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辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学必修一课件 3.1.2指数函数


指数函数(一)
一、观察事例—细胞的分裂过程
第一次 第二次 第三次 第x 次 细胞个数 2

. . . ...

4 8
2x

细胞个数 y 与分裂次数 x的函数关系式是:

y?2

x

二某种放射性物质不断变化为其他

物质,每经过一 年剩余的这种物质是原来的84%.画出这种物质的剩留 量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩 留量是原来的一半(结果保留一个有效数字)。 解:设这种物质最初的质量是1,经过 x年,剩留量是 y .
1 经过1年,剩余量 y ? 1? 84% ? 0.84 ;

经过2年,剩余量 y ? 0.84? 0.84 ? 0.84 ;
2

…………

一般地,经过 x 年,剩留量 y ? 0.84x.

指数函数(一)
一.指数函数的定义:

) 一般地,函数 y ? a(a ? 0, 且a ? 1 叫做指数函 数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R .
x

例1.指出下列函数哪些是指数函数:
(1) y ? 4 x ;     ( 2) y ? x 4 ;    (3) y ? ?4 x ; ( 4) y ? ( ?4) x ;    (5) y ? ? x ;    (6) y ? 4 x 2 ; 1 (7) y ? x ;    (8) y ? ( 2a ? 1) ( a ? , 且a ? 1). 2
x x

分析:根据指数函数的定义进行判断.
解:(1)、(5)、(8) 为指数函数

注意:准确理解指数函数的定义是解好本 题的关键.

x 二.指数函数 y ? a( 的图象和性质 a ? 0, a ? 1 )

1画出y=2x,
1 x y? ( ) 2
y? ( 1 x ) 10

y=(

1 2

)x,y=10x,y=(
y

1 10 )x的图象

y

y ? 10x

y ? 2x

1 o x o

1 x

0<a<1

a>1

2.函数

的图象和性质 y ? a(a ? 0, 且a ? 1)
x

a ?1
y

0 ? a ?1
y
(0,1)

图 象

(0,1)

性 质

(1)定义域 R,值域 (0, ? ?) (2)图象都过 (0,1)
(3)当x>0时,y>1,

o

x

o

x

(3)当x ? 0时,0 ? y ? 1, x ? 0时, y ? 1

x<0时, 0<y<1

(4)在(??,??)上是增函数 (4)在(??,??)上是减函数

1 x y? ( ) 10

y ? 10x

1 x y? ( ) 2

y ? 2x

o

例2.比较下列各题中两个值的大小:

?1?.1.7

2.5

,1.7 ;
?0.2

3

?2?.0.8

?0.1

,0.8 ;

?3?.1.7

0.3

,0.9 .

3.1

解:(1)?1.7 ? 1,

?函数y ? 1.7 在R上是增函数 . ? 2 .5 ? 3
x

?1.7 < ,1.7 ;
2.5 3
?

(2) ? 0 ? 0.8 ? 1,

?指数函数y ? 0.8 在R上是减函数 . ? ?0.1 ? ?0.2
x

?0.8

?0.1

? 0.8

?0.2

(3)由指数函数的性质知 0.3 0 1.7 ? 1.7 ? 1 3.1 0 0.9 ? 0.9 ? 1 0.3 3.1 即 1.7 ? 1,0.9 ? 1,

?1.7 ? 0.9 .
0.3 3.1

由于1.7 与 0.93.1不能直接看成某一个指 数函数的两个值,因此本题在这两个数值间 找到数值1,使这两个数值分别与数值1进行 3.1 0.3 比较,进而比较出1.7 与 0.9 大小.

0.3

例3.如图是指数函数 1 y ? a x , 2 y ? b x , 3 y ? c x , 4 y ? d x 的图象,则 a, b, c, d 与的大 小关系是( B ). 3 1 4 2

A.a ? b ? 1 ? c ? d B.b ? a ? 1 ? d ? c C.1 ? a ? b ? c ? d D.a ? b ? 1 ? d ? c

o

分析:对于3个以上的数的大小比较,一般是先对 其进行分类,根据问题实际常常分成三类:一类是负 数,一类是大于零且小于1的数,一类是大于1的数.再 对这三类数分别进行比较.
解:先将这4个数分成三类:
? 2? 1 1 1 2 ? 3 ? ? 4 ?3 2 3 ?4? 3 3 23, 且 (2)大于1的数: ? ? , ? 2 ? 2 , ? ? 1 ? 3 ? ? 3 ?2 ? 3 ?
3

4? ? 练习:将 ? ? ,2 ?3?

1 3

2 3

? 2? ,?? ? ? 3?

3

?3? 用 连接起来 , ? ? “?” ?4?

1 2

(1)负数: ? ? ?

(3)大于零小于1的数: ? ?
?4?
3 1 2

? 2? ?3? ?4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3. ? 3? ?4? ?3?

1 3

2





1.掌握指数函数的概念

2.熟练掌握指数函数的图象与性质要分

a>1与0<a<1讨论

指数函数(二)
x y ? a ? (b ? 1)(a ? 0, 且a ? 1) 的图 若函数 象经过第一三四象限,则一定有( )

A.a ? 1, 且b ? 1 C.0 ? a ? 1, 且b ? 0

B.0 ? a ? 1, 且b ? 0 D.a ? 1, 且b ? 0

解:由题可知:
?a ? 1, ?a ? 1, ?a ? 1, ?? ?? ? ? f ?0? ? 0, ?b ? 1 ? a, ?b ? 0.

故选D.

练习2:求函数y ? a ?1(a ? 0且a ? 1)的定义域。
x

?? ?,0?
变式引申:函数y ? a x ? 1的定义域为?? ?, 0?,则 求a的取值范围。

(0,1)

练习3:求函数y ? 3

2 x ?1

? 1 ? ?? 2 ,?? ? ? ?
x ?1

1 ? 的定义域。 9

m ? 3 ?1 变式引申:若函数y ? 的定义域为R, x ?1 m ? 3 ?1 求实数m的取值范围。

?0,???

练习4:求下列函数的值域: (1) y ? 10
1 x ?x

; ;
x

1 (2) y ? ( ) 2
x

2x ?1 x ?1

(3) y ? 4 ? 6 ? 2 ? 10 .

?1,???

? 1? ?1 ? ? 0, ? ? ? ,1? ? 2? ?2 ?

? 10 ,???

1 1 ? ? ? ? 2 可设 y ? ? ? , u ? x ? 3x ? 2, 其中y ? ? ?是减函数, ?3? ?3? 2 ?u ? x ? 3x ? 2 的减区间就是原函数的增区间(即 减减?增).u ? x 2 ? 3x ? 2 的增区间就是原函数的 减区间(即减增? 减 ) u ?1? 2 u ? x ? 3x ? 2, y关于u递减,当 解:设 y ? ? ? , 3? ? 3? ? x ? ? ? ?, ? 时,u 为减函数,? 关于 为增函数 , 当 y x 2 ? ? ?3 ? x ? ? ,?? ? 时,u 为增函数,?y关于x 为减函数,
?2 ?

1? ? 例.求函数 y ? ? ? 的单调区间. ? 3? 分析:这是复合函数求单调区间的问题 u u

x 2 ?3 x ? 2

1 x 1 x ?1 练习5:讨论函数y ? ( ) ? ( ) ? 2的单调性。 4 2

?? ?,0?上单调递增; ?0, ? ??上单调递减。
a x ?1 练习6:讨论函数y ? x (a ? 0且a ? 1)的单调性。 a ?1

a ? 1时f ( x)在R上递增; 0 ? a ? 1时f ( x)在R上递减。

三.函数图象的平行移动
指出下列函数的图象与指数函数 y ? 2 x 的图象的 关系,并画出示意图:

y

( 1 ) . y ? 2 x ?1 ; ( 2). y ? 2
x?2

y ? 2x

.

(3) .y ? 2? x ; ( 4). y ? 2
? x ?1

.

o

x

(5) .y ? 2 ; (6).y ? 2
x ?1

x

.

某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个…… 一个这样的细胞分裂x次后,写出细胞个数y与x的函数 式:

……
细胞个数 y 与分裂次数 x的函数关系式是

y?2

x

根据这个函数关系可以列表如下: x 0 1 2 3 4 5 6

y

1
y
1 0.5

0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35

y ? 0.84x

o x 4 从图上看出 y ? 0.5 只需 x ? 4. 答:约经过四年,剩留量是原来的一半.


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