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高考数学考点突破测试题4


高考数学考点突破测试题 4 专题检测卷(三) 三角函数与解三角形、平面向量 一、选择题 2 1.(2010· 中山模拟)在△ABC 中,C=120° ,tan A+tan B= 3,则 tan A· tan B 的值为 3 1 1 1 5 A. B. C. D. 4 3 2 3 【解析】 ∵C=120° , ∴tan (A+B)=tan (π-C)=-tan C=-tan 120° = 3. 2 3 3 tan A+tan B 2 1 又∵tan(A+B)= , ∴ 3= . ∴1-tan Atan B= , tan Atan B= . 【答案】 B 3 3 1-tan Atan B 1-tan Atan B → → 2.(2010· 湖南)在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4,则AB· AC等于 A.-16 B.-8 C.8 D.16 → → → → → → → |AC| → 2 【解析】 AB· AC=|AB|· |AC|· cos ∠A=|AB|· |AC|· =|AC| =16.【答案】 D → |AB| π? 4 3 ? 7π? 3.(2010· 银川模拟)已知 cos ? ?α-6?+sin α= 5 ,则 sin ?α+ 6 ?的值是 2 3 2 3 4 4 A.- B. C.- D. 5 5 5 5 π 4 3 ? 【解析】 ∵cos ? ?α-6?+sin α= 5 , π? 4 7π? 3 3 4 3 4 ? π? ∴ sin α+ cos α= ,sin ? ∴sin ? 【答案】 C ?α+6?=5. ?α+ 6 ?=-sin ?α+6?=-5. 2 2 5 4.(2010· 福建龙岩一检)设向量 a=(cos 55° ,sin 55° ),b=(cos 25° ,sin 25° ),若 t 是实数,则|a-tb|的最小值为 2 1 A. B. C.1 D. 2 2 2 【解析】 ∵|a|=1,|b|=1, 〈a,b〉=30° , ∴|a-tb|2=a2-2ta· b+t2b2=t2- 3t+1. 3 1 1 当 t= 时|a-tb|2 取到最小值 ,∴|a-tb|的最小值为 .【答案】 B 2 4 2 5π sin θ 3 3cos θ 2 0, ?,则导数 f′(1)的取值范围是 5.(2010· 衡水模拟)设函数 f(x)= x+ x +tan θ,其中 θ∈? ? 12? 3 2 A.[-2,2] B.[ 2, 3] C.[ 3,2] D.[ 2,2] 2 π 【解析】 由已知得:f′(x)=sin θx + 3cos θx, θ+ ?, ∴f′(1)=sin θ+ 3cos θ=2sin ? ? 3? 5π π π π 3π 2 ? ? 又∵θ∈? ∴ ≤sin ? 【答案】 D ?0,12?,∴3≤θ+3≤ 4 . ?θ+3?≤1,∴ 2≤f′(1)≤2. 2 π π π 6.(2010· 山东青岛二模)将奇函数 f(x)=Asin (ωx+φ)(A≠0,ω>0,- <φ< )的图象向左平移 个单位得到的图象 2 2 6 关于原点对称,则 ω 的值可以为 A.2 B.3 C .4 D.6 【解析】 因为函数 f(x)=Asin (ωx+φ)是奇函数,所以 φ=kπ,k∈Z. π π 又因为- <φ< ,所以 φ=0. 2 2 πω π ωx+ ?, 将函数 f(x)=Asin ωx(A≠0,ω>0)的图象向左平移 个单位得到 f(x)=Asin ? 6? ? 6 πω 该函数仍是奇函数,所以 =kπ,ω=6k,k∈Z,ω 的值可以为 6.【答案】 D 6 → → → → ? AB AC ? → AB AC 1 → → + 7.已知非零向量AB与AC满足? · BC=0,且 · = ,则△ABC 的形状是 → →? → → 2 ?|AB| |AC|? |AB| |AC| A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰(非等边)三角形 D.等边三角形 → AB → 【解析】 首先我们注意到向量 表示的正好是AB方向上的单位向量,因此由向量加法的平行四边形法则容易 → |AB| → → → → ? AB AC ? → AB AC + 知道向量 + 在∠BAC 的角平分线上,于是由? · BC=0 可见∠BAC 的角平分线与其对边 BC 垂直,由 → →? → → ?|AB| |AC|? |AB| |AC|

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→?? →? → → ? AB AC AB AC 1 1 1 此得到三角形必为等腰三角形.再者,由 · = 可得? · cos ∠BAC= ?cos ∠BAC= ?∠BAC=60° , 2 2 →?? →? → → 2 | AB | | AC | ? ? ? ? |AB| |AC| 所以三角形 ABC 应为等边三角形. 【答案】 D → → 8.(2010· 辽宁)平面上 O,A,B 三点不共线,设OA=a,OB=b,则△OAB 的面积等于 1 1 A. |a|2|b|2-(a· b)2 B. |a|2|b|2+(a· b)2 C. |a|2|b|2-(a· b)2 D. |a|2|b|2+(a· b)2 2 2 a· b 【解析】 a· b=|a||b|cos θ?cos θ= , |a||b| a· b ?2 1 1 1 2 2 则 S= |a||b|sin θ= |a||b| 1-? b)2,选 C.【答案】 C ?|a||b|? =2 |a| |b| -(a· 2 2 3π ? π 9.(2010· 黄岗模拟)已知函数 f(x)=Asin (x+φ)(A>0)在 x= 时取最小值,则函数 y=f? ? 4 -x?是 4 π A.奇函数且在 x= 时取得最大值 B.偶函数且图象关于点(π,0)对称 2 1 π ? C.奇函数且在 x= 时取得最小值 D.偶函数且图象关于点? ?2π,0?对称 2 π π 3π 5π 【解析】 ∵f(x)=Asin (x+φ)(A>0)在 x= 时取最小值,∴ +φ=2kπ+ ,k∈Z,即 φ=2kπ+ ,k∈Z, 4 4 2 4 5π 5π 3π 3π 5π ? ? ? ? ? ? f(x)=Asin ? ∴y=f? ?x+2kπ+ 4 ?=Asin ?x+ 4 ?, ? 4 -x?=Asin ? 4 -x+ 4 ?=Asin (2π-x)=-Asin x. π 因此,该函数为奇函数,在 x= 时取最小值-A(A>0). 【答案】 C 2 π π 12 cos 2α -α?= ,α∈?0, ?,则 10.已知 cos ? 等于 4 4 ? ? 13 ? ? π ? ? + α sin ?4 ? 19 7 16 10 A. B. C. D. 65 13 65 13 π π π 【解析】 ∵0<α< ,∴0< -α< . 4 4 4 π 12 ? 又∵cos ? ?4-α?=13, π π 12?2 5 ? ? ∴sin ? 1-cos2? 1-? ?4-α?= ?4-α?= ?13? =13, π 5 12 120 ? ?π ? ?π ? ?π ? cos 2α=sin ? ?2-2α?=sin 2?4-α?=2sin ?4-α?cos ?4-α?=2×13×13=169, π ? π π π 12 +α =cos ? -?4+α??=cos ? -α?= , sin ? ?? ?4 ? ?4 ? 13 ?2 ? 120 169 120 13 10 cos 2α ∴ = = × = .【答案】 D π ? 12 169 12 13 sin ? ?4+α? 13 π? 11.(2010· 青岛模拟)设函数 f(x)=sin ? ?2x+3?,则下列结论正确的是 π π ? A.f(x)的图象关于直线 x= 对称 B.f(x)的图象关于点? 3 ?4,0?对称 π π 0, ?上为增函数 C.把 f(x)的图象向左平移 个单位,得到一个偶函数的图象 D.f(x)的最小正周期为 π,且在? 6 ? ? 12 π π kπ π 【解析】 ∵令 2x+ =kπ+ ,k∈Z,即 x= + (k∈Z),∴A 选项错误, 3 2 2 12 π? π kπ π 又∵令 2x+ =kπ,k∈Z,得 x= - (k∈Z), ∴B 选项错误,又∵f(x)=sin ? ?2x+3? 3 2 6 π π π x+ ?+ ?=sin ?2x+ ?=cos 2x, y=sin ?2? ∴选项 C 正确. 2? ? ? ? 12? 3? π? π? ? π? π ?π 2π? ? 当 x∈? ?0,6?时,2x+3∈?3, 3 ?,∴函数 f(x)=sin ?2x+3?在?0,6?上先增后减,∴选项 D 错误. 【答案】 C → → 12.(2010· 全国Ⅰ)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么PA· PB的最小值为

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A.-4+ 2 B.-3+ 2 C.-4+2 2 D.-3+2 2 【解析】 如图,设∠APO=θ, 1 2 → → →2 → PA· PB=|PA| · cos 2θ=|PA|2· (1-2sin2θ) =(|OP|2-1)(1-2· 2)=|OP|2+ -3≥2 2-3, |OP| |OP|2 2 4 当且仅当|OP|2= ,即|OP|= 2时,“=”成立【答案】 D |OP|2 二、填空题 π? 13.(2010· 东城二检)将函数 f(x)=2sin ? ?2x+3?图象上每一个点的横坐标扩 大为原来的 2 倍,所得图象所对应的函数解析式为________;若将 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 m 个单位(m>0),所得函数的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值为________. π? 【解析】 依题意知,f(x)=2sin ? ?2x+3?图象上每点的横坐标扩大为原来的 π x+ ?. 2 倍,所得图象的解析式为 y=2sin ? ? 3? π ? 如果 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 m(m>0)个单位得:y=2sin ? ?2x+3+2m?, π π 又∵其图象关于 y 轴对称,∴ +2m=kπ+ (k∈Z), 3 2 π? π kπ π π ∴m= + (k∈Z),当 k=0 时,m 有最小值 .【答案】 y=sin ? ?x+3? 12 2 12 12 14.(2010· 山东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sin B+cos B= 2,则角 A 的大小为________. π? π 【解析】 ∵sin B+cos B= 2,∴sin ? ?B+4?=1.又 0<B<π,∴B=4. 2 2 1 π π 由正弦定理,知 = ,∴sin A= .又 a<b,∴A<B,∴A= .【答案】 sin A sin B 2 6 6 2π 15.(2010· 北京)在△ABC 中,若 b=1,c= 3,∠C= ,则 a=________. 3 b c 1 3 1 π π 【解析】 由正弦定理 = ,即 = ,sin B= .又 b<c,∴B= .∴A= .∴a=1.【答案】 1 sin B sin C sin B 2π 2 6 6 sin 3 → → 16.(2010· 南京模拟)如图,正方形 ABCD 中,已知 AB=2,若 N 为正方形内(含边界)任意一点,则AB· AN的最大值 是________. → → 【解析】 设AB,AN的夹角为 θ. → → → → → AB· AN=|AB|· |AN|· cos θ=2|AN|· cos θ. → → 由图可知,|AN|· cos θ 的最大值即为|AB|. → → ∴AB· AN的最大值为 2×2=4. 【答案】 4 三、解答题 2 ? 2x 17.(12 分)(2010· 重庆)设函数 f(x)=cos? ?x+3π?+2cos 2,x∈R. (1)求 f(x)的值域; (2)记△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,若 f(B)=1,b=1,c= 3,求 a 的值. 2 2 1 3 【解析】 (1)f(x)=cos xcos π-sin xsin π+cos x+1=- cos x- sin x+cos x+1 3 3 2 2 5π? 1 3 = cos x- sin x+1=sin? ?x+ 6 ?+1, 2 2 因此 f(x)的值域为[0, 2]. 5π 5π π B+ ?+1=1,即 sin?B+ ?=0,又因 0<B<π,故 B= . (2)由 f(B)=1 得 sin? 6? 6? ? ? 6 解法一 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 a2-3a+2=0,解得 a=1 或 2. b c 3 π 2π π 解法二 由正弦定理 = ,得 sin C= ,C= 或 .当 C= 时, sin B sin C 2 3 3 3 π 2 π π A= ,从而 a= b2+c2=2;当 C= π 时,A= ,又 B= ,从而 a=b=1.故 a 的值为 1 或 2. 2 3 6 6

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【答案】 +sin2B.

(1)[0,2] (2)a 的值为 1 或 2

π ? ?π ? 18. (12 分)(2010· 安徽)设△ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长, 并且 sin2A=sin? ?3+B?sin?3-B? → → (1)求角 A 的值;(2)若AB· AC=12,a=2 7,求 b,c(其中 b<c). 3 1 3 3 1 3 1 【解析】 (1)因为 sin2A=? cos B+ sin B?? cos B- sin B?+sin2B= cos2B- sin2B+sin2B= , 4 4 4 2 2 2 2 ? ?? ? π 3 又 A 为锐角,所以 A= . 所以 sin A=± . 3 2 → → (2)由AB· AC=12 可得 cbcos A=12.① π 由(1)知 A= ,所以 cb=24.② 3 由余弦定理知 a2=c2+b2-2cbcos A,将 a=2 7及①代入,得 c2+b2=52,③ ③+②×2,得(c+b)2=100, 所以 c+b=10. 因此 c,b 是一元二次方程 t2-10t+24=0 的两个根.解此方程并由 c>b 知 c=6,b=4. π 【答案】 (1)A= (2)c=6,b=4 3 2π → → 19.(12 分)(2010· 临沂二检)如图,已知△ABC 中,|AC|=1,∠ABC= ,∠BAC=θ,记 f(θ)=AB· BC. 3 (1)求 f(θ)关于 θ 的表达式;(2)求 f(θ)的值域. |BC| 1 |AB| sin θ 2 3 【解析】 (1)由正弦定理,得 = = ,∴|BC|= = sin θ, sin θ 2π π 2π 3 ? -θ? sin sin sin 3 3 ?3 ? π ? sin ? ?3-θ? 2 3 ?π ? |AB|= = sin ?3-θ?. 2π 3 sin 3 π ? 1 2? 3 π 4 1 → → → → ?sin θ= 3sin 2θ+1cos 2θ-1 ∴f(θ)=AB· BC=|AB|· |BC|cos = sin θ· sin ? = ?3-θ?· 3 3 2 3? 2 cos θ-2sin θ? 6 6 6 π π 1 1 ? ? ? = sin ? ?2θ+6?-6?0<θ<3?. 3 π? π? 1 1 π π π 5π 1 1 ? ? 1? (2)由 0<θ< ,得 <2θ+ < . ∴ <sin ? ?2θ+6?≤1.∴0<3sin ?2θ+6?-6≤6,即 f(θ)的值域为?0,6?. 3 6 6 6 2 π? 1? π? 1? 1 【答案】 (1)f(θ)= sin ? (2)? ?2θ+6?-6?0<θ<3? ?0,6? 3 3π ? 20.(12 分)(2010· 泰州三模)已知向量 a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈? ? 2 ,2π?,且 a⊥b. α π? (1)求 tan α 的值;(2)求 cos ? ?2+3?的值. 【解析】 (1)∵a⊥b,∴a· b=0. 而 a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α), 6sin2α+5sin αcos α-4cos2α 故 a· b=6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0,即 =0. sin2α+cos2α 4 1 由于 cos α≠0,∴6tan2α+5tan α-4=0.解之,得 tan α=- ,或 tan α= . 3 2 3π 1 ? ∵α∈? ? 2 ,2π?,tan α<0,故 tan α=2(舍去). 3π α ?3π ? ? (2)∵α∈? ? 2 ,2π?,∴2∈? 4 ,π?. 4 α 1 α 由 tan α=- ,求得 tan =- ,tan =2(舍去). 3 2 2 2 4 ∴tan α=- . 3

α 5 α 2 5 = ,cos =- , 2 5 2 5 α π? 2 5+ 15 α π α π 2 5 1 5 3 + =cos cos -sin sin =- cos ? × - × =- . ? 2 3? 2 3 2 3 5 2 5 2 10 2 5+ 15 4 【答案】 (1)- (2)- 3 10 21.(12 分)(2010· 福州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 p=(sin A,b+c),q=(a-c, ∴sin

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sin C-sin B),满足|p+q|=|p-q|. π 1 C+ ?, ?,n=(2k,cos 2A)(k>1),m· (1)求角 B 的大小;(2)设 m=?sin ? n 有最大值为 3,求 k 的值. 3? 2? ? ? 【解析】 (1)由条件|p+q|=|p-q|,两边同时平方得:p· q=0, 又 p=(sin A,b+c),q=(a-c,sin C-sin B), 代入得:sin A(a-c)+(b+c)(sin C-sin B)=0, 根据正弦定理,可化为 a(a-c)+(b+c)(c-b)=0, 即 a2+c2-b2=ac, 又由余弦定理 a2+c2-b2=2accos B, 1 所以,cos B= ,B=60° . 2 π 1 C+ ? ? (2)m=?sin ? ? ? 3?,2?,n=(2k,cos 2A)(k>1), π 1 1 C+ ?+ cos 2A=2ksin (C+B)+ cos 2A m· n=2ksin ? ? 3? 2 2 1 1 1 2 2 =2ksin A+cos A- =-sin A+2ksin A+ =-(sin A-k)2+k2+ (k>1). 2 2 2 2 而 0<A< π,sin A∈(0,1], 3 1 7 故当 sin A=1 时,m· n 取最大值为 2k- =3,k= . 2 4 7 【答案】 (1)60° (2) 4 22.(14 分)(2010· 江苏)某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m).如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h =4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β. (1)该小组已测得一组 α,β 的值,tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 α 与 β 之差较大,可以提高 测量精度.若电视塔的实际高度为 125 m,试问 d 为多少时,α-β 最大? 【解析】 H h H (1)由 AB= ,BD= ,AD= 及 AB+BD=AD,得 tan α tan β tan β

H h H + = , tan α tan β tan β 4×1.24 htan α 解得 H= = =124. tan α-tan β 1.24-1.20 因此,算出的电视塔的高度 H 是 124 m. H (2)由题设知 d=AB,得 tan α= . d H-h H h 由 AB=AD-BD= - ,得 tan β= , tan β tan β d tan α-tan β h h 所以 tan(α-β)= = ≤ . 1+tan αtan β H(H-h) 2 H(H-h) d+ d H(H-h) 当且仅当 d= , d 即 d= H(H-h)= 125×(125-4)=55 5时,上式取等号.所以当 d=55 5时,tan(α-β)最大. π π 因为 0<β<α< ,则 0<α-β< , 2 2 所以当 d=55 5时,α-β 最大.故所求的 d 是 55 5 m. 【答案】 (1)124 m (2)55 5 m

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