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毕业论文-中学数学教学改革与内容改革






第 1 章 引 言 ...................................................... 3 1.1 中学数学内容改革的现状[1] ....................................... 3 第 2 章 中学几何内容改革的新思路 ................................... 5 2.1 几何在现有中学数学教学中的现状及不足 ........................... 5 2.2 解决中学几何问题的关键 ......................................... 6 2.3 面积法在中学几何中的应用 ....................................... 8 2.4 三角函数的导入 ................................................. 8 2.5 几何新中心——三角形面积公式 ................................... 8 2.6 关于几何改革新思路的优劣分析................................... 9 第 3 章 数学史——容易遗忘的角落 .................................. 16 3.1 数学史在现有中学数学教学中的现状 .............................. 16 3.2 数学史的教育功能 ............................................. 19 3.3 数学史在中学数学中的运用与融合................................ 20 第 4 章 与大学内容的衔接——微积分的高门槛 ........................ 26 4.1 微积分的教学现状 .............................................. 26 4.2 极限的初等化.................................................. 26 4.3 数列的极限 ................................................... 28 致 谢 ............................................................ 33 参 考 文 献 ................................................... 34

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论文题目:现有中学数学内容改革中存在的问题及对策分析

摘 要
我国新一轮数学课程改革自进入新世纪以来已经取得了长足的进步。 这一改 革有不少可取和成功的地方,极大地促进了诸多新的教育思想或理论的传播,但 也有很多地方值得认真的总结和反思. 本文通过对中学数学内容改革不足的简要分析,主要针对中学几何、数学史 教育以及极限的初等化等三部分内容改革的不足提供了相应对策,这对中学数学 教育的探索以及中学数学课程改革有着一定指导意义和参考价值.

关键词 内容改革; 三角函数; 数学史 ;极限

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第1章 引 言
数学课程改革一直是数学教育改革的中心,如 20 世纪初的数学教育近代化 运动,20 世纪 50 年代中叶由美国发起的数学教育现代化运动,直至面向 21 世纪 的教育改革,其中心是数学内容的改革.中国在这样一个改革的大背景下,建国后 数学课程经历了三次大的改革:最初是移植国外课程,然后是义务教育的课程的 实施,直至今日又开始新一轮的数学课程改革.这都说明了数学课程在数学教育 中的核心地位.
[2]

1.1 中学数学内容改革的现状[1]
课程研制及具体实施、实验还将持续一个相当长的时期,现在我中国中学数 学课程改革呈现以下趋势: 一、实现从“升学型”课程向“素质型”课程转轨 数学教育的根本目的在于提高全民的数学素质,为学生的终身可持续发展奠 定良好的基础;数学课程必须从传统的“升学教育”转向具有时代意义的“素质 教育”.这就要破斥惟天资论的教育观念,建立面向全体学生的数学课程体系,实 现: (1)人人学有价值的数学; (2)人人都能获得必要的数学; (3)不同的人在数学上得到不同的发展. 二、实现数学课程内容的现代化、综合化 数学课程的教学内容要与时俱进,要剔除不合时代要求的教学内容,把近现 代数学成果适当纳入教材,尽量缩小教学内容同时代数学成果的差距.计算机技 术、算法思想、数学建模、数学文化、概率统计、数据处理等,没有争议地要进 入基础教育的数学课程. “微积分的衰落和离散数学的兴起” 、古典集合分量的相 对减少,将是数学课程改革总的趋势. 另外,由于当代数学综合化趋势的加强,一大批应用数学学科或学科分支不 断涌现,有些传统的概念和范畴正在被综合性的概念和范畴所代替,数学课程内 容将适当加强数学领域的综合学习,如将集合,代数合二为一,灵活变通、相互渗 透、相互为用.

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三、强化数学知识的社会适用性 20 世纪后期,由于计算机的出现,高度发展的数学与计算机技术的结合,形 成了数学技术,使得高新技术得到迅猛发展,以至有人说: “高技术本质上是学习 技术” .如今,数学的应用无处不在,而且几乎所有的数学都找到了它应用的领域, 这种趋势方兴未艾.为了得数学课程,将更重视数学对社会发展的作用,强化数学 知识的社会适应性,重视数学与社会、 生活的关系,新的数学课程将更贴近学生生 活的各个角落. 同时,数学课程也将由封闭式的“小课堂”走向开放式的“大课堂”,从“小 课堂”中的“学数学”,走向“大课堂”中“体验数学”“做数学”.未来的数学 、 课程将充分考虑拓展学生的学习时间和空间,让学生在生活中形成“数学意识”, 用“数学头脑”去分析和解决现实问题. 四、增加数学课程的弹性和选择性 为适应 21 世纪信息社会的知识经济发展要求,数学课程将改整齐划一、 高度 集中的数学课程为多样化的课程,必学内容将减少,选学内容要增加,增加课程的 弹性和选择性,保障和促进新课程对不同地区、 不同学校和不同学生发展的要求, 要建立国家、 地区、 学校三级课程管理体系,大力发展地方课程和校本课程,增强 数学课程的适应性. 同时,各学校可根据当地的实际以及学校学生的不同层次,灵活选择参照不 同层次的数学教学大纲.真正使“难教难学”的数学成为“易教易学”的数学, 使数学走向大众,支持个性发展,使各类不同层次的学生都有相应的提高,具备相 应的数学意识和数学观念. 学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的.在内容的呈现 上应根据各阶段学生所具有的独特学习背景,采用不同的表达方式,制定不同的 课程目标,以求形成不同的理解.教材建设是课程改革的一个重要方面,但是从总 体上说依然有一些普遍性的问题需要我们作更深入的思考和研究.下面我们从中 学几何的新思路(抓住面积、引入三角函数)、数学史在中学数学中的作用(增强 爱国信念、 吸取先进数学思想等)以及高中到大学的内容衔接(讲不讲极限?若讲, 该如何讲?)等三个方面,提出了关于中学数学内容改革的一些建议和思考.

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第 2 章 中学几何内容改革的新思路
2.1 几何在现有中学数学教学中的现状及不足
几何一直是中小学数学课程改革的焦点.从贝利提出 “数学教育应从欧氏 《几 何原本》的包围中解放出来”,到“新数”运动的“欧几里得滚蛋”,从克莱因的 爱尔朗根纲领,到托姆与狄奥东尼之争,中学几何在风风雨雨中度过了一个多世 纪.几何在数学中占有举足轻重的地位,历史上,数学科学首先是以几何学的形式 出现的.几何学提出的问题,诱发出一个又一个重要的数学观念和有力的数学方 法.在现代,几何学正趋于活跃和复兴.[3] 在中学阶段,代数的教学方式和内容在各国是基本一致的,但几何教学内容 却很少一致,虽然它几乎只涉及平面几何的基础知识、坐标和向量的简单应用, 以及基本的立体几何知识.对比各种数学教材,不难发现,现行中学几何课程以及 教学方式主要出现以下一些问题: (1)过分强调推理论证的严密性,忽视了几何学本身具有直观性的特点; (2)推理论证的方法是否符合学生的认知过程,是一个很重要的问题; (3)考虑到进一步学习的需要,我们的几何教学偏于弱化趋势.

2.2 解决中学几何问题的关键
如果我们把数学比作美丽的大花园,那么几何学就是花园门前五彩缤纷的花 坛和晶莹夺目的喷泉,它吸引着更多的青少年学生来进一步了解数学、 研究数学. 因此,怎样处理好几何学的呈现方式或教学方法,成为了中学数学课程改革的重 点,也是关键. 那么对于它的内容的安排,又该何去何从呢? 首先,它应该直观、 生动,内容丰富,具有浓厚的趣味.它也应当有由易到难的 练习题,并且用引人入胜的方法引导学生解决一系列的数学问题.其次,在逻辑结 构上,它应当有明确的中心,便于从这里出发去解决或推导其它的数学问题,同时 要有俯瞰数学全局的制高点.再有,它应当提供一些常用的高效的解题方法,应当 兼有几何的直观性和代数的简洁性,像坐标法那样有迹可循.当然,它也必须能够
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照顾到与其他内容、其他科学的联系,这应该是最基本的要求. 正如前苏联数学家 A ? A ? 斯托利亚尔所说: “几何教学问题仍然是中等数学 教育现代化最复杂的问题之一.它引起了广泛的、 世界性的争论,并且出现了许多 方案.”[3]因此,在这一章中,我们将集中讨论一个关于中学几何内容改革的新方 案,其核心思想是抓住几何图形的面积,引入三角函数的相关概念和定理,最终解 决一些常见的几何问题.

2.3 面积法在中学几何中的应用
我们知道,几何学的产生源于人们对土地面积的测量需要,这样,几何学从一 开始便与面积结下了不解之缘.同时,面积很早就成为人们认识几何图形性质与 证明几何定理的重要工具. 首先,我们以勾股定理和维氏定理的证明为例,着重分析面积法在中学几何 问题中的应用. 案例 1 (勾股定理)在直角三角形中,两直角边的平方之和等于斜边的平方. 勾股定理亦可叙述为: “勾方加股方等于弦方”,这种描述来自于我国古代. 同时,关于勾股定理的证明方法多达 300 余种,其中有很多方法运用了面积法的 思想,现举例如下.
E G b A A A F c a B C D

c a

b

图 2.3.1

图 2.3.2

证法 1 如图 2.3.1 示,4 个同样大小的直角三角形的斜边围成一个正方形,同时, 它们的直角边围成了一个更大的正方形(因为两边之和必大于第三边). 由题意,大正方形的面积为
S 大 ? ( a ? b) 2 ,

以及小正方形的面积为

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S小 ? c 2 ,

而每一个直角三角形的面积为
S? ? 1 ab, 2

利用它们的面积关系,显然有
S 大 ? S小 ? 4 S ? ,


(a ? b) 2 ? c 2 ? 2ab,

经整理,可得
a 2 ? b2 ? c2 .

证法 2 如图 2.3.2 示,把两本大小一样的书一横一竖并排在一起. 一方面,梯形 ACDG 的面积为
1 1 S ACDG ? ( AC ? DG ) ? AC ? (a ? b) 2 , 2 2

另一方面,梯形 ACDG 可以分割成三个较小的三角形 ?ABG, ?BCD, ?GBD ,注意 到 ?GBD 是直角,则它们的面积分别为
S ?ABG ? S ?BCD ?
S ?GBD ?

1 ab, 2

1 2 c , 2

利用它们的面积关系,显然有
1 1 1 1 (a ? b) 2 ? ab ? ab ? c 2 , 2 2 2 2

经整理,亦可得
a 2 ? b2 ? c2 .

这样,便证明了勾股定理. 案例 2
[5]

(维氏定理)正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值,且等于

该三角形的高. 证明:在图 2. 3.3 记正 ?ABC 的边长为 a ,连接 PA , PB , PC ,利用面积关系, 有
S ?ABC ? S?APB ? S ?BPC ? S?CPA ,
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1 1 1 1 ah ? a ? PD ? a ? PE ? a ? PF , 2 2 2 2
A D P E

B

F

C

图 2.3.3 经整理,可得
PD ? PE ? PF ? h ,

这样,便证明了维氏定理. 当然,也可以用别的方法证明维氏定理,但是处理数学问题的一个基本原则 是简单化原则,对于维氏定理,面积法无疑能够做到这一点.下面我们不加证明地 给出维氏定理在平面几何中的一个推广,它的证明亦可用等面积法推得. 推论 2.3.1 正多边形内任一点到各边距离之和为定值,并且
PP ? PP2 ? ? ? ? ? ? ? ? PPn ? nh , 1

其中 Pi (i ? 1,2 ? ? ? ? ? ?, n) 为垂足, h 为正多边形的中心到各边的距离(边心距). 事实上,从以上两个案例中,可以归纳出利用面积法解决几何问题的一个基 本模式,那便是用不同的办法求出同一块封闭几何图形的面积,得到一个代数等 式,再从这个等式经过推理或者整理便得到所需结论.于是,面积就架起了代数和 几何的一个桥梁.

2.4 三角函数的导入
三角函数不但在高考中占据相当重要的地位,而且在现实生活中发挥重要的 作用.初中部分主要涉及它的定义以及在一些特殊角的值,高中部分主要涉及它 的一些基本性质、基本公式的相互转换以及利用它解决一些常见的几何问题.因 此,三角函数的学习对于后续的几何问题的学习和解决至关重要. 我们知道,矩形的面积等于长乘以宽,即 S ? ab ,这个公式可采用图 2.4.1 进
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行直观理解.

2 1 3

=2×3×

1

图 2.4.1 假设上图是可以变形的木制框架,在某种条件下由矩形变成了平行四边形,每一 个小正方形变成了面积相同的菱形,类似地,它的面积就可采用图 2.4.2 进行直 观理解.

图 2.4.2 图中的 S? 表示一个边长为 1、夹角为 ? 的小菱形的面积,我们所要展开的关 于三角函数的新局面就是从这个小菱形的面积开始的. 定义 2.4.1 边长为 1、有一个夹角为 ? 的菱形的面积 S? ,叫做角 ? 的正弦, 记为 sin ? .当 ? ? 0。 ? 时, sin ? ? 0 . 或 相比于传统教材中难以捉摸的“比值”,利用面积这样直观的方式定义的三 角函数虽然有些古怪,但它是比较容易理解和接受的. 按照以上定义,我们不难得出三角函数的一些简单的基本性质. 性质 1 对于 0 ? ? ? ? / 4 , sin ? 有定义并且非负,仅当 ? ? 0或? 时,才有
sin ? ? 0 .
[3]

性质 2 sin ? / 2 ? 1 . 这是因为按照定义,此时 sin ? / 2 表示边长为 1 的正方形的面积.如果按现行 中学教材的定义,用直角三角形的边比来定义正弦, sin ? / 2 ? 1 是颇难理解的. 性质 3 sin ? ? sin(? ? ? ) .

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继续以长方形面积公式的直观推导作类比推理,很容易得到平行四边形的面 积公式. 定理 2.4.1 (平行四边形面积公式)若在平行四边形 ABCD 中, ?A ? ? , AB ? a , AD ? b ,则平行四边形的面积为
S ABCD ? AB ? AD sin ?A ? ab sin ? .
[3]

作平行四边形的任一条对角线,将任意三角形看成半个平行四边形,便得到 了三角形的面积公式. 定理 2.4.2 (三角形面积公式)对任意三角形 ?ABC ,有
S ?ABC ? 1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B . 2 2 2
[3]

在目前的各种中学教材中,上述公式显得有些微不足道,但是如果我们能够 充分利用它的话,它也可以作为我们打开三角函数新局面的核心,以下就以它为 工具,给出几个关于三角函数的基本定理.
1 把三角形面积公式中的各项都除以 abc ,便可轻而易举地得到了下面的正 2

弦定理,它的应用是十分广泛的. 定理 2.4.3 (正弦定理)对任意三角形 ?ABC ,有
2S ?ABC sin A sin B sin C . ? ? ? abc a b c
[3]

这个公式在几何中的作用是众所周知的,而在我们试图建立的三角函数新局 面中,仅两三个步骤就得到了这个定理.更为有趣的是,若在三角形面积公式中令
?C ? ? / 2 (此时 sin ?C ? 1 ),便会得到正弦的与传统教材相同的定义.

定义 2.4.2

[3]

在 ?ABC 中,若 ?C ? ? / 2 ,则
sin A ? a b , sin B ? . c c

与此同时,为了充分发挥正弦的作用,正弦加减法定理亦可被自然地引入. 定理 2.4.4
[3]

(正弦加减法定理)当 0 ? ? ? ? ? ? / 2 时,有 (2.4.1) (2.4.2)

sin(? ? ? ) ? sin ? sin(? / 2 ? ? ) ? sin ? sin(? / 2 ? ? ) sin(? ? ? ) ? sin ? sin(? / 2 ? ? ) ? sin ? sin(? / 2 ? ? )

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A c

P

??
h

b

? ?

B

D 图 2.4.3

C

A

B

C

图 2.4.4

证明: 对于正弦加法定理,如图 2.4.3 所示,设 ?BAD ? ? , ?CAD ? ? , AD ? BC , 利用面积关系,将三角形面积公式代入,可得
1 1 1 bc sin(? ? ? ) ? ch sin ? ? bh sin ? , 2 2 2
1 两边同时除以 bc ,可得 2

h h sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? ? sin B sin ? b c
? sin ? sin(? / 2 ? ? ) ? sin ? sin(? / 2 ? ? ) ,

这样,便得到了(2.4.1)式. 对于正弦减法定理,如图 2.4.4 所示,设 ?APC ? ? , ?BPC ? ? ,利用面积关系, 将三角形面积公式代入,可得
1 1 1 PA ? PB sin(? ? ? ) ? PA ? PC sin ? ? PB ? PC sin ? , 2 2 2 1 两边同时除以 PA? PB ,可得 2 PC PC sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? PB PA
? sin ? sin(? / 4 ? ? ) ? sin ? sin(? / 4 ? ? ) ,

这样,便得到了(2.4.2)式. 在传统教材中,关于上述定理的证明略显繁琐,且难于记忆,更添加了附加条 件 ? ? ? ? ? / 2 .这里仅要求 ? 或者 ? 不超过 ? / 2 ,若超过, ? / 2 ? ? 和 ? / 2 ? ? 便 没有意义了. 在公式(2.4.1)中,取 ? ? ? ? ? / 3 ,便得到

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sin ? / 3 ? sin ? / 6 ? sin ? / 3 ? sin ? / 6 ? sin ? / 3 ,

由此解出
sin ? / 6 ? 1 ; 2

又取 ? ? ? ? ? / 4 ,便得到
1 ? sin ? / 2 ? sin 2 ? / 4 ? sin 2 ? / 4 ,

由此解出
sin ? / 4 ? 2 ; 2

再取 ? ? ? / 6 , ? ? ? / 3 ,便得到
1 ? sin ? / 2 ? sin 2 ? / 6 ? sin 2 ? / 3 ,

将 sin ? / 6 ?

1 代入,则有 2
sin ? / 3 ? 3 , 2

几个特殊角的正弦值就轻而易举地得到了,这正是初中阶段所接触的主要内容. 在公式(2.4.1)中,取 ? ? ? ? ? / 2 ,我们很容易就得到下面这个很重要的命 题,称为正弦的勾股关系. 定理 2.4.5 (正弦的勾股关系)若 ? ? ? ? ? / 2 ,则有
sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 .
[3]

类似地,当研究角 ? 的正弦时,会经常研究另外一个角 ? / 2 ? ? 的正弦.为此, 我们引入新的记号,称“余角的正弦”为余弦,记为 cos? . 定义 2.4.3 ? 的余角的正弦,称为角 ? 的余弦,记为 cos? .具体地,我们约定如 下
?sin(? / 2 ? ? ), (0 ? ? ? ? / 2), cos? ? ? ?? sin(? ? ? / 2), (? / 2 ? ? ? ? ).
[3]

有了余弦的定义,可以很容易导出三角函数的一些基本公式以及重要的余弦 定理;有了正弦定理和余弦定理,得到欧氏几何的基本工具——全等三角形和相

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似三角形的判定定理也就不是什么难事了.因篇幅所限,这些工具在此就不一一 列举了.

2.5 几何新中心——三角形面积公式
从前一小节的几个重要定理的推导可以看出,三角形的面积公式扮演着非常 重要的角色,几乎成了印证定理的核心工具.我们为什么选择它作为核心呢? (1)平面几何里有 3 个最重要的度量:长度、角度和面积,三角形面积公式将 三者有机地联系了起来; (2)三角形是平面几何的基本图形,也是我们考虑问题的出发点,因此这个公 式有着非常广泛的应用. 下面我们举出一些具体的实例,说明三角形面积公式不仅可以作为重要定理 的推理依据,同时也是一种非常重要的解题工具. 例 2.5.1 证明:在 ?ABC 中,若 ?A ? ?B ,则 a ? b . 证明 由三角形面积公式,有
S ?ABC ? 1 1 ac sin B ? bc sin A , 2 2

于是
a sin B ? b sin A ,

由已知,显然有
sin A ? sin B ,

因此 a ? b . 例 2.5.2 证明:若 0 ? ? ? ? ,且 ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? . 证明 如图 2.5.1 所示, ?ABC 是顶角为 ? ? ? 的等腰三角形.由 ? ? ? ? ? ,可 在底边 CB 的延长线上取一点 D ,使得 ?DAB ? ? ,则
S ?DAC ? S ?DAB ,

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A

? ?

D

B

C

图 2.5.1 将三角形面积公式代入,有
1 1 AD ? AC sin ? ? AD ? AB sin ? , 2 2

由 AB ? AC ,便得 sin ? ? sin ? . 例 2.5.3 证明:在 ?ABC 中,已知 a ? b ,则 ?A ? ?B . 证明 用反证法.假设 ?A ? ?B ,以下分 ?A ? ?B 、 ?A ? ?B 两种情况讨论. 若 ?A ? ?B ,则 sin A ? sin B ,由例 1 知, a ? b ,这与 a ? b 矛盾,因而假设不成 立; 若 ?A ? ?B , ?A ? ?B ? ? ,由例 2.5.2 知, sin A ? sin B ,再由例 2.5.1 的推理 过程知, a ? b ,这与 a ? b 矛盾,因而假设不成立. 综上所述,在 ?ABC 中,已知 a ? b ,则 ?A ? ?B . 例 2.5.4 在 ?ABC 中,设 ?A 的平分线为 AP ,求证:
AB BP ? . AC CP

证明 由题意,可设 ?BAP ? ?CAP ? ? ,利用三角形面积公式,得

1 AB ? AP sin ? BP S ?ABP AB . ? ? 2 ? CP S ?ACP 1 AC ? AP sin ? AC 2

2.6 关于几何改革新思路的优劣分析
我们看到,一个微不足道的三角形面积公式,它的变化和应用是非常广泛的. 通常在几何图形里会有若干个三角形,把这些三角形的面积用不同的方法来表示, 就会自然地得到很多代数等式,我们适当地选取某些等式,经过推导或加工整理 后往往就得到了所需的结论.
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在这一节中,我们提到的中学几何内容改革的新思路有很多好处,现在说明 如下: (1)直观易懂,容易理解,学生可以很快掌握了关于三角函数的一些很重要的 定理和数学工具; (2)中心明确,解题方法易于掌握,这是因为充分利用了三角和代数的方法; (3)提前引入三角函数,解决了目前初中生学习三角函数时间过于紧促,且不 能很好消化的问题. 与此同时,这种中学几何内容改革的新思路也存在着很多缺陷和问题,有待 我们进一步研究和实践,说明如下: (1)三角形面积公式通过直观形式引入的,在数学逻辑上留下了很大的缺口 和漏洞,还要依赖于旧的数学体系; (2)解决问题时,几乎处处都需要运用三角函数,几何本身的风格反而丧失 太多,不易被广大的中学生所接受; (3)正余弦概念的提前引入,是否适应中学生的年龄特点和认知过程,还需 要教学实践去检验. 总而言之,一个新的内容改革方案,只有既符合科学原则,又能适应学习者的 认知能力和认知过程,并在实践中经过反复的实验和检验,才能慷慨地列入国家 的规划教材,才能积极有效地推动教育改革的进程.

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第 3 章 数学史——容易遗忘的角落
数学史蕴涵着丰富的思想内涵,具有强大的教育功能,很多国家在基础教育 中都十分重视数学史的教育作用.而我国一直以来对数学史教育功能的理解比较 狭隘,再加上应试教育对数学史教育的抑制,使数学史在中学数学中的作用难以 发挥出来.新一轮的课程改革在这方面有所突破,提高了对数学史教学的要求,这 应当是值得我们思考的内容 .
[6]

3.1 数学史在现有中学数学教学中的现状
从目前的教育现状看,我国在非教学实验区实施的还是“一纲一本式”的教 学,即与大纲相配套的教材只有人民教育出版社编写的一个版本,但是从一定程 度上讲,一种教材只能反映该教材编写者对教学大纲的理解,不应该取代广大数 学教师对教学大纲的钻研,教材只应该是教师教学的辅助工具.在实际的教学过 程中,有些教师只是简单的从这一个版本的教材出发,以与该教材相配套的教学 参考资料为教学的直接依据,对教材顶礼膜拜,而对大纲反而不甚关注.所以教材 中对数学史内容的涉及程度、 处理方式将直接影响教师对数学史的教学方式和学 生数学史的学习. 我们以现行中学数学教材(人教版)为例,找出其中涉及数学史内容的部分, 并列表如下: 表3.1 章节内容 必修一 集合 函数 表现形式 批注 批注 阅读材料 阅读材料 必修二 直线与圆的方程 圆锥曲线方程 立体几何 阅读材料 祖冲之 祖暅定理 阅读材料 数学家(著作) 康托 莱布尼茨 笛卡尔与欧拉 伽利略实验 笛卡尔;费马 主要内容 集合论简介 函数的由来 对数的发明 数学模型简介 解析几何的创立

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研究学习

欧拉

多面体欧拉定理 的发现

阅读材料 研究学习

欧拉 欧拉

正多面体的种类 多面体欧拉定理 的证明

必修三

算法初步 统计

阅读材料 阅读材料 阅读材料

刘徽

割圆术 一个著名的案例

必修四

向量

卡皮尔

《人类早期如何 测量地球半径》

必修五

数列

阅读材料

欧拉

《三角与欧拉》 九连环 斐波那契数列

解三角形 选修 导数 正文 阅读材料 正文 批注 复数 正文 阅读材料 牛顿;莱布尼茨 牛顿;莱布尼茨 牛顿;莱布尼茨 杨辉

海伦与秦九韶 杨辉三角 (不)完全归纳法 微积分的创立 生平 微积分的意义

卡 丹 ; 欧 拉 ; 哈 《复数系是怎样 密顿 建立的》 生平简介

批注

高斯

研究人教版教材的数学史内容,反映出的问题主要有以下几个方面: (1)教材中涉及数学史内容太少 统计这套教材中的所有涉及数学史内容仅有24处,平均到每本教材不到四 处,最少的全书只有一处(必修四),除去阅读材料,大都只是简略的介绍,且篇幅 很少,不过几十字;提到名字的中外数学家一共仅有28位,数学著作不到10本,其 中中国数学家有5位:李善兰、祖冲之、秦九韶、杨辉、刘徽,外国数学家共23位. 在这些数学家中,只有欧拉、高斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨这五位有稍详细的

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介绍,其他数学家均只给出了简单生平或是只提到姓名.教材作为教师和学生进 行教学活动最直接的媒介,涉及到的数学史知识的匮乏可见一斑. (2)数学史内容缺乏与教学内容有机融合. 教材中数学史内容的出现有五种形式:阅读材料、章节引言、批注、正文和 研究性学习.章节引言处出现的数学史内容或是数学趣题和古代著名思想方法, 例如讲极限时用 “割圆术” 引入,讲数列时用棋盘上放麦粒的故事吸引学生,或是 讲述某一概念或思想方法的背景、 意义,比如导数和积分的产生背景和历史作用; 注释中一般是插入正文中提到的某位数学家的画像并简介其生平,比如高斯、牛 顿、 莱布尼茨等,或者是对某个概念的产生作简单的注解,如集合论的创始、函数 概念的由来等等;阅读材料中主要是对教学内容的扩充,主要是对科学家或者是 某些数学问题的发展历史的介绍,例如必修二的《笛卡儿和费马》,选修教材中的 《复数系是怎样建立的》 等等.研究性学习中也提到一些数学史,主要是对所研究 问题的背景的介绍.统计这些形式出现的次数(见表1),可以看出阅读材料出现的 次数最多有9次,其次是章节引言和批注处,正文中仅出现3次,研究性学习材料中 出现3次. 表3.2 人教版教材数学史表现形式统计 形式 出现次数 所占比率 阅读材料 9 37.5% 章节引言 5 20.8% 批注 4 16.7% 正文 3 12.5% 研究学习 3 12.5% 总计 24 100%

由此看出,阅读材料是数学史内容在教材中的最大载体.而阅读材料的地位 在教学中又是很尴尬的,并得不到教师和学生的重视(在后面的中学数学史教学 现状问卷中有明显的体现).除此之外,章节引言、批注等形式体现的只是对数 学史和教学内容的简单拼凑而已,数学史内容像是教学内容华而不实的外包装, 或是“花絮”,点缀着教学内容,缺乏与教学内容的有机融合.要么被简单的表现 为数学家故事,要么表现为用简洁语言高度概括的数学成果,它的核心和与教学 最有益的精髓——数学思想和数学理论的演化过程及其发展规律,数学家的思维 方式和研究方法,数学研究中的成败原因,数学发展中不同观点和理论之间的纷 争与融合等等都被忽视掉了. 因此,有必要将数学史的部分内容引入到现行教材或者教学当中,关键在于

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教育工作者如何将它的内容、思想和方法融合到数学学习过程中,既要提高学生 对于科学的追求精神,又不能抹杀掉学生对于科学的创造力,只有这样,我们进行 的改革才会收到事半功倍的效果,我们进行的改革才有积极的意义.

3.2 数学史的教育功能
数学是在历史中形成的,只有懂得历史,才能深刻地理解数学.法国伟大的数 学家享利· 庞加莱说: “如果我们想要预测数学的未来,那么适当的途径是研究这 门学科的历史和现状”.
[5]

长期以来,数学史在中学教学中没有得到应有的重视,教材本身反映的比较 少,同时,供教师参考的关于渗透数学史教育的文献也比较少,大多数数学老师把 有关的数学史知识一带而过,这就忽视了数学史对中学数学的促进作用.如果不 把数学史融入到数学教学当中,那么数学的教育价值就很难得到体现,所以我们 要认识到数学史对数学学习的重大意义.数学史是人类文明给后人留下的路标, 具有其独特的教育功能,如果学生对数学史一无所知,其知识不可能成为一个有 机的系统网络,故数学史对人才的培养和选拔,起着非常重要的作用. (1) 学习数学史有利于培养学生科学的数学思维方式. 数学史在很大程度上被认为是重要数学思想方法的演变记录,学生在学习中 所出现的困惑往往与数学发展史上出现的困惑相一致.今天学生们在理解上的困 惑,不过是历史上数学解题思想方法困惑的逻辑“重演”而已.历史上数学思想方 法的突破点是数学发展的重大转折,也是学生学习的难点,教师如何采取措施引 导学生合乎规律地实现那些重大转折,就不得不从数学史中吮吸乳汁,数学史可 以帮助学生完整地、深刻地理解蕴含在数学中的思想方法. (2) 学习数学史有利于培养学生对数学的兴趣和动机. 数学发展的历史长河中,数学史丰富多彩,适当运用数学史材料,能极大地丰 富数学课堂生活,激发学生学习数学的积极性.因此,在数学教育中适当地结合数 学史有利于培养学生对数学的兴趣,帮助克服动机因素的消极倾向.正因为数学 史在数学教学中的独特作用,新课改后的中学数学教材中大大增加了数学史的内 容. (3) 运用数学史对学生进行辩证唯物主义世界观教育.
- 19

数学的产生发展过程充满了唯物主义和唯心主义、 辩证法和形而上学各种世 界观的激烈斗争,数学史正是一部对学生进行辩证唯物主义教育的科学史.在中 学数学学习过程中,可采取恰当串联篇章、补充史事、开展专题讲座、举办专刊 等办法,结合教学内容,讲两种世界观和方法论的斗争,讲马克思主义唯物辩证法 和认识论在自然科学领域里取得的伟大胜利. (4) 运用数学史教育树立学生的爱国主义思想. 数学是门古老的学科,历史悠久,源远流长.中华民族的数学为世界数学发展 创立了丰功伟绩,早在公元前,成书于东汉日寸期的《九章算术》标志着独具特色 的中国传统数学体系——机械算法体系已形成,随后出现的祖冲之圆周率,杨辉 三角、秦九韶公式,以至现代数学家陈省身、苏步青的微分几何,华罗庚、陈景润 的数论,吴文俊的数学机械化方法等.在数学教学中,我们有机地渗透这些内容, 将会激发学生的爱国主义热情,树立民族自豪感.

3.3 数学史在中学数学中的运用与融合
人教版高中教材中数学史内容的出现有五种形式——阅读材料、章节引言、 批注、正文和研究性学习.如何将一些数学史上著名的案例融入到教材或者教学 中便成为了一个很关键的问题,下面主要介绍一些与各知识点紧密联系的数学史 内容,仅供教育工作者借鉴参考. 案例1
[6]

无理数的故事——毕达哥拉斯学派

2 是人类最早发现的无理数之一,早在公元前500年左右,人们就会证明它

是无理数了.关于无理数的故事有很多,它们都是数学学习者在介绍数的发展历 史时最喜欢使用的材料. 毕达哥拉斯学派有一个基本观点,叫做万物皆数.在他们的心目中,数只有正 整数,而且正整数是组成物质的基本粒子,即原子.因此,他们认为,一切量都可以 用整数或整数的比(有理数)来表示,他们觉得一条线段就好比一条珍珠,这珍珠 就是一个一个的点,不过又小又多罢了.按照这种看法,两条线段长度之比,就应 当是它们各自包含的小珍珠的个数之比,当然应当是可以用整数之比来表示的 了.

- 20

据说,毕达哥拉斯学派一个名叫希帕苏斯的年轻人,第一个发现了正方形的 边和对角线长度之比不能用整数之比来表示,用现在的话说,就是“ 2 不是有理 数” .这个发现直接和毕达哥拉斯学派的信条——万物皆数相抵触,使这个学派的 人大为惶恐和恼怒.据说,希帕苏斯在船上向学派的其他成员讲述这个发现时,遭 到了强烈的谴责和反对,也由于他坚持自己发现的真理,竟被抛入大海淹死了. 但是,真理是不会永远被淹没的,随着数学的向前发展,无理数终于在人们的 心目中取得了合法的地位,后被广泛用于科学研究、技术推广以及人们的日常社 会生产中.顺便提一下,用 “ ” 来表示平方根,是解析几何的创始人笛卡尔(1596

年-1650年)于16世纪首先使用的.那时, 2 已经被发现了近2000年,不少数学家 已经开始承认像 2 这类数是不能用分数表示的. 案例2
[10]

一元二次方程——神奇的黄金分割

黄金分割是毕达哥拉斯、欧多克斯、欧几里得、斐波那契等许多数学家经过 不懈的努力,打造并留给我们的数学遗产.这份遗产,在其它学科也有重要应用. 在美学上,它是一条普遍的最具和谐性的形式法则;在哲学上,它与中国两千 多年前孔子的 “中庸” 和合思想遵循同一模式;从数学上看,则表达了对称、 协调、 再生的思想.数学、自然、美学、哲学、社会、教育之间原是天涯若比邻. 有这样一个问题,什么样的矩形才最优美呢?建筑学家很早就研究过这个问 题,因为盖房子开窗口,窗子多数是矩形的.经过调查研究,大家认为,如果一个矩 形把它切掉一个正方形后,剩下的小矩形和原来的相似,则此时的矩形是最美 的?怎样达到这个要求呢?
A y F D

x

B

E

C

图3.3.1 如图3.3.1,设矩形长为 y ,宽为 x ,想要从 ABCD 中切掉一个正方形 CDFE , 使得剩下来的 ABEF 相似于原来的矩形 BCDA ,必须有
- 21

x y?x y ? ? ?1, y x x

也就是
x x ( )2 ? ( ) ?1 ? 0 , y y



? 1? 5 x ? ? ,求解一元二次方程 ?2 ? ? ? 1 ? 0 ,得到 ? ? ,取正根,即得 y 2
x 5 ?1 ? ? 0.618 ? ? ? y 2

于是,这个无理数

5 ?1 就是有名的黄金分割数,简称黄金数. 2

黄金数又叫“中外比”,它的来历是这样的:在线段 AB 上取一个点 C , C 把
AB 分成大小两段 AC 、 BC .如果能使全段比大段等于大段比小段,即

AB AC , ? AC BC

那么比值 BC : AC 叫做中外比.这时, C 点在何处呢? 设? ?
BC ,由 AB ? BC ? AC 以及上述要求,就有 AC BC ? AC AC ? , AC BC

也就是 ? ? 1 ?

1

?

,即 ?2 ? ? ? 1 ? 0 ,又得到正根 ? ?

5 ?1 . 2

人们常把0.618这个数字看做美的分割点.其实,在我们日常消费中,它同样 也是一个科学的数字,是购物的“黄金数”.例如在买茶叶时,高档和低档的价格 分别在200元每公斤和20元每公斤左右,若你觉得太贵,低档的又太差,则不妨选 用(200—20) ? 0.618=112元每公斤这一档次的.事实上,这一档次的茶叶在市场 上最畅销. 不论买什么物品,在品种规格较多的情况下,请记住: (高档价一低档价) ? 0.618+低档价 一般最为适宜. 又例如某女子身高为161 cm ,腰长为97 cm ,则在选购鞋子的时候,应该购买

- 22

能使其腰长与身高比例为0.618的鞋子,会给人美的感觉,设她应穿鞋跟高为 dcm 的鞋,则有
97 ? d ? 0.618 , 161 ? d

解得
d? 0.618 ?161 ? 97 ? 6.54(cm) 0.382

可知对于这名女子,鞋跟高约为6.5 cm 的鞋子最美观. 由此可见,高跟鞋有效地修正了人体的腰长与身高的比例关系,使其符合黄 金分割率,这就是高跟鞋产生的美学效果,也是流行的原因所在. 学会运用“黄金分割点”的美感,对整体造型或自身艺术素养有一个完美的 认识,发挥出自身潜能的每一个灵感,让我们也可以创作出黄金分割比例的美感, 不仅会对自身工作不断提高,也会对自己追求的创作目标给予肯定,不要受传统 压制,大胆地运用我们所能理解的一切美的灵感,去创造万物的美感. 案例3 数列的前 n 项和 S n (人教版高中数学教材第三章). 求数列的通项与部分和是学习数列时涉及的主要内容,在学习数列的部分和 时,可考虑采用数学史上两个著名的故事作为数学史教育的案例,它们是很有意 思的,很容易激起学生们对于数列部分和的兴趣. 1、棋盘上的麦粒 在印度有这样一个古老的传说.舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相 西萨·班·达依尔,国王问他想要什么,他对国王说:“陛下,请您在这张棋盘的第 1个小格里,赏给我1粒麦子,在第2个小格里给2粒,第3小格给4粒,以后每一小格 都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒,都赏给您的仆 人吧!”国王觉得这要求太容易满足了,就命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋 的麦子搬来开始计数时,国王才发现,就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来,也 满足不了那位宰相的要求. 那么,宰相要求得到的麦粒到底有多少呢?总数为:
20 ? 21 ? 22 ? ? ? ? ? ? ? ?263 ? 1844674407 3709551615 (粒)

人们估计,全世界两千年也难以生产这么多麦子! 2、梵塔上的金片

- 23

与棋盘上麦粒的故事十分相似的,还有另一个印度的古老传说.在世界中心 贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针.印度教的主神 梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片, 这就是所谓梵塔.不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片: 一次只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面.当所有的金片都从梵天 穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,梵塔、 庙宇和 众生都将同归于尽. 不管这个传说是否可信,如果考虑一下把64片金片,由一根针上移到另一根 针上,并且始终保持上小下大的顺序,一共需要移动多少次,那么,不难发现,不管 把哪一片移到另一根针上,移动的次数都要比移动上面一片增加一倍.这样,移动 第1片只需1次,第2片则需2次,第3片需4次,第64片需2的63次方次.全部次数为 18446744073709551615,这和麦粒问题的计算结果是完全相同的!.假如每秒钟移 动一次,共需要多长时间呢?一年大约有31556926秒,计算表明,移完这些金片需 要5800多亿年! 案例4 2-2). 在学习定积分的定义时,需要集中处理一类图形的面积,这就是曲边梯形的 面积.曲边梯形的面积并不是一个孤立的概念,曲边梯形与直边图形有着非常紧 密的联系,二者的主要区别在于前者的某些边是曲线段,而后者的所有边是直线 段.曲边梯形面积的求法主要用了“以直代曲”的思想,即用直边图形(如矩形) 的面积代替曲边梯形的面积,再用求极限的方法求曲边梯形的面积.概括起来,经 历了四步:分割、近似代替、求和、取极限. 学习 “以直代曲” 的思想时,可以选用数学史上的两个重要案例来加以理解. 1、刘徽——圆周率的估算(图3.3.2). 中国魏晋时期的数学家刘徽(约生于250年)研究圆周率时创立了“割圆术”, 他先把圆周分割成六等分,连接成圆的内接正六边形,再继续细分圆周,让圆的内 接正多边形的边数不断地增加,则正多边形的边(即圆的弦)越来越短,也越来越 接近它所对的圆弧,整个正多边形的面积越来越逼近圆的面积.
[10]

定积分的定义——求曲边梯形的面积(配人教版高中数学教材选修

- 24

R

B

A

图3.3.2

图3.3.3

刘徽指出,这样无限分割的结果使圆的内接正多边形最终会与圆合体.于是, 可以通过研究圆的内接正多边形的面积的变化来研究圆的面积,再反过来考虑圆 周率.可以看出,刘徽用不断割圆的方法把圆的割线段(弦)转化为圆弧,这正是一 个用“直”代替“曲”的转化. 2、阿基米德——圆周率的估算(图3.3.3). 公元前3世纪,古希腊的著名学者阿基米德注意到这样一个重要的事实:圆的 周长介于圆的内接正多边形的周长与圆的外切正多边形的周长之间.根据这个原 理,他从圆的内接正六边形和圆的外切正六边形开始,让边数翻番,依次得出正 12、24、48、96边的圆内接和圆外切正多边形,通过计算多边形的周长,得出圆周 率的取值范围. 可以看出,阿基米德考虑问题时,既考虑割线,又考虑切线,他从两个不同的 方向用“直”代替“曲”,一个方向是使圆的割线段(内接正多边形的边)逼近圆 弧,另一个方向是使圆的切线段(外切正多边形的边)逼近圆弧.值得注意的是, “分割” 的目的在于更精确地 “以直代曲” .事实上,在定积分的定义中,是以 “矩 形”代替“曲边梯形”的,随着分割的等份数的不断增加,这种代替就会越精确, 当 n 越大时,所有小矩形的面积之和就越逼近整个曲边梯的面积.

- 25

第 4 章 与大学内容的衔接——微积分的高门槛
4.1 微积分的教学现状
《微积分》(或《高等数学》)是大学理工科的一门最重要的基础课,它的学 习关乎着后续很多其它课程的学习,但它又是大学学生学习的难点,甚至成为了 很多学生学习后续课程的“绊脚石”.为了更好地适应大学数学学习和教学的开 展,我们有必要考虑将一些《微积分》的基础知识放到中学去讲解和学习. 现行中学数学教材(人教版)采用的办法是:让学生学会求导数,利用导数解 决一些函数的基本问题,如单调性、 极(最)值问题和在生活中的简单应用,以及定 积分初步,主要涉及简单函数的积分,如多项式函数、三角函数等.这个办法的好 处在于避免了极限理论的学习,并且使学生学会了求导数和求简单积分这两项技 能,这对于大学进一步学习《微积分》是有一定意义的. 让我们重新考虑一下,不难发现会出现以下几个问题: (1)导数部分学生还是容易掌握的,但到了定积分部分,大多数学生都听不懂 了,原因在于定积分的定义比较繁琐,需要一些极限理论的铺垫才能理解,并且涉 及到定积分计算时,大多数情况又不用这个定义,而是一些简单的法则,这是一个 矛盾. (2)定积分在高考中占的比例不大,很多中学已经取消了这一块内容的教学 活动,这对于将大学《微积分》的内容融入中学的初衷相悖. (3)回到我们的初衷上来,会发现这样的内容安排,并不有利于大学的学习和 教学活动.这是因为,在大学教材《微积分》的学习和教学中,往往定积分的计算 不是首先接触到的,甚至不是学习和教学的最难点,而是之前极限理论的学习.如 果抓不住《微积分》最重要的概念——极限,学习再多的积分技巧也是无济于事 的.

4.2 极限的初等化
根据 4.1 节的叙述中,我们了解了微积分在中学数学改革中出现的不足.根

- 26

据这种现象笔者以为可以考虑取消中学数学中“定积分”部分的学习,而在学习 导数之前加入极限的内容,如果这样做的话,会带来很多好处: (1)极限是一种新的运算工具,它跨过了“有限”与“无限”的距离,直接将 我们引入到现代数学最重要的一个理论——微积分,并且涉及数列极限时,还可 以加深对 “数列” 的理解,从这个角度讲,它也是高一学过的 “数列” 一章的补充.
0 (2)从教学上讲,导数的定义又依赖于极限的概念.其中涉及一种“ ”型的 0

极限,这对于初等数学来讲是一个“矛盾”的结论,尽管在中学阶段并不能完全解 释清楚这件事情,但依旧可以激发学生对于这种“矛盾”的思考与探索,至少比教 给他们死记硬背的公式要强得多. (3)如果能够成功运用这条路的话,对于大学微积分的学习和教学活动是很 有益的.到那时,极限理论的繁杂与难于理解,或许只是大学生们的“小菜”而已, 从而更快更好地掌握微积分的核心内容和思想. 当然,将极限理论放到中学数学课堂中,对我们来讲是一项巨大的挑战和艰 巨的任务,因为“极限的初等化”或者“微积分的初等化”可能是现在面临的从 初等数学到高等数学的跨越中最艰难的教学问题了. 极限的严格定义,应归功于19世纪的法国数学家柯西和德国数学家威尔斯特 拉斯,在现行大学数学教材中继续沿用了他们的成果.在这里,我们先列出数列极 限的定义. 定 义4.2.1
n ? N 时,成立
an ? a ? ? ,
[9]

对于数列 {a n } ,如果对于任意给定的 ? ? 0 ,总有 N ? 0 ,当

则称数列 {a n } 当 n ? ? 时以 a 为极限,记为 lim an ? a.
n??

在上述定义中都出现了希腊字母“ ? ”,这种描述方法称为“ ? - 语言 ”,用

? - 语言 讲述极限理论,会表述得十分严格.一个世纪以来, ? - 语言 始终占据着大
学微积分的课堂,要掌握好微积分理论,就不得不过 ? - 语言 这一关,但这一关往 往成为了学习中的难点,甚至是无法逾越的一道障碍,因而极限的 ? - 语言 既是打 开微积分宝库的钥匙,又是阻挠人们获取微积分珍宝的关卡.美国教育家
- 27

M ? 斯皮瓦克 在其所编的微积分教材中甚至无可奈何地说:“像背一首诗那样把

它背下来,这样做至少比把它说错要好得多”.因此,为了能更好地使学生在进入 大学后能更好地学习微积分,我们有必要研究极限的初等化,使中学阶段的学习 能够真正成为大学学习的基础. 首先,我们不能期许将极限的 ? - 语言 描述引入到中学数学的教材或者课堂 当中,这样做就如同以增加劳动强度来代替劳动生产率一样,对于我们的教育来 说这是得不偿失的,也是事倍功半的,这样的方法也是行不通的. 其次,没有微积分的基础知识,我们对任何一门科技专业都无法问津.为了继 承微积分这份伟大的遗产,就得先接触和学习极限理论,当然,这个问题在中学数 学的教学道路上又遇到了一定的障碍.如何处理这个问题,目前大体上有3种办 法: (1)绕开极限理论,只要求学生学会求导数、算积分等基本技能; (2)不惜花费学时,打好学习严格极限理论的基础,为进一步进入大学学微积 分创造条件; (3)先直观的掌握极限的概念及运算法则,以及求导数和积分的方法,后面再 补上极限理论的学习. 最后,我们依然希望在从初等数学到高等数学的跨越过程中,找到一种既不 增加学习强度和难度又能做好大学数学的铺垫的这样的一种方法.为此,本章主 要采用对极限理论的一些教学上或者形式上的改进来达到我们设想的目标,这对 于教育工作是有一定的指导和借鉴意义的.

4.3 数列的极限
我们先复习一下中学数学中关于数列的几个基本概念,这对于我们的探索是 很有必要的. 定义4.3.1
[10]

按一定顺序排好的一列数 a1 , a2 ,? ? ?an ? ? ? ,称为数列 {a n } ,对每一

个自然数 n ,都有一个实数 a n 与它对应,称 a n 为该数列的第 n 项,有时也称它为数 列的通项.

- 28

定义4.3.2 数列 {a n } 无界. 定义4.3.3

[10]

如果有一个正数 M 比每个 an 都大,则称数列 {a n } 有界,否则称

[10

]满足条件
a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? ? ? ?

的数列称为不减数列. 自然地,我们能不能考虑使用这些现有的概念来定义数列的极限,使之既能 避开 ? - 语言 的麻烦,又能不失极限的严谨性吗?答案是肯定的,在这里,我们采 用递增无界数列比较法来定义. 定义4.3.4 [11]对于数列 {a n } ,如果有一个无界不减的数列 An ,使得对一切自 然数 n ,成立
an ? An ,

则称 {a n } 为无穷大列,记为 lim an ? ?.
n??

这个定义很直观也很好理解,因为数列 An 无界不减,自然算是无穷大,而 an 并不比 An 小,岂不也是无穷大吗?无穷大的定义,倒过来便是无穷小. 定义4.3.5
[11]

对于数列 {a n } ,如果有一个无界不减的恒正数列 An ,使得对一

切自然数 n ,成立
an ? 1 , An

则称 {a n } 为无穷小列,记为 lim an ? 0.
n??

根据上述定义,无穷小列便是以0为极限的数列.有了无穷小列的定义,引入 数列极限的概念也就顺理成章了. 定义4.3.6
[11]

对于数列 {a n } ,如果有一个实数 a 和一个无穷小列 {? n } ,使得
an ? a ? ? n ,

则称数列 {a n } 当 n ? ? 时以 a 为极限,记为 lim an ? a.
n??

这样,我们就以比较直观而且严谨的方法给出了数列极限的定义.同时我们
- 29

知道,用 ? - 语言 不仅能够引入数列极限的概念,也能利用它证明极限的一些基本 定理,以及计算一些具体的极限.进一步我们问,能否根据我们引入的新定义来解 决相同的问题呢?让我们试一试. 例4.3.1
[10]

求证数列 {

( ?1) n } 为无穷小列. n

证明 (方法一)任给 ? ? 0 ,取 N ? ?

1

?

? ? 1,则当 n ? N 时,就有

( ?1) n 1 1 ?0 ? ? ?? , n n N

因此,数列 {

( ?1) n } 为无穷小列,得证. n

( ?1) n 1 ? ,按定义,数 (方法二)我们知道 {n} 是一个无界不减的恒正数列,而 n n

( ?1) n } 为无穷小列,得证. 列{ n

例4.3.2[11] 求证数列 {n n } 以1为极限. 证明 (方法一)显然 n n ? 1 ,可设 an ? n n ? 1 ,则 an ? 0 ,于是
n ? (1 ? an ) n ? 1 ? nan ? n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 an ? ? ? ? ? an 2 2

(4.1)

由于 n ? 1 时,有 an ?
2

2 2 ,从而 0 ? an ? . n ?1 n ?1

于是,对于任给 ? ? 0 ,取 N ?
n

2

?2

? 1 ,则当 n ? N 时,就有
2 ? ?. n ?1

n ? 1 ? an ?

因此,数列 {n n } 以1为极限,得证. (方法二)只需证明 an ? n n ? 1 是无穷小列.由(4.1)式,当 n ? 1 时有
an ? 1 , n ?1 2

- 30

而数列 {

n ?1 } 为无界不减的恒正数列,因此,数列 {n n } 以1为极限,得证. 2

从以上两例中,我们看到,用不同的定义证明数列极限时计算的过程是一致 的,只不过在使用新定义时省掉了“任给 ? ? 0 ,寻找 N ? 0 ”的步骤而已.使用数 列极限的新定义,不仅可以演算一些常见的习题,还可以用它来证明数列极限的 一些性质. 定理4.3.1
[11]

设 {? n }和{? n } 为无穷小列, {? n } 为有界数列,则

(1) {? n? n } 为无穷小列; (2) {? n ? ? n } 为无穷小列; (3) {? n ? n } 为无穷小列. 证明 (1)由已知得,有 M ? 0 ,使得对每一个自然数 n ,有 ? n ? M . 又有无界 不减列 { An } ,使得 ? n ? 穷小列. (2) 因 {? n }和{? n } 为无穷小列,故有无界不减列 { An }和{Bn } ,使得成立
M 1 M ,于是 ? n? n ? .因 { } 递增无界,所以 {? n? n } 为无 An An An

?n ?

1 1 , ?n ? , An Bn

记 Cn ? min{ An , Bn } ,则 {C n } 是无界不减列而

? n ? ?n ? ? n ? ?n ?
因{

2 , Cn

Cn } 是无界不减的,因而 {? n ? ? n } 为无穷小列. 2

(3) 由(2)有,

?n?n ?

1 , An Bn

而 { An Bn } 是无界不减列,因而 {? n ? n } 为无穷小列. 有了上述定理,很容易证明数列极限的四则运算法则.在这里,我们不加证明

- 31

地列出相应定理. 定理4.3.2 [11]对于数列 {an }和{bn } ,如果有 lim an ? a , lim bn ? b ,则
n?? n ??

(1) lim ( an ? bn ) ? a ? b ;
n ??

(2) lim an bn ? ab ;
n??

(3)若 a ? 0 ,则有 lim

1 1 ? . n ?? a a n

同样的命题,运用数列极限的新定义来证明,有时会比 ? - 语言 要方便一些, 并且它们在本质上是一致的,因此,如果在中学阶段采用这样的方法来学习数列 的极限,不仅可以由此引入导数等概念,而且也能为大学学习的 ? - 语言 奠定一定 的理论基础. 从本章的第二、 三两节可以看出,极限的初等化是可能的,这对于极限在中学 数学中的讨论创造了一定的基础.但是,也应该看到,虽然数列极限的定义比较自 然,而函数极限的定义就比较复杂了,这对于需要接触导数概念的高中生来讲,无 疑增加了理解的难度和学习的负担.当然,能够明确理解数列的极限,也是非常庆 幸的. 在大学微积分课堂中,极限理论是必须经过的道路.如果可以找到既能够使 高中生较快理解,且不影响其它内容的学习,而又能做到为大学微积分创造必要 的逻辑基础或者其他条件的简化极限的方法,对于我们来讲,那才是最成功的极 限初等化.应该讲,在这条道路上,我们还仅仅处于探索的阶段,毕竟要让高深的 或者革新的数学知识变得通俗易懂并不是一件容易的事,正如我们不能直接向幼 儿园的小朋友们介绍什么是函数一样! 我们期许,在数学的探求和学习过程中,在能够解决一些重要的数学问题的 同时,也能够解决数学教育中存在的或者遗留的问题.因为我们数学教育的重心 依然还在中学阶段,或者说在初等数学的改革当中.

- 32

致 谢
衷心地感谢所有指导、关心我的老师、家人和同学们! 首先要衷心感谢我的指导老师高老师, 本文的撰写工作自始至终都是在老师 的悉心指导下完成的。在论文的选题、资料查询、开题、和撰写的每一个环节, 高老师都给予了我悉心的指导和帮助。我做论文的过程当中遇到过很多的问题, 高老师都很耐心的给我一一解答, 在做论文的每一个阶段, 从确定课题, 查资料, 开题,翻译,综述都给我悉心的指导,教我如何修改,对我论文当中的每个细节 都给我帮助与指导。在论文开题和撰写时,给我提出了十分中肯的意见,也使我 在论文写作中受益颇深。高老师对我的严格要求使我养成了很好的习惯,同时高 老师治学严谨、学识渊博、平易近人,不仅传授给了我专业的理论知识,而且他 严谨的治学态度和为人处世的坦荡也将使我终身受益。 在高老师的指导下我不仅 完成了毕业论文, 更学习到了做人和做学问的道理。我愿借此机会向高老师致以 最衷心的感谢和最美好的祝愿! 同时有许多同学在论文写作中给与我无私的帮助, 在共同讨论和学习中我得 到了许多启发和启示,在此,对他们表示深深的谢意。 感谢一直在我的求学路上一直关心、支持、鼓励我的家人。 最后,再次感谢所有帮助关爱我的人,祝愿他们永远健康幸福。

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