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1.3.1二项式定理1


计数原理
§1.3.1 二项式定理

写出二项式(a+b)2、 (a+b)3展开式
(a+b)2 = (a+b)(a+b)=a· b+b· +b· = a2+2ab+b2 a+a· a b (a+b)3= (a+b)(a+b)(a+b) =a· a+a· b+a· a+b· a+a· b+b· b +b· a +b· b a· a· b· a· b· a· b· b·

= a3 + 3a2b+3ab2 + b3
你还能写出(a+b)4 的展开式吗?

(a+b)2= (a+b) (a+b) =a· b+b· +b· = a2+2ab+b2 a+a· a b 展开后其项的形式为:a2,ab ,b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b 每个都不取b的情况有1种,即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种,则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种,则b2前的系数为C22 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20 a2 + C21 ab+ C22 b2

(a+b)3= (a+b) (a+b) (a+b) =a3 + 3a2b+3ab2 + b3
(1)3个括号中全都不取b得: C30 a3
(2)2个括号中有1个取b,剩下的2个取a得:C32a2C11b (3)3个括号中有2个取b,剩下的1个取a得:C31aC22b2 (4)3个括号中全都取b得:C33b3 同理:(1) 不取b得: C30 a3 (2)取1个b得: C31 a2b (3)取2个b得: C32ab2 (4)取3个b得: C33b3 (a+b)3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3

(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=?
每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种,则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种,则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种,则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种,则b4前的系数为C44 则 (a+b)4 = C40 a4 +C41 a3b +C42 a2b2 +C43 ab3 +C44 b4

(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3 (a+b)4 = C40 a4 +C41 a3b +C42 a2b2 +C43 ab3 +C44 b4 猜想(a+b)n 的展开式 (a+b)n =
Cn0 an +Cn1 an-1b +Cn2 an-2b2 +‥· Cnk an-kbk + ‥· nnbn + +C
(n∈N*)

(a+b)n = Cn0 an +Cn1 an-1b +Cn2 an-2b2 +‥· + Cnk an-kbk + ‥· nnbn (n∈N*) +C 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnk an-kbk :二项展开式的通项,记作Tk+1 Tk+1 =Cnk an-kbk
(k∈{0,1,2, ‥· n})

Cnk: 二项式系数

(k∈{0,1,2, ‥· n})

(a+b)n = Cn0 an +Cn1 an-1b +Cn2 an-2b2 +‥· + Cnk an-kbk + ‥· nnbn (n∈N*) +C 二项展开式的特点: (1)共有n+1项 (2)各项的次数都等于二项式的次数n (3)字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0增加到n (4)二项式系数为Cn0,Cn1,Cn2 ,… Cnk , … , Cnn是一组与二项式次数n有关的组合数, 与a,b无关

(a+b)n = Cn0 an +Cn1 an-1b +Cn2 an-2b2 +‥· + Cnk an-kbk + ‥· nnbn (n∈N*) +C
若令a=1,b=x,则得到: (1+x)n =1+ Cn1x+ Cn2x2+ … +Cnkxk +…+ Cnnxn 若令a=1,b= -x,则展开式又如何? (1-x)n =1-Cn1x+ Cn2x2+ … +(-1)kCnkxk +…+(-1)n Cnnxn

1 6 ) 的展开式 例1 :求(2 x ? x

例2:(1)求(1+2x)5的展开式的第4项的系数
1 9 (2)求( x ? ) 的展开式中x3的系数 x

练习:完成书上P31课后练习

练习:1.(1)写出(1+2x)5的展开式 (2)求(1+2x)5的展开式中的第4项

(3)写出(2x+1)5的展开式中的第4项
(4)写出(1+2x)5的展开式中的第4项的二项式 系数,以及第4项的系数 1 )5的展开式中的x3项 2 :(1)写出(x+ x (2)求( 1 -2x)6 的常数项 x

复习回顾
二项式定理及展开式:
0 1 2 n r n +b)= Cn an +Cnan?1b1 + Cn an?2b2 +L+Cn an?rbr +L+Cn bn (a





Tr +1 = C a
r n
r n

n?r

b

r

二项式系数

C(r = 0,2L n) 1,
……

C , C , C , …… C nr ,

0 n

1 n

2 n

C C ,C , ,

n?2 n

n ?1 n

n n

(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4
(a+b)5 (a+b)6

C
C

0 1

C
C

1 1

1
C
2 2

1 2 1 3 6 4 1 1

0 2

1 2

1 1 1 4 3

0 1 2 3 C3 C 3 C3 C3

1 2 3 4 C0 C4 C4 C4 C4 4
0 1 2 3 4 5 C5 C 5 C5 C5 C5 C5 0 2 3 4 5 6 1 C6 C 6 C6 C6 C6 C 6 C6 1

1

5

10 10

5
6

1
1

6 15 20 15

二项式系数表

《 杨辉 三角 详 解 九 杨 章 算 辉 法 》 记 载 的 表 以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的 《详解九章算法》一书里就已经出现了,这个表称为杨辉三角, 杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪 (约公元11世纪)已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于 11世纪。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右,由此可见我 国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

问题:从图中你能得出哪些性质?会证明这些性质吗?
1 1 2 1 1

1
1 1 1 5 4

3
6

3
4

1
1 5 6 1 1

10 10

6 15 20 15

a).表中每行两端都是1。 b).除1外的每一个数都等
于它肩上两个数的和。
1 1 1 1 4 4 3 6 6 10 10 10 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1

例如:2+1=3

4+6=10 C C
0 1 1 1
2 0 因为:C 2 C22=C 2 = C2 + C 1 C3

3 2 1 2 0 1 2 3 +C = 5 = CC4C 3 4C 3CC 3 10 3
C C c c + c =C
r11 4 n
2r 4n

1

2

2

1 1 6

5

5
6

1
C

15

20 15

1

0 4

r 3 n+ 4 1

4 C4

当n不大时,可用该表来求二项式系数。

0 1 2 3 4 5 C5 C 5 C5 C5 C5 C5

0 2 3 4 5 6 1 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6

C =C
m n

n? m n

c).与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行——— 第2行—— 第3行—0 1 C1 C1
0 1 2 C2 C2 C2

1

1 2

对称
1 1 1 1 1 4 3 6 3

1
1 4 1 1 1

0 1 2 3 C3 C3 C3 C3
3 0 1 2 4 C4 C 4 C4 C4 C4

第4行—
第5行-第6行-

0 1 2 3 4 5 C5 C5 C5 C5 C5 C5 0 2 3 4 5 6 1 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6

5 10 10 5 6 15 20 15 6

(a+b)1 (a+b)2

C
0 2

0 1

C
1 2

1 1

1 1
2 2

C C C
C C
0 3 1 3

1
3 3

2

1

(a+b)3
(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 (a+b)n

C

2 3

C

1
1 1 4

3 3
6 4

1
1 1 1

C 0 C1 C 2 C 3 C 4 4 4 4 4 4
4 2 C 0 C1 C 5 C 3 C 5 C 5 5 5 5 5 2 4 C 0 C1 C 6 C 3 C 6 C 5 C 6 1 6 6 6 6 6 n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cn

5 10 10 5

6 15 20 15 6

d).当n为偶数如2、4、6时,中间一项最大
当n为奇数如1、3、5时,中间两项最大

函数角度: 可以看成以r为自变量的函数f(r),其定义 r C n {0,1,·,n}。 域是 · ·

①当n=6时,二项式系数 C

r (0≤r≤6)用图象表示: 6

f(r)

20
14

7 个
孤 立 的 点
r

6

O

3

6

f(r) f(r)
20 35 30

n为奇数; 如n=7

15

20

10
6 1 O O
n 2

n

3 n4
2

7

r

n

n为偶数; 如n=6

①关于r=n/2对称

②r=3和r=4时取得最大值

n是偶数时,中间的一项 C n 取得最大值 ;

n 2

1
1 1 3 2

1
1 3 1

当n是奇数时,中间的两项 Cn + 和 C n21 相等,且同时取得最大 1 4 6 4 1 n 值。 1 5 10 10 5 1
1

n?1 2

6 15 20 15

6

1

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

和为

2 4 8 16

1 5 10 10 5 1 32 1 6 15 20 15 6 1 64 1 …… 猜想 : Cn0 + Cn + Cn2 ....... + Cnn = 2n

求证 : C + C + C ....... + C = 2
0 n 1 n 2 n n n

n

证明:

(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ Cnran-rbr+ …+Cnnbn
令a=1,b=1得
0 n 1 n 2 n n n

…+

赋值法
n

所以C + C + C ....... + C = 2
e). 二项展开式的二项式系数的和等于2n

即C + C + C + ? + C = 2
0 n 1 n 2 n n n

n

变式:证明:在(a+b)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和. 即证:

C + C + ? ? ? = C + C + ? ? ? =2n-1

0 n

2 n

1 n

3 n

练习:

1、在(a+b)6展开式中,与倒数第三项二 项式系数相等是( ) B
A 第2项 B 第3项 C 第4项 D 第5项

2、若(a+b)n的展开式中,第三项的二项式 系数与 第五项的二项式系数相等, 6 则n=__________

3、在(a+b)10展开式中,二项式系数最大的 项是( ). A A C 第6项 第6项和第7项 B D 第7项 第5项和第7项

8 4、(1-x2)9展开式中系数最大的项是 T5=126x ,

T6= -126x10 系数最小的项是
数最大的项是
1 n



二项式系

126x8
2 n

-126x10 .
n n

5、C + C ....... + C = 2n ? 1


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