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东北三省四市教研协作体2014届高三数学第二次模拟 理


东北三省四市教研协作体 2014 届高三数学第二次模拟 理(扫描版) 新人教 A 版

1

2

3

4

2014 年数学二模答案(理科) 1.B 2.A 3.A 4.D 5.D 6. A 7.C 8.B 9.A 10. A 11.C 12.B

?
13. 2 14. -2 15.

6- 3

16. ①②③

17.解: (Ⅰ)由题意 an?1 ? an ? 2 , 所以数列 ?an ? 为等差数列,

???1 分
? ?? 2 分

S n ? na1 ?

n(n ? 1) ? 2 ? na1 ? n 2 ? n 2

S 4 ? 4a1 ? 12, S 6 ? 6a1 ? 30, S9 ? 9a1 ? 72
所以 (6a1 ? 30) 2 ? (4a1 ? 12)(9a1 ? 72) 解得 a1 ? 1 分 所以 an ? 2n ? 1 ,

??? 4

Sn ? n2
n 2 ? 156 1 156 ? (n ? ) ,n? N * 2n 2 n

??? 6 分

(Ⅱ)由题意 bn ?

??? 7 分

令 f ( x) ?

1 156 1 156 156 (x ? ) ? ?2 x? ,当且仅当 x ? 时取等 ???8 分 x 2 x 2 x

1 156 25 (12 ? )? 2 12 2 1 156 25 )? 当 n ? 13 时, b13 ? (13 ? 2 13 2
当 n ? 12 时, b12 ? 所以 n ? 12 或 n ? 13 时, 数列 ?bn ?的最小项是

???10 分
25 。 2

???12 分

5

18.(1)设代表队共有 n 人,则

5 50 ? ,? n ? 160 16 n
…………2 分 …………3

则季军队的男运动员人数为 160? ?30 ? 30 ? 30 ? 20 ? 30? ? 20 . (2) ? 可以取的值为 0,1,2 分

P?? ? 0? ?
. 分

1 1 2 C32 C3 C2 C2 3 6 1 , ? ? ? ? ? , P ? ? 1 ? ? P ? ? 2 ? ? 2 2 2 10 C5 10 C5 C5 10

…………5

所以 ? 的分布列为

?
P

0
3 10

1

2

6 10

1 10
…………6



E? ? 0 ?

3 6 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 0.8 10 10 10

…………7 分

(3)试验的全部结果所构成的区域为 ? ? ?x, y ? 0 ? x ? 4,0 ? y ? 4 面积为 S ? ? 4 ? 4 ? 16 , 事件 A 表示运动员获得奖品,所构成的区域为

?

?,
…………8 分

? ? 1 A ? ??x, y ? y ? x 2 ,0 ? x ? 4,0 ? y ? 4? , 4 ? ?
阴影面积为 S阴 ?

…………9 分

?

4

0

1 2 1 x3 x dx ? ? 4 4 3

4

?
0

16 , 3

…………11 分

所以 P? A? ? 1 ?

S阴 S?

16 2 ? 1? 3 ? . 16 3

…………12 分

y
y?

1 2 x 4

4
19.(1)证明:
6

o

4

x

取 AD 中点 O ,连接 OG 、 OE ,

? ?ADE为等腰三角形

? OE ? AD
又 ? 平面ABCD ? 平面ADE, 平面ABCD ? 平面ADE ? AD , ? OE ? 平面ABCD


……………1 分

且OE ? 平面AED
……………..3

? AB // EF // CD , 且 O 、 G 分别是 AD 、 BC 的中点 ? OG // EF, 且OG ? 3 ? EF
?四边形OGFE是平行四边形

? OE // FG
? FG ? 平面ABCD .
分 (2)连接 OB ,

……………..4 分 ……………..5

在 ?ABD中,AD ? AB ? 2, ?DAB ? 60 ,
?

? ?ADB是等边三角形, 即 OB ? AD .

z E D B G y F C

A x
由(1)知, OE ? 平面ABCD ,分别

O

以 OA 、 OB 、 OE 为 x轴、y 轴、z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系,则 A?1,0,0? ,

B 0, 3,0 , D?? 1,0,0? , E?0,0,1? ,
利用 DC ? 2 AB及 EF ?

?

?

? 3 3 3 ? 3 ? AB 得 C ? 3,2 3,0 、 F ? ? ? 2 , 2 ,1? , 2 ? ?

?

?

…………….6 分

设平面 BDF 的法向量 n ? ?x, y, z ? ,则

7

3 3 n ? BF ? ? x ? y?z ?0 2 2

n ? BD ? ?x ? 3 y ? 0 ,令 y ? 1 ,则 x ? ? 3 , z ? ?2 3 ,
即 n ? ? 3,1,?2 3 , n ? 4 同理可求平面 BDE 的 法向量为 m ? ? 3,1, 3

?

?

……………8 分

?

?

……………10 分 ……………11 分

cos ? n, m ??

n?m nm

??

7 14

? 二面角F ? BD ? E的正弦值为

189 . 14

……………12 分

2 20.解: (Ⅰ)如图,设 A( x1, 2x12 ),B( x2, 2x2 ) ,把 y ? 2 x ? 2 代入 y ? 2x2 得

x2 ? x ?1 ? 0 .
由韦达定理得 x1 ? x2 ? 1.

……………1 分 ……………2 分

? xM ?

1 , 2

……………3 分

1 1 N 点的坐标为 ( , ) . 2 2
(Ⅱ)假设存在以为 AB 直径的圆过点 N .则有 NA ? NB ? 0 把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2 x 得
2

……………5 分

k 2 x 2 ? kx ? 2 ? 0 .由韦达定理得 x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? ?1 . 2

……………6 分

? k k2 ? x1 ? x2 k ? ,? N 点的坐标为 ? , ? . ? xN ? xM ? 2 4 ?4 8 ?

……………7 分

? ? k k2 ? k k2 ? 2 NA ? ? x1 ? , 2 x12 ? ?, NB ? ? x2 ? , 2 x2 ? ? ,则 4 8? 4 8? ? ?
k k k2 k2 2 NA ? NB ? ( x1 ? )(x2 ? ) ? (2 x12 ? )(2 x2 ? ) 4 4 8 8
8

k ?? k? ? k 2 ?? 2 k 2 ? ? ? ? x1 ? ?? x2 ? ? ? 4 ? x12 ? ?? x2 ? ? 4 ?? 4? ? 16 ?? 16 ? ?
= ( x1 ?

k k k k )( x 2 ? )[1 ? 4( x1 ? )( x 2 ? )] 4 4 4 4
……………

? k2 ?? 3 ? ? ? ?1 ? ?? ?3 ? k 2 ? =0 16 ? ? 4 ? ?
8分

k2 3 ?1 ? ? 0 ,??3 ? k 2 ? 0 ,解得 k ? 2 . 4 16


……………9

则圆心 M 点的坐标为( 分

1 ,3 ) 2

……………10

| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 = 5 ? 5 ? 5 = 2 R

2 2 所以圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? 3) ?

……………11

1 2

25 4

……………12


x 21. (1) h ?( x) ? e ?

1 ?2, x ?1

……………1


x 令 p( x) ? e ?

1 ? 2 ,因为 x ? 0 , x ?1

所以 p ?( x) ? e x ?

1 ( x ? 1) 2 e x ? 1 ? ? 0, ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

……………2 分

所以 p ( x) (即 h ?( x ) )在 [0,??) 上递增, 所以 h?( x) ? h?(0) ? 0 ,所以 h( x) 在 [0,??) 上递增, 所以 h( x) min ? h(0) ? 1 分 (2)设 g ( x) 的切点 ( x1 , y1 ) , f ( x) 的切点 ( x2 , y 2 ) , ……………4 分 ……………5

9

y1 ? ? x1 ? 1 x1 ? g ?( x1 ) ? e ? x ? 1 解得 ? y1 ? e , ? ? y ? e x1 ?k ? e ? ? 1

......7 分

1 1 y ? ?a ? ? 2 ln x2 ? a( x2 ? 1) 1 ? f ?( x2 ) ? x2 e x2 , ? 所以 ? , ? ln x2 ? 1 ? a , ?a ? x2 x2 ? y ? ln x ? a( x ? 1) 2 2 ? 2
? x2 ? e1?a 代入
1 1 ? a ? 得 e a ? ae ? 1 ? 0 ,令 p(a) ? e a ? ae ? 1 x2 e
......9 分 ......10 分

p?(a) ? e a ? e , p(a) 在 (??,1) 递减,在 (1,??) 上递增
当 a ? (??,1) 时,因为 p(0) ? 0 ,所以 a ? 0 当 a ? (1,??) 时, p(1) ? ?1 ? 0 , p(2) ? e 2 ? 2e ? 1 ? 0 ,所以 1 ? a ? 2 , 综上 a ? 0 或 1 ? a ? 2 分 22.

......12

? AC 是切线? ?B ? ?EAC 又? DC 是 ? ACB 的平分线, ?ACD ? ?DCB ,
?B ? ?DCB ? ?EAC ? ?ACD,? ?ADF ? ?AFD
......3 分

BE 是圆 O 的直径,? ?BAE ? 90? ?ADF ? 45?
分 (2)? AB ? AC ,? ?B ? ?ACB ? ?EAC

......5

由(1)得 ?BAE ? 90?,? ?B ? ?AEB ? ?B ? ?ACE ? ?EAC ? 3?B ? 90?

? ?B ? 30 ?
......7 分

?B ? ?EAC , ?ACB ? ?ACB,? ?ACE ∽ ?BCA ,

......9 分

10

AC AE 3 ? ? tan30? ? BC AB 3


......10

23. (1)曲线 C 的直角坐标方程为 分 所以参数方程为 ? (2) S ?AOB ?

x2 ? y2 ? 1 4

......2

? x ? 2 cos? , ( ? 为参数) ? y ? sin ?

......5 分

1 ?1 ? 2 , 2
......7 分

1
2 ?12 ? 2

?(

cos2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? )( ? cos2 ? ) 4 4

?

17 cos2 ? sin 2 ? sin 4 ? ? cos4 ? ? 16 4 17 cos2 ? sin 2 ? (sin 2 ? ? cos2 ? ) 2 ? 2 cos2 ? sin 2 ? ? 16 4
......9 分

?

=

9 sin 2 2? 1 1 25 ? ?[ , ] , 64 4 4 64

当且仅当 sin 2? ? 1 时即 ? ?

?
4

时, S ?AOB的最小值为

4 5

......10 分

11

24. 解: (Ⅰ)由题意 16 ? 4( a ? a ? 3 ) ? 0

? a ? a ?3 ? 4


???1

7 2 当 0 ? a ? 3 时, a ? 3 ? a ? 4 ,解得 0 ? a ? 3 1 当 a ? 0 时, ? a ? 3 ? a ? 4 ,解得 ? ? a ? 0 2 1 7 综上: A ? {a | ? ? a ? } 2 2
当 a ? 3 时, a ? a ? 3 ? 4 ,解得 3 ? a ?

??? 4 分

??? 5 分

(Ⅱ)由题意 a ? ??

? 1 7? , ? 2 2? ?
2

令 g (a) ? ?2 t a ? t ? 12 ? 0 恒成立

??? 6 分

? 1 7? g (a ) 在 a ? ?? , ? 单调递减 ? 2 2?
1 ? g (? ) ? 0 2
? t ? t ? 12 ? 0
12
2

??? 8 分

? ?3 ? t ? 3

???10 分

13


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