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1.3 简单曲线的极坐标方程 课件 (人教A版选修4-4)




简单曲线的极坐标方程

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课前预习导学

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学习目标 1.会写过极点的直线方程和圆心在极点的 圆的方程. 2.熟练掌握和运用过极点且圆心在极轴或 在(ρ,θ)处的圆的极坐标方程. 3.

运用极坐标方程解一些与圆有关的几何 问题,进而体会极坐标方程的方便之处. 4.深入理解并熟练运用平面上点的极坐标 (ρ,θ),并理解平面曲线的极坐标方程 ρ=ρ(θ) 的含义. 1.写出过极点的直线的 方程和圆心在极点的圆 的方程 2.圆和直线的极坐标方 程的应用 重点难点

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预习导引
1.圆的极坐标方程 (1)曲线 C 的极坐标方程:一般地,在极坐标系中,如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ,θ)=0,并且坐标适 合方程 f(ρ,θ)=0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f(ρ,θ)=0 叫做曲线 C 的极坐标方程. (2)常见圆的极坐标方程: ①圆心位于极点,半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ=r; ②圆心位于 C(a,0)(a>0),半径为 a 的圆的极坐标方程为 ρ=2acos θ; ③圆心位于 C , 2 (a>0),半径为 a 的圆的极坐标方程为 ρ=2asin θ.
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π

2.直线的极坐标方程 (1)过极点,从极轴到直线 l 的角为 θ0,直线 l 的极坐标方程为 θ=θ0(ρ∈R); (2)过点 A(a,0)(a>0)且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ=a; (3)过点 P(ρ1,θ1)且与极轴所成的角为 α 的直线 l 的极坐标方程 为 ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1). 3.极坐标方程与直角坐标方程的互化 利用极坐标与直角坐标的互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ, ρ2=x2+y2,tan θ= (x≠0).


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课堂合作探究

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问题导学
一、圆的极坐标方程 活动与探究 1 从极点 O 作圆 C:ρ=8cos θ 的弦 ON,求 ON 的中点 M 的轨迹方 程并把它化为直角坐标方程. 思路分析:可利用平面几何知识也可利用代入法.

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解:方法一:如图,圆 C 的圆心 C(4,0),半径 r=|OC|=4,连接 CM.

∵ M 为弦 ON 的中点, ∴ CM⊥ON,故 M 在以 OC 为直径的圆上. ∴ 动点 M 的轨迹方程是 ρ=4cos θ. ∵ ρ2=4ρcos θ,∴ x2+y2=4x, 故(x-2)2+y2=4 为所求的直角坐标方程.

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方法二:设 M 点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1). N 点在圆 ρ=8cos θ 上, ∴ ρ1=8cos θ1(*).∵ M 是 ON 的中点, ∴ 1 = 2ρ, 将它代入(*)式得 2ρ=8cos θ, 1 = θ,

故 M 的轨迹方程是 ρ=4cos θ. ∵ ρ2=4ρcos θ,∴ x2+y2=4x, 故(x-2)2+y2=4 为所求的直角坐标方程.

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迁移与应用 1 求圆心在 A 直角坐标方程.
3π 2, 2

,并且过极点的圆的极坐标方程,并把它化为

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解:如图,设 M(ρ,θ)为圆上除 O,B 外的任意一点,连接 OM,MB,

3π π 则有|OB|=4,|OM|=ρ,∠MOB=θ- 2 ,∠BMO=2,

从而△BOM 为直角三角形, 所以有|OM|=|OB|cos ∠MOB, 即 ρ=4cos - 2 =-4sin θ, 故所求圆的极坐标方程为 ρ=-4sin θ, ∴ x2+y2=-4y,即 x2+(y+2)2=4 为所求圆的直角坐标方程.
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圆心坐标为 C(ρ0,θ0),半径为 r 的圆的极坐标方程为 2 2 ρ2-2ρ0cos(θ-θ0)ρ+0 -r =0.特别地,若圆心为 C(r,0),则 ρ=2rcos θ;圆心 为 C ,
π 2

,则 ρ=2rsin θ;圆心为 C(r,π),则 ρ=-2rcos θ;圆心为 C ,

3π 2

,

则 ρ=-2rsin θ.

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二、直线的极坐标方程 活动与探究 2
设P
π 2, 4

,直线 l 经过 P

3π 点且与极轴所成的角为 4 ,求直线

l的

极坐标方程. 思路分析:取直线上任意一点 M(ρ,θ),构造三角形求|OM|.

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解:如图,设 M(ρ,θ)为直线 l 上除 P 点外的任意一点,连接 OM,OP,该直线交 Ox 于点 A,

则有|OM|=ρ,|OP|=2,∠xAM= 4 ,∠OPM=2,∠MOP=θ-4, 所以有|OM|cos ∠MOP=|OP|,即 ρcos - 4 =2, 显然 P 点也在这条直线上. 所以直线 l 的极坐标方程为 ρcos
π - 4 π



π

π

=2.
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迁移与应用 2 (2013 高考安徽卷,理 7)在极坐标系中,圆 ρ=2cos θ 的垂直于极 轴的两条切线方程分别为( ). A.θ=0(ρ∈R)和 ρcos θ=2 B.θ=2(ρ∈R)和 ρcos θ=2
π π

C.θ=2(ρ∈R)和 ρcos θ=1 D.θ=0(ρ∈R)和 ρcos θ=1 答案:B
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解析:由题意可知,圆 ρ=2cos θ 可化为普通方程为(x-1)2+y2=1. 所以圆的垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x=0 和 x=2,再将两 条切线方程化为极坐标方程分别为
π θ=2(ρ∈R)和

ρcos θ=2,故选 B.

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迁移与应用 3 求过(-2,3)点,且斜率为 2 的直线的极坐标方程. 解:由题意可知,直线的直角坐标方程为 y-3=2(x+2), 即 2x-y+7=0.设 M(ρ,θ)为直线上任意一点, 将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 2x-y+7=0 得 2ρcos θ-ρsin θ+7=0. 故所求的极坐标方程为 2ρcos θ-ρsin θ+7=0.

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在极坐标系中,求直线的极坐标方程的一般方法为:在直线上设 M(ρ,θ)为任意一点,连接 OM,构造出含有 OM 的三角形,再利用三角 形知识求|OM|,即把|OM|用 θ 表示,这就是我们所需求的 ρ 与 θ 的关 系,即为直线的极坐标方程,也可先求出直角坐标方程,再变换为极坐 标方程.

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三、直角坐标方程与极坐标方程的互化 活动与探究 3
(1)化极坐标方程 ρ= cos 为直角坐标方程;
2 2 (2)化直角坐标方程2 + 2 =1 4tan

为极坐标方程.

思路分析:(1)先把 tan θ 化成

sin ,再利用互化公式求解; cos

(2)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 直接代入求解.

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解:(1)极坐标方程可化为 ρ=cos2 θ,∴ ρcos2θ=4sin θ. 当 θ=kπ,k∈Z 时,ρ=0,极点在曲线上. 又∵ ρ2cos2θ=4ρsin θ,故 x2=4y 为其直角坐标方程.
2 (2)∵ 2

4sin

+

2

2 =1

表示椭圆,


设其半焦距为 c,∴ a2=b2+c2,e= . 将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入方程,得 b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2,即 ρ=
2

2
2

2



cos2 θ+2(1-cos2 θ)

=

2 2 -2 cos2 θ

2

=

. 1-2 cos2 θ
2

2

∴ 以椭圆中心为极点的极坐标方程为 ρ

= 2 2 . 1- cos θ
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2

迁移与应用 4 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化: (1)x2+(y-2)2=4; (2)x+y=0; (3)ρ=9(sin θ+cos θ); (4)ρ=4.

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解:(1)∵ x2+(y-2)2=4,∴ x2+y2=4y, 代入 x=ρcos θ,y=ρsin θ 得 ρ2-4ρsin θ=0, 即 ρ=4sin θ. (2)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 x+y=0,得 ρcos θ+ρsin θ=0,∴ ρ(cos θ+sin θ)=0, ∴ tan θ=-1,∴ θ= 4 (ρ≥0)和 θ= 4 (ρ≥0).
3π 7π 3π 7π

综上所述,直线 x+y=0 的极坐标方程为 θ= 4 (ρ≥0)和 θ= 4 (ρ≥0)
3π θ= 4 (ρ∈R)或 7π θ= 4 (ρ∈R).
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(3)∵ ρ=9(sin θ+cos θ), ∴ ρ2=9ρ(sin θ+cos θ), ∴ x2+y2=9x+9y, 即
9 2 - 2

+

9 2 - 2

= 2.

81

(4)∵ ρ=4,∴ ρ2=42, ∴ x2+y2=16.

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(1)化曲线的极坐标方程为直角坐标方程时,要注意两种方程的 等价性. (2)当极坐标方程中含有 sin θ,cos θ 时,将方程两边同乘以 ρ,凑成 含有 ρsin θ,ρcos θ 的项,然后再代入互化公式便可化为直角坐标方程, 此法是常用方法. (3)化直角坐标方程为极坐标方程时,要注意确定极角的范围.

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当堂检测
1.如图,极坐标方程 ρ=asin θ(a>0)所表示的曲线的图形是( ).

答案:C
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解析:如果没有记住它的图形,不妨化为直角坐标方程.ρ=asin θ, ρ =ρasin θ,x +y =ay,x + 为半径的圆.
2 2 2 2

2 - 2

=

2 ,图形显然是以 4

0, 2 为圆心、2





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2.(2013 高考天津卷,理 11)已知圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ,圆心为 C,点 P 的极坐标为 4, 3 ,则|CP|=
π

.

答案:2 3 解析:由圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ,得圆心 C 的直角坐标为(2,0),点 P 的直角坐标为(2,2 3),所以|CP|=2 3.

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3.写出圆心在点 P(ρ0,θ0),半径为 r 的圆的极坐标方程. 解:如图,设 M(ρ,θ)为圆上任意一点,在△OMP 中,由余弦定理得 |PM|2=|OM|2+|OP|2-2|OM||OP|cos∠MOP,

2 ∴ r2=ρ2+0 -2ρρ0cos(θ-θ0).

这就是所求的圆的极坐标方程.
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4.求过点 A(2,0),并且垂直于极轴的直线的方程. 解:如图,设 M(ρ,θ)为直线上除 A(2,0)外的任意一点,连接 OM,则有 △AOM 为直角三角形,并且∠AOM=θ,|OA|=2,|OM|=ρ,

∴ |OM|cos θ=|OA|,即 ρcos θ=2, 显然当 ρ=2,θ=0 时,也满足方程 ρcos θ=2, ∴ 所求直线的极坐标方程为 ρcos θ=2.

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5.把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化. (1)x2+y2-2x=0; (2)xy=1; (3)2x2-3y2=4; (4)ρcos - 6 =1; (5)ρ=cos θ-2sin θ; (6)ρ2=cos2θ.
π

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解:(1)∵ x2+y2-2x=0, ∴ ρ2-2ρcos θ=0.∴ ρ=2cos θ. (2)∵ xy=1,∴ ρcos θρsin θ=1,ρ2sin θcos θ=1,
2 sin2 2 2 即 =1,则 ρ = . 2 sin2

(3)∵ 2x2-3y2=4, ∴ 2(ρcos θ)2-3(ρsin θ)2=4. ∴ 2ρ2cos2θ-3ρ2sin2θ=4,2ρ2-5ρ2sin2θ=4, 则 ρ2=
4 . 2-5sin2 θ

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(4)∵ ρcos

π 6

=1,

π ∴ ρcos θcos6+ρsin

π θsin6=1.

∴2 x+2y=1.

3

1

∴ 3x+y=2.

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(5)∵ ρ=cos θ-2sin θ, ∴ ρ2=ρcos θ-2ρsin θ. ∴ x2+y2=x-2y,即 x2+y2-x+2y=0. (6)∵ ρ2=cos2θ, ∴ ρ4=ρ2cos2θ=(ρcos θ)2. ∴ (x2+y2)2=x2, 即 x2+y2=x 或 x2+y2=-x.

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