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1.集合的概念与运算


第一讲 集合的概念与运算
一.基础检测
1. (2012· 江苏)已知集合 A={1,2,4},B={2,4,6},则 A∪B=________. 2. 已知集合 A={x|a-1≤x≤1+a},B={x|x2-5x+4≥0},若 A∩B=?,则实数 a 的取值 范围是________.

3. 已知集合 A={-1,2},B={x|mx+1=0},若 A∪B=A,则 m 的可能取值组成的集合为 ________.

4. (2012· 江西)若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的 个数为 A.5 B.4 C .3 D.2 ( )

5. (2011· 北京)已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围为( A.(-∞,-1] C.[-1,1] B.[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

)

二.知识梳理
1. 集合与元素 (1)集合元素的三个特征:__________、__________、_________ (2)元素与集合的关系是________或__________关系,用符号_____或______表示. (3)集合的表示法:________、_________、___________ (4)常见数集的记法 集合 符号 2. 集合间的关系 (1)子集:_______________________________________________. (2)真子集:_______________________________________________. (3)空集:_______________________________________________. (4)若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有______个,A 的非空子集有_______个. (5)集合相等:_______________________.
1

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

3.集合的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集

图形

符号

4. 集合的运算性质 并集的性质:

交集的性质:

补集的性质:

归纳总结: 1. 正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念, 特别是集合中元素的三个特征, 尤其是“确定性和互异性” 在解题中要注意运用. 在解决含参数问题时, 要注意检验, 否则很可能会因为不满足“互 异性”而导致结论错误. 2. 注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非 空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A?B,则需考虑 A=?和 A≠?两种可能的 情况. 3. 正确区分?,{0},{?} ?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元素 0 的集合,它不是空集,因为它 有一个元素,这个元素是 0.{?}是含有一个元素?的集合.??{0},??{?},?∈{?}, {0}∩{?}=?.

三.例题分析
题型一 集合的基本概念 例 1. (1)下列集合中表示同一集合的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)}
2

(

)

b ? ? (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,a,b?,则 b-a=________.
? ?

若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a=________.

题型二 集合间的基本关系 例 2. 已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B?A,求实数 m 的取值 范围.

已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取值范围是(c, +∞),其中 c=________.

题型三 集合的基本运算 例 3. 设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?, 则 m 的值是________.

设全集是实数集 R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围.

3

题型四 集合中的新定义问题 例 4. (2011· 广东)设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果?a,b∈S,有 ab∈S,则称 S 关于数的 乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且?a,b,c∈T, 有 abc∈T;?x,y,z∈V,有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是 A.T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的 已知集合 S={0,1,2,3,4,5},A 是 S 的一个子集,当 x∈A 时,若有 x-1?A,且 x+1?A,则称 x 为 A 的一个“孤立元素”,那么 S 中无“孤立元素”的 4 个元素的子集共 有________个. ( )

例 5. (2012· 课标全国)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中 所含元素的个数为 A.3 B.6 C.8 D.10 ( )

例 6. 若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a 的可取值组成的集合 为__________. 方法与技巧 1. 集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检 验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2. 对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系, 求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号. 3. 对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图.这是数形结合思想的 又一体现. 失误与防范 1. 空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注 对空集的讨论,防止漏解. 2. 解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 3. 解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解 的两个先决条件. 4. Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图 示法要特别注意端点是实心还是空心. 5. 要注意 A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性.

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四.随堂练习
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2012· 广东)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM 等于 A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} ( )

2. (2011· 课标全国)已知集合 M={0,1,2,3,4}, N={1,3,5}, P=M∩N, 则 P 的子集共有( A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个

)

3. (2012· 山东)已知全集 U={0,1,2,3,4}, 集合 A={1,2,3}, B={2,4}, 则(?UA)∪B 为 ( A.{1,2,4} C.{0,2,4} 4. 已知集合 M={x| A.? C.{x|x>1} B.{2,3,4} D.{0,2,3,4} x ≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则 M∩N 等于 x-1 B.{x|x≥1} D.{x|x≥1 或 x<0} ( )

)

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 B?A,则 a=__________.

6. 已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B= _________. 7. (2012· 天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B= (-1,n),则 m=________,n=________.

三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知集合 A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围.

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9. (12 分)设符号@是数集 A 中的一种运算:如果对于任意的 x,y∈A,都有 x@y=xy∈A, 则称运算@对集合 A 是封闭的.设 A={x|x=m+ 2n,m、n∈Z},判断 A 对通常的实 数的乘法运算是否封闭?

五.课后作业
一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2012· 湖北)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

2. (2011· 安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S?A 且 S∩B≠?的集合 S 的个数是 A.57 B.56 C.49 D.8 1 3. (2011· 湖北)已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP 等于 x 1 ? A.? ?2,+∞? C.(0,+∞) 1 0, ? B.? ? 2? 1 ? D.(-∞,0]∪? ?2,+∞? ( )

(

)

6

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. (2012· 陕西改编)集合 M={x|lg x>0},N={x|x2≤4},则 M∩N=____________.

y-3 5. 已知 M={(x,y)| =a+1},N={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=15},若 M∩N=?,则 a x-2 的值为____________. 6. 设 A={x||x|≤3},B={y|y=-x2+t},若 A∩B=?,则实数 t 的取值范围是__________.

三、解答题 1 5 7. (13 分)已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y= x2-x+ ,0≤x≤3}. 2 2 (1)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (2)当 a 取使不等式 x2+1≥ax 恒成立的 a 的最小值时,求(?RA)∩B.

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