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2011年高考数学二轮复习精品学案:专题2:三角函数、三角变换、解三角形、平面向量-阶段质量评估(二)


专题二:三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
阶段质量评估(二)
小题, 一、选择题(本大题 共 12 小题,每小题 5 分,总分 60 分) 选择题( 1 . 已 知 向 量 a , b 均 为 单 位 向 量 , 若 它 们 的 夹 角 是 60° , 则 a ? 3b 等 于 ( ) A. 7 B. 10 C. 13 ) D.4

r r

r

r

2.已知 α 为第三象限角,则 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限

α
2

所在的象限是(

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限 )

3.函数 y = sin 2 x + sin x cos x 的最小正周期 T=( (A)2π (B)π (C)

π
2

(D)

π
3

3 ? sin 70o 4. =( 2 ? cos 2 10o
A.



1 2

B.

2 2

C. 2

D.

3 2

5.在 ?ABC 中, AB = 7, BC = 5, CA = 6 ,则 AB ? BC = ( ) (A) ?19 (B) 19 (C) ?38 (D) 38

uuu uuu r r

6.平行四边形 ABCD 中,A C 为一条对角线,若 AB =(2,4) AC =(1,3) , ,则 AD · BD 等于 A.6 7.函数 y = 2 cos 2 ( x ? B.8 C.-8 ) D.-6 ( )

π
4

) ? 1是 (

A.最小正周期为 π 的奇函数 C. 最小正周期为

B. 最小正周期为 π 的偶函数 D. 最小正周期为

π
2

的奇函数

π
2

的偶函数 )

8.设数 f ( x ) = sin( x +

π
3

)( x ∈ R ) ,则下列结论正确的是(

A. f (x ) 的图象关于点 (

π
3

,0) 对称

第 1 页 共 10 页

B. f (x ) 的图象关于直线 x = C.把 f (x ) 的图象向右平移

π
3

对称

π
3

个单位,得到一个奇函数的图象

D. f (x ) 的最小正周期为 2π , 且在[0,

π
3

] 上为增函数

9.已知 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a , b, c , a = c = ( A.2 ) B.4+ 2 3 C.4— 2 3

6 + 2 , A = 75o ,则 b =

D. 6 ? 2 )

10. 在直角 ?ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立的是( A. AC = AC ? AB

uuur 2

uuur uuu r

B. BC = BA ? BC

uuu 2 r

uuu uuu r r

uuu 2 uuur uuu r r C. AB = AC ? CD

uuur uuu r uuu uuu r r uuu 2 ( AC ? AB) × ( BA ? BC ) r D. CD = uuu 2 r AB

11.已知平面内任一点 O 满足 OP = xOA + yOB( x, y ∈ R), 则“ x + y = 1 ”是“点 P 在直 线 AB 上”的( ) B.充分但不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ,若所得图象对应的函 3 sin x ? cos x 的图象向左平移 m 个单位(m>0) ) C.

A.必要但不充分条件 C.充要条件 12.将函数 f ( x ) =

数为偶函数,则 m 的最小值是( A.

2π 3
r r

B.

π 3

π 8
r

D. π

5 6

小题, 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,总分 16 分) 填空题( 13.设向量 a = (1, 0), b = (1,1) ,若向量 λ a + b 与向量 c = (6, 2) 共线,则实数 λ =

r r



α 6 sin α + cos α =2,则 的值为 . 2 3sin α ? 2 cos α AC 15.在锐角 ?ABC 中, BC = 1, B = 2 A, 则 的值等于 , cos A AC 的取值范围为 . uuu r uuur uuu r uuu uuur uuu uuur r r AB AC 16.在 ? ABC 中,已知 ( uuu + uuur ) ⊥ BC ,且 2 AB ? AC = AB ? AC , r AB AC
14.已知 tan 则 ? ABC 的形状 是 。

第 2 页 共 10 页

小题, 三、解答题(本大题共 6 小题,总分 74 分) 解答题( 17.(本小题 12 分)已知函数 f ( x ) = (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值; (II)求函数 f ( x ) 的零点的集合。 [来源:Z_xx_k.Com]

3 sin 2 x ? 2sin 2 x .

18.(本小题 12 分)设函数 f ( x ) = 3sin ? ω x + 且以

? ?

π?

? , ω>0 , x ∈ ( ?∞, +∞ ) , 6?

π
2

为最小正周期.

(1)求 f ( 0 ) ; (2)求 f ( x ) 的解析式; (3)已知 f ?

?α π ? 9 + ? = ,求 sin α 的值. ? 4 12 ? 5

3 C= π 4 , 19. (本小题满分 12 分) ?ABC 中, A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , 在 角 且 sin A = 5 5 .[来源:学科网]

(Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)若 c ? a = 5 ? 10 ,求 ?ABC 的面积.

20. (本小题满分 12 分) 已知 A、B、C 是△ABC 三内角,向量 a = ( 3 sin B ? cos B, 2 cos B ),

r

r r r b = (2 cos C , 3 sin C ? cos C )且a / / b
(1)求角 A 的大小; (2)若 AB+AC=4,求△ABC 外接圆面积的取值范围。
第 3 页 共 10 页

[来源:学科网]

f ( x) = sin 2 ω x + 3 cos ω x ? cos( ? ω x)(ω > 0) 2 ,且函 21.(本小题满分 12 分)已知函数
数 y = f ( x) 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 .[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

π

π

f( ) 6 的值; (Ⅰ)求 f (kx +

π

π
12

(Ⅱ)若函数

)(k > 0)

在区间

[?

π π

, ] 6 3 上单调递增,求 k 的取值范围.

22.(本小题满分 14 分)向量 a , b 满足 a = b = 1 , ka + b = (1) 求 a ? b 关于 k 的解析式 f (k ) ;

v v

r

r

v

r

v v 3 a ? kb , (k > 0) .

v v

(2) 请你分别探讨 a ⊥ b 和 a ∥ b 的可能性,若不可能,请说 明理由,若可能,求出 k 的值; (3) 求 a 与 b 夹角的最大值.

v

v

v

v

v

v

参考答案
一、 选择题 1. 【解析】选 A Q a ? 3b = (a ? 3b) = a ? 6a b + 9b = 1 ? 6 ×1×1× cos 60 + 9 = 7,
2 0

r

r2

r

r

r2

r r

r2

r r ∴ a ? 3b = 7.
2. 【解析】选 D. 3. 【解析】选 B.[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 4. 【解析】选 C.

3 ? sin 70o 3 ? cos 20o 3 ? (2 cos 2 10o ? 1) = = = 2. 2 ? cos 2 10o 2 ? cos 2 10o 2 ? cos 2 10o

BA2 + BC 2 ? CA2 7 2 + 52 ? 6 2 19 5. 【解析】选 A.Q cos B = = = , 2 AB × BC 2×7×5 35
uuu uuu r r uuu uuu r r uuu uuu r r 19 ∴ AB ? BC = ? BA ? BC = ? BA BC cos B = ?7 × 5 × = ?19. 35
, , 6.【解析】选 B 因为 AB =(2,4) AC =(1,3)
第 4 页 共 10 页

所以 AD = AC ? AB = (1,3) ? (2, 4) = (?1, ?1),

uuur

uuur uuu r

uuu uuur uuu r r uuur uuu r BD = AD ? AB = (?1, ?1) ? (2, 4) = (?3, ?5). ∴ AD BD = (?1, ?1) (?3, ?5) = 8.
7. 【解析】 A.因为 y = 2 cos 2 ( x ? 选 所以选 A. 8. 【解析】选 C.因为 f ( x) = sin x 的图像的对称中心在 X 轴上,对称轴对应的函数值为最值

π

2π π? ? ) ? 1 = cos ? 2 x ? ? = sin 2 x 为奇函数, T = =π , 2 4 2? ?

±1 ,
又Q f ( x ) = sin( x +

π

π 2π π π ),∴ f ( ) = sin ,∴ f ( ) ≠ 0; f ( ) ≠ 1 。所以 A、B 不正确;对于 3 3 3 3 3 π
3
个单位,则 y = f ( x ?

C:把 f (x ) 的图象向右平移 数。故 C 正确。

π

) = sin[( x ? ) + ] = sin x 为奇函 3 3 3

π

π

9. 【解析】选 A. sin A = sin 750 = sin(300 + 450 )

= sin 300 cos 450 + sin 450 cos 300 =
由a = c =

2+ 6 4

6 + 2 可知, ∠C = 750 ,所以 ∠B = 300 , sin B = a ? sin B = sin A 2+ 6 1 × = 2 ,故选 A 2+ 6 2 4

1 2

由正弦定理得 b =

10.答案:C 11. 【解析】选 C 根据平面向量基本定理知: OP = xOA + yOB( x, y ∈ R) 且 x + y = 1 ? P 在直线 AB 上. 12. 【解析】选 A.Q f ( x) =

uuu r

uuu r

uuu r

π 3 sin x ? cos x = 2sin( x ? ), , 6

∴ f ( x + m) = 2sin[( x + m) ? ] = 2 sin[ x + (m ? )], 6 6 若f ( x + m)为偶函数, π π 2π 则m ? = k π + , m = k π + (k ∈ Z ), 6 2 3 2π Q m > 0,∴ mmin = . 3
二、填空题
第 5 页 共 10 页

π

π

13. 【解析】 因为 a = (1, 0), b = (1,1) , 所以 λ a + b = (λ + 1,1), 因向量 λ a + b 与向量 c = (6, 2) 共 线,所以 答案:2

r

r

r

r

r r

r

λ +1
6

=

1 ? λ = 2. 2

2 = 2× 2 = ? 4 ; α 1? 4 2 3 1 ? tan 2 2 4 6(? ) + 1 7 6 sin α + cos α 6 tan α + 1 3 所以 = = = . 3sin α ? 2 cos α 3 tan α ? 2 3(? 4 ) ? 2 6 3 7 答案: 6
14. 【解析】∵ tan =2, ∴ tan α = 15. 【解析】 ∠A = θ , ? B = 2θ . 由正弦定理得 设

α

2 tan

α

AC BC AC AC = ,∴ =1? = 2. sin 2θ sin θ 2 cos θ cos θ

由锐角 ?ABC 得 0o < 2θ < 90o ? 0o < θ < 45o , 又 0o < 180o ? 3θ < 90o ? 30o < θ < 60o ,故 30o < θ < 45o ? 所以 AC = 2 cos θ ∈ ( 2, 3). 答案:2

2 3 , < cos θ < 2 2

( 2, 3).

16.答案:等边三角形[来源:Z#xx#k.Com] 三、解答题 17. 解析:【命题立意】考查三角函数的基本 公式和基本性质. 【思路点拨【首先化成 f(x)=Asin(wx+φ)+d 的形式,再考查三角函数的基本性质. 【规范解答】 (1)因为 f(x)=

3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x)

=2sin(2x+

π
6

) ?1 ,

所以,当 2x+

π
6

=2k π +

π
2

,即 x=k π +

π
6

(k ∈ Z )时,函数f ( x)取得最大值1.

[来源:学科

网]

第 6 页 共 10 页

(2)方法 1 由(1)及 f(x)=0 得 sin(2x+

π

6 5π π , 即x = kπ , 或x = kπ + . 2x+ = 2kπ + , 或2 x + = 2kπ + 6 6 6 6 3

)=

π

π

π

1 ,所以 2

故函数 f(x)的零点的集合为{x|x=k π,或x = kπ + 方 2 法 2

π

3

, k ∈ Z} .
f(x)=0 得



3 sin x cos x = 2 sin 2 x, 于是 sin x = 0,或 3 cos x = sin x,即 tan x = 3. [ 来 源 : 学

科网] 由 sinx=0 可知 x=k π ;由 tan x =

3可知x = kπ +

π
3

.

故函数 f(x)的零点的集合为{x|x=k π,或x = kπ +

π
3

, k ∈ Z} .

【方法技巧】1、一般首先利用三组公式把散形化成 f(x)=Asin(wx+φ)+d 的形式.一组是立 方差公式、立方和公式、平方差公式、完全平方公式.二组是诱导公式和基本关系式.三组是 倍角公式、半角公式和两角和公式的逆运算.2、考查基本性质,包括单调性、周期性、对称 性和函数值域等. 18. 解析:【命题立意】本题考察三角函数的性质以及三角变换. 【思路点拨】 (2)由已知条件求出 ω ,从而求出 f ( x ) 的解析式; (3)由 f (

α
4

+

π
12

)=

9 3 4 ? cos α = ? sin = ± . 5 5 5

【规范解答】 (1) f (0) = 3sin(ω × 0 + (2)Q T =

π
6

) = 3sin

π

3 = . 6 2 [来源:Z_xx_k.Com]
6



9 α π π 9 π 3 (3)由 f ( + ) = 得 3sin[4( + ) + ] = ,即 sin(α + ) = 4 12 5 4 12 6 5 2 5 ∴ cos α = 3 , 5

α

ω π

=

π
2

,∴

π ω = 4 ,所以 f ( x) 的解析式为: f ( x) = 3sin(4 x + ).

3 4 ∴ sin α = ± 1 ? cos 2 α = ± 1 ? ( ) 2 = ± . 5 5

【方法技巧】三角函数的性质问题,往往都要先化成 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) 的形式再求解.

3 5 C = π sin A = 4 , 5 , 19. 解析: (Ⅰ)因为

所以

cos A = 1 ? sin 2 A =

2 5 5 .
第 7 页 共 10 页

由已知得

B=

π
4

?A
.

sin B = sin( ? A) = sin cos A ? cos sin A 4 4 4 所以

π

π

π

=

2 2 5 2 5 10 ? ? ? = 2 5 2 5 10 .
C=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

3π 2 10 sin C = sin B = 4 ,所以 2 且 10 .

a sin A 10 = = 5 . 由正弦定理得 c sin C
又因为 c ? a = 5 ? 10 , 所以 c = 5 , a = 10 .

所以

S ?ABC =

1 1 10 5 ac sin B = 10 ? 5 ? = 2 2 10 2.

20. 解析: (1)Q a / / b ∴ ( 3 sin B ? cos B )( 3 sin C ? cos C ) = 4 cos B cos C 即 3(cos B cos C ? sin B sin C ) = ? 3(sin B cos C + cos B sin C )

r

r

∴ 3cos( B + C ) = ? 3 sin( B + C )

tan( B + C ) = ? 3 Q0 < B + C < π π 2π ∴B +C = A= LLLL 6分 3 3
(2)由(1)得 BC = AB + AC ? 3 AB ? AC ≥ ( AB + AC ) ? 3 ?
2 2 2 2

( AB + AC ) 2 4

=

1 1 ( AB + AC ) 2 = × 4 = 4 4 4

当且仅当 AB=AC=2 时上式取“=” 又 BC < AB + AC = 4

∴ 4 ≤ BC 2 < 16

………………10 分

设△ABC 外接圆半径为 R,

第 8 页 共 10 页



BC BC 2 1 4 16 = 2 R, R 2 = = BC 2 ∈ [ , ) 2 sin A 3 3 4sin A 3
4π 16 , π) 3 3

∴△ABC 外接圆面积的取值范围是 [

21. 【解析】 (Ⅰ)

f ( x) =

1 ? cos 2ω x 3 π 1 + sin 2ω x = sin(2ω x ? ) + 2 2 6 2.

T π 2π = =π 据题意, 2 2 ,即 T = π ,所以 2ω ,即 ω = 1 .

π 1 π 2π π 1 π 1 f ( x) = sin(2 x ? ) + f ( ) = sin( ? ) + = sin + = 1 6 2 ,故 6 6 6 2 6 2 从而 .
科§网 Z§X§X§K]

[来源:学§

(Ⅱ)因为

f (kx +

π
12 ?

) = sin[2(kx +

π 1 1 ) ? ] + = sin 2kx + 12 6 2 2 , k > 0 ,则

π



?

π
6

≤x≤

π

kπ 2 kπ ≤ 2kx ≤ 3 时, 3 3 .
π ? kπ ?? 3 ≥ ? 2 ? ? 2 kπ π ≤ ? 2 ? 3 π ?k > 0 , ] 0< 2 ,所以 ? ? ,解得

据 题意,

[?

kπ 2 kπ π , ] ? [? 3 3 2

k≤

3 4.

22. 解析:(1)由已知有 ka + b

v

v2

v v = ( 3 a ? kb ) 2 ,

v v v v k 2 +1 又∵ a = b = 1 ,则可得 a ? b = , (k > 0). 4k
即 f (k ) =

k 2 +1 ( k > 0) . 4k

(2)∵ k > 0,∴ a ? b = f ( k ) > 0 ,故 a 与 b 不可能垂直.
v 若 a ∥ b ,又 a ? b > 0 ,则 a 与 b 同向,

v v

v

v

v

v v

v

v

故有 a ? b =

v v

k 2 +1 = 1. 4k

第 9 页 共 10 页

即 k ? 4k + 1 = 0 ,又 k > 0 ,故 k = 2 ± 3
2

v ∴当 k = 2 ± 3 时, a ∥ b . v (3)设 a , b 的夹角为 θ ,则

v

v

v v a ?b v v k 2 +1 1 1 1 ?? 1 cos θ = v v = a ? b = = (k + ) = ?? k ? ? 4k 4 k 4 ?? k ab ?
当 k =

2 ? ? ? + 2? ? ? ? ?

1 k

,即 k = 1 时, (cos θ )min =

1 , 2

又 0 ≤ θ ≤ π ,则 θ 的最大值为

π
3

.

注:此处也可用均值不等式或导数等知识求解.

第 10 页 共 10 页


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