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p应用4-空间向量在立体几何中综合应用


空间向量 在立体几何中的应用5

前段时间我们研究了用空间向量求 角(包括线线角、线面角和面面角)、求 距离(包括线线距离、点面距离、线面 距离和面面距离) 今天我来研究如何利用空间向量来 解决立体几何中的有关证明及计算问 题。

复习空间向量(一)
一、空间向量的运算及其坐标运算的掌握

是平面向量的推广, 有关运算方法几 乎一样,只是 “二维的”变成 “三维的”了.
二、立体几何问题的解决──向量是很好的工具

(一)平行与垂直的判断
(二)夹角与距离的计算

一、 用空间向量处理“平行”问 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 题
的法向量分别为 u, v ,则
线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ;

线面平行

l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ;

面面平行

? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv .

注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 包括线在面内,面面平行包括面面重合.

例1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, A1 P P、Q分别是A1B1和 BC上的动点,且 A1P=BQ,M是AB1 的中点,N是PQ的 中点. 求证: A MN∥平面AC. (1)M是中点,N是中点
MN∥平面AC

D1

C1
B1

M D

N Q R B C

MN∥RQ

法(2) 作PP1⊥AB于P1, 作MM1 ⊥AB于M1,A1 连结QP1, 作NN1⊥ QP1于N1, 连结M1N1 NN1∥PP1 A MM1∥AA1

D1

C1 B1

P

M D P1 M1

N N1 B Q C

又NN1、MM1均等于边长的一半 故MM1N1N是平行四边形,故MN∥M1N1 MN∥平面AC

z 证明:建立如图 D1 所示的空间直角 C1 坐标系o-xyz A1 B1 P 设正方形边长为2, 又A1P=BQ=2x N 则P(2,2x,2)、 M o Q(2-2x,2,0) C D Q 故N(2-x, 1+x, 1),而A B M(2, 1, 1) x 所以向量 MN ? (-x, x, 0),又平面 AC 的法 ? ? ? 向量为 n ? (0, 0, 1),∴ MN ? n ? 0 ∴MN ? n 又M不在平面AC 内,所以MN∥平面AC

y

例2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,求证: A 1 平面A1BD∥平面CB1D1 (1)平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD

D1 B1

C1

D A B

C

于是平面A1BD∥平面CB1D1

(2)证明:建立如图所示 的空间直角坐标系o-xyz A1 设正方形边长为1, 则向量 DA1 ? (1,0,1)

z

D1 B1

C1

A 设平面 BDA 的法向量 1 ? B x 为 n ? ( x, y, z ) 则有 x=1 x+z=0 令x=1,则得方程组的解为 y=-1 x+y=0 z=-1 ? 故平面BDA1的法向量为 n ? (1,?1,?1)

DB ? (1,1,0)

oD

C

y

z A1

D1

C1

B1
y

oD A
x B

C

则显然有 n ? ?m 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1

? 同理可得平面 ? CB1D ? 1的法向量为m ? (?1,1,1)

例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的 中点. 求证: 平面AEH∥平面BDGF

D1 H

G F B1

C1

A1

E

D A B

C

AD∥GF,AD=GF 平行四边形ADGE AE∥DG 又EH∥B1D1,GF∥B1D1 EH∥GF
故得平面AEH∥平面BDGF

略证:建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz A1 则求得平面 ? AEF的法向 量为 n ? (2,2,1) 求得平面 ? BDGH的法向 A 量为 m ? (2,2,1) x 显然有

z F

D1 E

G

H C1 B1

oD B

C

y

? ? m?n

故 平面AEH∥平面BDGF

二、 用空间向量处理“垂直”问 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 题
的法向量分别为 u, v ,则

线线垂直
线面垂直
面面垂直

l ⊥m ? a ⊥b ? a?b ? 0; l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ;

? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.

二、 用空间向量处理“垂直”问 题
? m ? m


? ? n ?? m

? n

? n

? ? n?m ? 0

例 例4 5 : 在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中.E,F分别是CC ', BD的中点.

求证:A ' F ? 平面BDE.
证明:如图取 DA, DC , DD '分别为x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2. A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2) E(0,2,1),F(1,1,0)
A ' F ? (?1,1, ?2), DB ? (2, 2,0), DE ? (0, 2,1) A ' F ? DB ? (?1,1, ?2) ? (2, 2,0) ? 0 A ' F ? DE ? (?1,1, ?2) ? (0, 2,1) ? 0
X

Z

E

Y

F

? A ' F ? DB, A ' F ? DE, 又DB DE ? D.? A ' F ? 平面BDE

练习1
已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 N 分 别 是 AB 、PC 的 中 点 , 并 且 面, M、 PA ? AD ,求证: MN ? 平面 PDC
分析:坐标系容易建立, 应考虑用坐标法,解题思路 水到渠成.
P
D N

C

A

M

B

. 已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 N 分 别 是 AB 、PC 的 中 点 , 并 且 面, M、 PA ? AD ,求证: MN ? 平面 PDC
? 可设 DA ? i , AB ? j , AP ? k , PA ? 1 P N 分别以 i, j , k 为坐标向量建立空间直角坐标系A ? xyz D

证明:

PA ? AD ? AB, 且PA ? 平面AC , AD ? AB
z

C
y

? MN ? ( ?

A(0,0,0), B(0,1,0), C ( ?1,1,0), D( ?1,0,0), P (0, 0,1) M (0, 1 , 0), N ( ? 1 , 1 , 1 ) A 2 2 2 2 x 1 1
DC ? (0,1,0)
, 0, ) PD ? (?1,0, ?1) 2 2

M

B

1 1 ? MN ? PD ? ( ? , 0, ) ? ( ?1, 0, ?1) ? 0 ? MN ? PD 2 2 1 1 ? MN ? DC ? ( ? , 0, ) ? (0,1, 0) ? 0 ? MN ? DC 2 2
又 PD DC ? D ? MN ? 平面PDC

例6:如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=AA1/3=a,E、F分别是BB1、CC1上 的点,且BE=a,CF=2a 。 求证: 面AEF?面ACF。 z
A1 C1

B1

F

A

E

C y

x

B

证明:如图,建立空间直角 坐标系A-xyz ,

A1

z

C1 F

不防设 a =2,则A(0,0,0), B1 B(?3 ,1,0)C(0,2,0), E( ?3,1,2) F(0,2,4), AE=( ?3,1,2)AF=(0, 2, E A 4),因为,x轴?面ACF 所以 可 x1,0, 取面ACF的法向量为m=( B 0),设n=(x,y,z)是面AEF的法 向量,则 令z=1得, x=0 nAE=?3x+y+2z=0 ? y= -2z

C

y

{ nAF=2y+4z=0

{

n=(0,-2,1)

显然有m n=0,即,m?n

?面AEF?面ACF

练习2 已知ABCD是矩形,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=a,AD= 2a M、N分别是AD、PB的中点。
P



求证:平面MNC⊥平面PBC;
?

N C

D M? A B

小结:
利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题,是 近年来很“热”的话题,其原因是它把有关的“证明” 转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几 何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子,结合我们 以前讲述立体几何的其他问题(如:求角、求距离等), 大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系 及写出有关点的坐标。 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展 趋势,而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主 要工具,故学会用向量法解立体几何问题是学好立体 几何的基础。


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