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(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第二章 第四节 指数与指数函数 理(全国通用)


第四节

指数与指数函数

A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题 1.(2015·山东青岛模拟)已知函数 f(x)=e
|ln x|

,则函数 y=f(x+1)的大致图象为(

)

解析 f(x)=e

|ln x|

x(x≥1), ? ? |ln x| =?1 而函数 y=f(x+1)的图象有函数 f(x)=e 向左平 (0<x<1), ? x ?

移了一个单位,故选 D. 答案 D 2 -1 2 2.(2015·辽宁沈阳模拟)已知函数 f(x)= x ,则不等式 f(x-2)+f(x -4)<0 的解集为 2 +1 ( ) B.(-6,1)
x x

A.(-1,6)

C.(-2,3)

D.(-3,2)

2 -1 2 解析 因为函数 f(x)= x 为奇函数且增函数,所以不等式 f(x-2)+f(x -4)<0 可化 2 +1 为 f(x -4)<f(2-x),所以 x -4<2-x,则-3<x<2,故选 D. 答案 D 3.(2014·山东东营调研试题)若偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x∈[0,1]时,
2 2

x ?1? f(x)=x,则关于 x 的方程 f(x)=? ? 在 x∈[0,4]上解的个数是( 10

? ?

)

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 由 f(x-1)=f(x+1)可知 T=2.∵x∈[0,1]时,f(x)=x,又∵f(x)是偶函数,

x ?1? ∴可得图象如图所示,∴f(x)=? ? 在 x∈[0,4]上解的个数是 4 个,故选 D. ?10?

答案 D 4.(2014·烟台高三质检)三个数 6 ,0.7 ,log0.76 的大小顺序是( A.0.7 <log0.76<6
0.7 6 0.7 0.7 6

)

B.0.7 <6 <log0.76 D.log0.76<0.7 <6
6 6 6 0.7

6

0.7

C.log0.76<6 <0.7
0.7

6

解析 6 >1,0<0.7 <1,log0.76<0,所以 log0.76<0.7 <6 ,故选 D. 答案 D 二、填空题 5.(2013·山东临沂模拟)若函数 f(x)=a -x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的 取值范围是________. 解析 令 a -x-a=0 即 a =x+a,若 0<a<1,显然 y=a 与 y=x+a 的图象只有一个公 共点;若 a>1,y=a 与 y=x+a 的图象如图所示.
x x x x x

0.7

答案 (1,+∞) 三、解答题 e a 6.(2014·济宁模拟)设 f(x)= + -x是定义在 R 上的函数. a e (1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,求 a 的值. 解 (1)假设 f(x)是奇函数,由于定义域为 R,
x
-x -x

a? e a ?e ∴f(-x)=-f(x),即 + x=-? + -x?, a e ?a e ?

? 1? x -x 整理得?a+ ?(e +e )=0, ?
a?
1 2 即 a+ =0,即 a +1=0,显然无解.

a

∴f(x)不可能是奇函数. (2)因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),
x -x e a e a ? 1? x -x 即 + x= + -x,整理得?a- ?(e -e )=0, a e a e ? a?

1 又∵对任意 x∈R 都成立,∴有 a- =0,得 a=±1.

a

一年创新演练 7.设集合 A=错误!,B={(x,y)|y=3 },则 A∩B 的子集的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4
x

)

解析 集合 A 中的元素是焦点在 y 轴上的椭圆上的所有点,集合 B 中的元素是指数函数 y =3 图象上的所有点,作图可知 A∩B 中有两个元素,∴A∩B 的子集的个数是 2 =4,故 选 D. 答案 D B 组 专项提升测试 三年模拟精选 一、选择题 8.(2015·广东汕头模拟)若函数 y=a +b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象 限,则一定有( A.0<a<1 且 b>0 C.0<a<1 且 b<0 解析 ) B.a>1 且 b>0 D.a>1 且 b<0
x x
2

当 0<a<1 时,不论上下怎样平移,图象必过第二象限;当 a>1
x

时,不论上下怎样平移,图象必过第一象限.∵y=a +b-1 的图象经过 第二、三、四象限,∴只可能 0<a<1. 如图所示,这个图可理解为将 y=a (0<a<1)的图象向下平移大于 1 个单 位长度.
? ?b-1<0, ∴? 解得 b<0.可知 0<a<1 且 b<0. ?|b-1|>1, ?
x

答案 C 9.(2015·浙江湖州模拟)已知函数 f(x)=m·9 -3 ,若存在非零实数 x0,使得 f(-x0)=
x x

f(x0)成立,则实数 m 的取值范围是(

)

1 A.m≥ 2 C.0<m<2 解析 由题意得到 f(-x)=f(x), ∴m·9 -3 =m·9 -3 ,
-x -x

1 B.0<m< 2 D.m≥2

x

x

3 1 1 1 整理得到:m= x 2 = < ,又 m>0,所以实数 m 的取值范围是 0<m< ,故选 B. (3 ) +1 x 1 2 2 3+ x 3 答案 B
?x (x<0), ? 10.(2015·烟台模拟)函数 y=? x 的图象大致是( ? ?2 -1 (x≥0)
2

x

)

解析 当 x<0 时,函数的图象是抛物线,当 x≥0 时,只需把 y=2 的图象在 y 轴右侧部 分向下平移 1 个单位即可,故大致图象为 B. 答案 B 2 1 11.(2013·成都模拟)设函数 f(x)= x- ,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 y= 1+2 2 [f(x)]的值域是( A.{0,1}
x x

x

) B.{0,-1} C.{-1,1} D.{1,1}

解析

f(x)=

1+2 -1 1 1 1 ? 1 1? x x - = - x.∵1+2 >1,∴f(x)的值域是?- , ? .∴y=[f(x)] 1+2 2 2 1+2 ? 2 2?

的值域是{0,-1}. 答案 B 二、填空题 12.(2013·东北八校二模)已知函数 f(x)=2 ,等差数列{an}的公差为 2.若 f(a2+a4+a6+
x

a8+a10)=4,
则 log2[f(a1)·f(a2)f(a3)…f(a10)]=________. 解析 ∵f(a2+a4+a6+a8+a10)=4, ∴2
a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10

? 25a2 =4,解得 a6= ,

2 5

58 -6 ∴an=2n- .∴f(a1)·f(a2)…f(a10)=2 , 5

∴log2[f(a1)·f(a2)…f(a10)]=log22 =-6. 答案 -6 三、解答题

-6

?1? 13.(2014·大庆模拟)已知函数 f(x)=? ? ?3?
(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值.

ax2-4x+3
.

?1? 解 (1)当 a=-1 时,f(x)=? ? ?3?
2 2

-x -4x+3 ,

2

令 t=-x -4x+3=-(x+2) +7,

t ?1? 由于 t 在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而 y=? ? 在 R 上单调递 ?3?
减,所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数 f(x)的单 调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).

h(x) ?1? 2 (2)令 h(x)=ax -4x+3,则 f(x)=? ? .由于 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小 ?3? a>0, ? ? 值-1,因此必有? 4 解得 a=1,即当 f(x)有最大值 3 时,a 的 - +3=-1, ? ? a
值等于 1. 一年创新演练 14.已知函数 f(x)=|2 -1|,a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是 ________. ①a<0,b<0,c<0;②a<0,b≥0,c>0;③2 <2 ;④2 +2 <2. 解析 作出函数 f(x)=|2 -1|的图象如图中实线所示.又 a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b), 结合图象知 f(a)<1,a<0,c>0,∴①不成立;b 的符号不确定,② 不一定成立;又 0<2 <1,∴ f(a)=|2 -1|=1- 2 ,∴ f(c)<1,∴ 0<c<1,∴1<2 <2 ,f(c) =|2 - 1| =2 -1 ,又 f(a)>f(c),即 1- 2 >2 -1,∴2 +2 <2,④成立.由图象知|a|>|c|,③不成立. 答案 ④
a c a c c c c a a a x
-a

x

c

a

c


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