 单位;生产一件产品乙,需用 三种原料分别为 1,2,1 单位。每天原料供应的能力分别为 6,8,3 单位。又知,销售一件 产品甲,企业可得利润 3 万元;销售一件产品乙,企业可得利润 4 万元。试写出能使利润最 大的线性规划模型,并用 MATLAB 软件计算(写出命令语句,并用 MATLAB 软件运行) 。 解:设生产甲产品 x 1 吨,乙产品 x 2 吨。 线性规划模型为:
max S ? 3 x 1 ? 4 x 2

? x1 ? x 2 ? 6 ? ? x1 ? 2 x 2 ? 8 ? x2 ? 3 ? ? x ,x ? 0 ? 1 2

用 MATLAB 软件计算该线性规划模型的命令语句为: >> clear; >> C=-[3 4]; >> A=[1 1;1 2;0 1]; >> B=[6;8;3]; >> LB=[0;0]; >> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 2. 某物流公司有三种化学产品 A1,A2,A3 都含有三种化学成分 B1,B2,B3,每种产品成 分含量及价格(元/斤)如下表,今需要 B1 成分至少 100 斤,B2 成分至少 50 斤,B3 成分至少 80 斤,试列出使总成本最小的线性规划模型。 相关情况表 产品含量 成 分 A1 每斤产品的成分含量 A2 A3

B1 B2 B2 产品价格(元/斤)

0.7 0.2 0.1 500

0.1 0.3 0.6 300

0.3 0.4 0.3 400

解:设生产 A1 产品 x 1 公斤, 生产 A 2 产品 x 2 公斤, 生产 A 3 产品 x 3 公斤,
min S ? 500 x 1 ? 300 x 2 ? 400 x 3 ? 0 . 7 x 1 ? 0 . 1 x 2 ? 0 . 3 x 3 ? 100 ? ? 0 . 2 x 1 ? 0 . 3 x 2 ? 0 . 4 x 3 ? 50 ? ? 0 . 1 x 1 ? 0 . 6 x 2 ? 0 . 3 x 3 ? 80 ? x1 , x 2 , x 3 ? 0 ?

3. 某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子,产品的销路挺好。生产每张桌子的利润为 12 元,每张椅子的利润为 10 元。生产每张桌子在该厂的装配中心需要 10 分钟,在精加工 中心需要 20 分钟;生产每张椅子在装配中心需要 14 分钟,在精加工中心需要 12 分钟。该 厂装配中心一天可利用的时间不超过 1000 分钟,精加工中心一天可利用的时间不超过 880 分钟。 假设生产桌子和椅子的材料能保证供给。 试写出使企业获得最大利润的线性规划模型, 并用 MATLAB 软件计算(写出命令语句,并用 MATLAB 软件运行出结果) 解:设生产桌子 x 1 张,生产椅子 x 2 张
max S ? 12 x 1 ? 10 x 2 ?10 x 1 ? 14 x 2 ? 1000 ? ? 20 x 1 ? 12 x 2 ? 880 ? x1 , x 2 ? 0 ?

MATLAB 软件的命令语句为: >> clear; >> C=-[12 10]; >> A=[10 14; 20 12]; >> B=[1000;880]; >> LB=[0;0]; >> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 4、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品,这两种产品分别需要 A,B,C,D 四种 不同的机床加工,这四种机床的可用工时分别为 1500,1200,1800,1400.每件甲产品分别 需要 A,B,C 机床加工 4 工时、2 工时、5 工时;每件乙产品分别需要 A,B,D 机床加工 3 工时、 3 工时、2 工时。又知甲产品每件利润 6 元,乙产品每件利润 8 元。试写出能获得最大利润 的线性规划问题。 解:设生产甲产品 x 1 件,乙产品 x 2 件。 线性规划模型为:
max S ? 6 x 1 ? 8 x 2

? 4 x 1 ? 3 x 2 ? 1500 ? 2 x ? 3 x 2 ? 1200 ? 1 ? 5 x 1 ? 1800 ? 2 x 2 ? 1400 ? x1 , x 2 ? 0 ?

用 MATLAB 软件计算该线性规划模型的命令语句为: >> clear; >> C=-[6 8]; >> A=[4 3;2 3;5 0;0 2]; >> B=[1500;1200;1800;1400]; >> LB=[0;0]; >> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 5、 某物流企业用甲、乙两种原材料生产 A,B,C 三种产品。企业现有甲原料 30 吨,乙原料 50 吨。每吨 A 产品需要甲原料 2 吨;每吨 B 产品需要甲原料 1 吨,乙原料 2 吨;每吨 C 产品需要乙原料 4 吨。又知每吨 A,B,C 产品的利润分别为 3 万元、2 万元和 0.5 万元。 试写出能获得最大利润的线性规划问题。 解:设生产 A 产品 x 1 吨,B 产品 x 2 吨,C 产品 x 3 吨。 线性规划模型为:
max S ? 3 x 1 ? 2 x 2 ? 0 . 5 x 3

? 2 x 1 ? x 2 ? 30 ? ? 2 x 2 ? 4 x 3 ? 50 ? ? ? x ,x ,x ? 0 ? 1 2 3

用 MATLAB 软件计算该线性规划模型的命令语句为: >> clear; >> C=-[3 2 0.5]; >> A=[2 1;2 4]; >> B=[30;50]; >> LB=[0;0;0]; >> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)


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