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2.3.1 直线与平面垂直的判定 (用)


驶向胜利的彼 岸。同学们, 加油!!

生活中的线面垂直现象

旗杆与它 的影子

思考
(1)一条直线l与平面α内一条直线垂直可以判断 直线l与平面α垂直吗? l α
a

(2)一条直线l与平面α内无数条直线垂直呢?

线面垂直的定义:


P
如果直线l与平面?内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线l与平面? 互相垂直,记作l ? ? 直线l叫做平面?的垂线,平面?叫做直线l的垂面.
直线与平面垂直时, 它们唯一的公共点P叫做垂足

直线和平面垂直的画法

l

P

α

注:画直线与水平平面垂直时,要把直线画 成和表 示平面的平行四边形横边垂直。

怎样判断线面垂直呢?

问题
1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线,能 否判断这条直线和这个平面垂直?

2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线,能 否判断这条直线和这个平面垂直?
3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线, 能否判断这条直线和这个平面垂直?

AA1 A1

实验:如下图,请同学们准备一块三角形的纸片。 AD作为BC边上的高时,AD α,这 时AD BC,即AD BD,AD CD,BD∩CD=D. A
结论:AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩CD=D, A1 有AD⊥α.
B B1 B1 D1DD1 A C 1D C

A

过 ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的 C 纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触)。 C1 B1 D (1)折痕AD与桌面垂直吗? 1 D B (2)如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面α垂直?

B 思考:是否把平面中的直线一一找出,才能 B C D 证明直线与平面垂直?

α

C
C1

探究:
A

A

B

D

C

?

B C

D

结论:当且仅当折痕AD是BC边上的高时,AD所在直 线与桌面所在平面α垂直

直线与平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直。

表示为: ?α ,b ?α ,a∩b=O,l⊥a, l⊥b a
l⊥α

例2 如图,已知a∥b,a⊥α , 求证b⊥α .
证明:在平面内作两条 分析:能否在平面α 相交直线m,n. 内找出两条相交直线, a 因为直线a⊥α ,根 使得b与它们垂直? 据直线与平面垂直的 定义知 α a⊥m,a⊥n. 又因为 b∥a, 所以 b⊥m,b⊥n. 又 m ?α , n ?α , m, n是两条相交直线, 所以 b⊥α
b n m

例二.
如图,直四棱柱 A’B’C’D’- ABCD(侧棱与底面垂直 的棱柱称为直棱柱)中,底面四边 形ABCD满足什么

条件时, A’C⊥B’D’?
B'

A'

D'

C' A D B C

结论: 当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时, A’C⊥B’D’

直线和平面所成角的定义
? 读课本P66直线和平面所成角的定义是什么?

范围是什么? 例题见学案例2,例3

拓展引申
1、如图,已知OA、OB、OC两两垂直 (1)求证:OA⊥平面OBC (2)求证:OA⊥BC
证明:(1)∵OA、OB、OC两两垂直 分析:(1)要证OA⊥平面OBC, ∴OA⊥OB,OA⊥OC, 必须在平面OBC中找出两条 又∵OB∩OC=O 与OA垂直的相交直线。因 ∴OA⊥平面OBC 为OA、OB、OC两两垂直 B OA⊥OB、OA⊥OC. OA⊥OC,且OB∩OC=O. (2)∵ OA⊥平面OBC BC ? 平面OBC (2)OA⊥平面OBC,OA ∴ OA⊥BC 垂直平面内任意一条直线.
A

O C

2、如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC, 求证VB⊥AC.
证明:取AC的中点D,连结DV、DB 分析:(1)要证线线垂直,首先证线面垂直 ∵VA=VC,AB=BC (2)AC⊥VB所在的面,应该 ∴△VAC与△BAC都是等腰三角形 是哪一个面? ∴AC⊥DV AC⊥DB A 给出VA=VC,AB=BC可 ∵DV∩DB=O 以知道△VAC与△BAC都是 ∴AC⊥平面VDB 等腰三角形 ∴AC⊥VB V

C D

B

3 一旗杆高8m,在它的顶点处系两条长10m的绳子, 拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与 旗杆脚不在同一直线上)。如果这两点与旗杆脚距 6m,那么旗杆就与地面垂直。为什么?
分析: 解:如图,旗杆PO=8m,两绳长PA=PB=10m,OA=OB=6m (1)两点与旗杆脚确定的平面就是地面。 因为A,O,B三点不共线, 所以A,O,B三点确定平面α(即地面所在面) (2)能否在平面上找出两条相交直线,使得旗杆与它们垂直

又因为PO2+OA2=PA2,PO2+OB2=PB2, 所以OP⊥OA ,OP⊥OB. 又因为OA∩OB=O, 所以OP⊥α . A 因此,旗杆OP与地面垂直.

P O B

小结:

一、我们这节课学到了些什么?
线面垂直的定义和判断

二、知道了什么呢?
1若一条直线垂直这个平面内的两条 相交直线,则它垂直这个平面。若一 条直线垂直于一个平面,则它垂直于 这 个平面内的任意直线。

2、要证线面垂直的判定(根据定理:一条 直线与一个平面内的两条相交直线直,则 该直线与此平面垂直。) 3要证线线垂直(可先证一条直线与另一条 直线所在的面垂直,再得到线线垂直。)

作业: P79 A10

B组 2题

例三.如图,四面体P-ABC中 PA ? 平面ABC BC ? AC

P

F
E

(1)问此图中有多少个直角三角形? C (2)过A作AE ? PC于E, 过A作AF ? PB于F,连接EF

A

B

问此图形中有多少直角三角形?


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