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LDC数学教育2016年浙江(理)(含答案)


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2016 年高考浙江卷数学(理)试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知集合 P ? x ? R 1 ? x ? 3 , Q ? x ? R x ? 4 , 则 P ? (?RQ) ?
2

?

?

?

?

A.[2,3]

B.( -2,3 ]

C.[1,2)

D. (??, ?2] ? [1, ??)

2. 已知互相垂直的平面 ?,? 交于直线 l.若直线 m,n 满足 m∥? , n⊥?,则 A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 3. 在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影.由区域

?x ? 2 ? 0 ? 中的点在直线 x+y ? 2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则│AB│= ?x ? y ? 0 ?x ? 3y ? 4 ? 0 ?
A.2 2 B.4 C.3 2 D. 6

4. 命题“ ?x ? R,?n ? N* ,使得 n ? x 2 ”的定义形式是 A. ?x ? R,?n ? N* ,使得 n ? x 2 B. ?x ? R,?n ? N* ,使得 n ? x 2

C. ?x ? R,?n ? N* ,使得 n ? x 2 D. ?x ? R,?n ? N* ,使得 n ? x 2 5. 设函数 f ( x) ? sin x ? b sin x ? c ,则 f ( x ) 的最小正周期
2

A.与 b 有关,且与 c 有关 B.与 b 有关,但与 c 无关 C.与 b 无关,且与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关 6. 如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且 An An?1 ? An?1 An?2 , An ? An?2 , n ? N ,
*

Bn Bn?1 ? Bn?1Bn?2 , Bn ? Bn?2 , n ? N*
( P ? Q表示点P与Q不重合 ). 若 dn ? An Bn ,Sn为△An Bn Bn?1的面积,则



A. {Sn } 是等差数列 C. {dn } 是等差数列 7. 已知椭圆 C1:

2 B. {Sn } 是等差数列 2 D. {dn } 是等差数列

x2 2 x2 2 + y =1( m >1) 与双曲线 C : –y =1(n>0)的焦点重合,e1,e2 分别为 C1,C2 的离心率, 2 m2 n2

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则 A.m>n 且 e1e2>1 B.m>n 且 e1e2<1 C.m<n 且 e1e2>1 8. 已知实数 a,b,c A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则 a2+b2+c2<100 B.若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1,则 a2+b2+c2<100 C.若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1,则 a2+b2+c2<100 D.若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1,则 a2+b2+c2<100

D.m<n 且 e1e2<1

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.
9. 若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是_______. 10. 已知 2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则 A=______,b=________. 2 11. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是 cm ,体积是

cm .

3

12. 已知 a>b>1.若 logab+logba=

5 ,ab=ba,则 a= 2

,b=

.

13.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则 a1= ,S5= . 14. 如图,在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上 的点 D,满足 PD=DA,PB=BA,则四面体 PBCD 的体积的最大值是 . 15. 已知向量 a、b, |a| =1,|b| =2,若对任意单位向量 e,均有 |a· e|+|b· e| b 的最大值是 ? 6 ,则 a· .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b+c=2a cos B. (I)证明:A=2B;

a2 (II)若△ABC 的面积 S = ,求角 A 的大小. 4
17. (本题满分 15 分)如图,在三棱台 ABC ? DEF 中,平面 BCFE ? 平面

ABC , ?ACB=90? ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求证:EF⊥平面 ACFD; (II)求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值. 18. (本小题 15 分)已知 a ? 3 ,函数 F(x)=min{2|x?1|,x2?2ax+4a?2},
? p,p ? q, 其中 min{p,q}= ? ?q, p > q.

(I)求使得等式 F(x)=x2?2ax+4a?2 成立的 x 的取值范围; (II) (i)求 F(x)的最小值 m(a) ; (ii)求 F(x)在区间[0,6]上的最大值 M(a).

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19. (本题满分 15 分)如图,设椭圆

x2 ? y 2 ? 1 (a>1). 2 a

( I)求直线 y =kx+1 被椭圆截得的线段长(用 a 、 k 表示) ; ( II)若任意以点 A( 0,1 )为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点,求椭圆离心率的取值范 围.

20、 (本题满分 15 分)设数列错误!未找到引用源。满足 | an ? (Ⅰ)求证: | an |? 2n?1 (| a1 | ?2) (n ? N *)
n (Ⅱ)若 | an |? ( ) , n ? N * ,证明: | an |? 2 , n ? N * .

an ?1 |? 1 ,错误!未找到引用源。 2

3 2

浙江数学(理科)试题 参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 40 分. 1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,满分 16 分. 9.9 10. 2,1 11.72,32 12.4,2 13.1,121 14.
1 2

15.

1 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。 16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (I)由正弦定理得 sin ? ? sin C ? 2sin ? cos ? , 故 2sin ? cos ? ? sin ?? sin ? ?? ?? ? sin ?? sin ? cos ?? cos ? sin ? ,于是 sin ? ? sin ? ?? ?? . 又 ? ,?? ? 0, ? ? ,故 0 ????? ? ,所以 ? ? ? ? ? ? ? ?? 或 ? ? ? ? ? ,因此 ? ? ? (舍去)或 ? ? 2? , 所以, ? ? 2? . (II)由 S ?

a2 1 a2 1 得 ab sin C ? ,故有 sin ? sin C ? sin 2? ? sin ? cos ? , 2 4 2 4

因 sin ? ? 0 ,得 sin C ? cos ? .又 ? , C ? ? 0, ? ? ,所以 C ? 当C?? ?

?
2

? ? .当 ? ? C ?

?
2

时, ? ?

?
2



?
2

时, ? ?

?
4

.综上, ? ?

?
2

或? ?

?
4



17.本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满

第 4 页 共 4 页

分 15 分。 (I)延长 ?D ,?? ,CF 相交于一点 ? ,如图所示. 因为平面 ? CF? ? 平面 ?? C ,且 ?C ? ?C , 所以, ?C ? 平面 ? C ? ,因此, ?F ? ?C .又因为 ?F//?C , ?? ? ?F ? FC ? 1 , ? C ? 2 ,所以 ?? C? 为等边三角形,且 F 为 C ? 的中点,则 ?F ? C? .所以 ? F ? 平面 ?CFD .

?? 平面 ?QF , (II) 方法一: 过点 F 作 FQ ? ?? , 连结 ? Q . 因为 ? F ? 平面 ?C? , 所以 ? F ? ?? , 则?
所以 ?Q ? ?? .所以, ??QF 是二面角 ? ? ?D ? F 的平面角.在 Rt??C? 中, ?C ? 3 , C? ? 2 ,得

FQ ?

3 13 3 13 3 .在 Rt ?? ,?F ? 3 ,得 cos ?? .所以,二面角 ? ? ?D ? F 的 QF 中,FQ ? QF ? 13 13 4 3 .方法二:如图,延长 ?D , ?? , CF 相交于一点 ? ,则 ?? C? 为等边三角形. 4

平面角的余弦值为

取 ? C 的中点 ? ,则 ?? ? ?C ,又平面 ? CF? ? 平面 ?? C ,所以, ?? ? 平面 ?? C . 以点 ? 为原点,分别以射线 ?? , ?? 的方向为 x , z 的正方向, 建立空间直角坐标系 ?xyz .由题意得 ? ?1,0,0 ? , C ? ?1,0,0 ? , ? 0, 0, 3 ,

?

?

???? ??? ? ??? ? ?1 ? 1 3? 3? , 0, , F ? ? , 0, .因此, ?C ? ? 0,3,0? , ?? ? 1,3, 3 , ?? ? ? 2,3,0? . ? ? ?1, ?3,0? , ? ? ? ? ?2 ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?C ? m ? 0 设平面 ?C? 的法向量为 m ? ? x1 , y1 , z1 ? ,平面 ??? 的法向量为 n ? ? x2 , y2 , z2 ? .由 ? ???? ? ,得 ?? ? m ? 0 ? ? ??? ? ? ? ?? ? n ? 0 ? ? ? ? ? ?2 x2 ? 3 y2 ? 0 ?3 y1 ? 0 ,取 m ? 3, 0, ?1 ;由 ? ???? ? ,得 ? ,取 n ? 3, ?2, 3 . ? ? ? ? ? x2 ? 3 y2 ? 3z2 ? 0 ? x1 ? 3 y1 ? 3 z 1 ? 0 ? ?? ? n ? 0

?

?

?

?

?

?

? ? m?n 3 ? ? 3 于是, cos m, n ? ? ? ? .所以,二面角 ? ? ?D ? F 的平面角的余弦值为 . 4 m?n 4

18.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识。同时考查推理论证能力,分析

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问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 。 满 分

15

分 。( I ) 由 于 a ? 3 , 故 当 x ? 1 时 , , 当

?x ?x

2

? 2ax ? 4a ? 2 ? ? 2 x ? 1 ? x 2 ? 2 ? a ? 1?? 2 ? x ? ? 0 ?2 a ??4 x

x ?1





2

??2 a ?? ? 2 ? .所以,使得等式 x ?1 ? 2x2 ?? x4a2 ? a x 的取值 F? x? ? 2ax ? ? 2 成立的
2

范围为 ? 2, 2a? . (II) (i)设函数 f ? x ? ? 2 x ?1 , g ? x ? ? x ? 2ax ? 4a ? 2 ,则 所以, 由 F ? x ? 的定义知 m ? a ? ? min ? f ?1? , g ? a ?? , f ? x ?min ? f ?1? ? 0 ,g ? x ?min ? g ? a ? ? ?a2 ? 4a ? 2 , 即 m?a? ? ?

?0,3 ? a ? 2 ? 2 ?
2 ? ??a ? 4a ? 2, a ? 2 ? 2

. (ii) 当 0 ? x ? 2 时,F ? x ? ? f ? x ? ? max f ? 0? , f ? 2? ? 2 ? F ? 2? ,

?

?

当 2 ? x ? 6 时 , F? x? ? g ? ?x ? m a x ?g ? 2 ? ,g?

?

?

6 ?

2?, 3 a4 ? ? 8? ? m x. F 所2以, , F ?m a x ? ? a??

6

?34 ? 8a,3 ? a ? 4 . ? ?a? ? ? ?2, a ? 4
19.本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法 和综合解题能力。满分 15 分。

? y ? kx ? 1 ? 2 2 2 2 (I)设直线 y ? kx ? 1 被椭圆截得的线段为 ?? ,由 ? x 2 得 ?1 ? a k ? x ? 2a kx ? 0 ,故 x1 ? 0 , 2 ? 2 ? y ?1 ?a
x2 ? ?
2a 2 k 2a 2 k 2 .因此 (II)假设圆与椭圆的公共点有 4 个,由 ?? ? 1 ? k x ? x ? ? 1? k 2 . 1 2 2 2 2 2 1? a k 1? a k

对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ? ,Q , 满足 ?? ? ?Q . 记直线 ?? ,?Q 的斜率分别为 k1 ,

k2 , 且 k1 , k2 ? 0 , k1 ? k2 . 由 ( I ) 知 , ?? ?

2a 2 k1 1 ? k12 1 ? a 2 k12

, ?Q ?

2 2a 2 k 2 1 ? k 2 2 1 ? a 2 k2

,故

2 2a 2 k1 1 ? k 12 2a 2k 2 1 ? k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ,所以 ? k1 ? k2 ? ?1 ? k1 ? k2 ? a ? 2 ? a ? k1 k2 ? ? 0 .由于 k1 ? k2 , k1 , 2 2 2 2 ? ? 1 ? a k1 1 ? a k2

?1 ?? 1 ? k2 ? 0 得 1 ? k12 ? k22 ? a 2 ? 2 ? a 2 ? k12 k22 ? 0 ,因此, ? 2 ? 1?? 2 ? 1? ? 1 ? a2 a2 ? 2 , ? k1 ?? k2 ?

?

?

①,因为①式关

于 k1 , k 2 的方程有解的充要条件是 1 ? a

2

?a

2

? 2 ? ? 1 ,所以 a ? 2 .因此,任意以点 ? ? 0,1? 为圆心的圆与

椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1? a ? 2 ,由 e ?

c a2 ?1 ? 得,所求离心率的取值范围为 a a

0?e?

2 . 2

第 6 页 共 6 页

20.本题主要考查数列的递推关系与单调性、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力、分析问题和解 决问题的能力。满分 15 分。 (I)由 an ?

a a ?1 1 1 an?1 ? n ? n , n ? ?? ,所以 ? 1 得 an ? an ?1 ? 1 ,故 n n n ?1 2 2 2 2 2

a1 21

?

? a1 a2 ? ? a2 a3 ? ? an ?1 an ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? n ?1 ? n ? ? 1 ? 2 ? ??? ? n ?1 ? 1 ,因此 n 1 2 2 3 2 2 2 ? ?2 2 ? 2 ? 2 2 ?2 ?2 an

an ? 2 n ?1 ? a1 ? 2 ? . (II)任取 n ? ? ? ,由(I)知,对于任意 m ? n ,

an 2
n

?

?a a ?1 ?? n ? n n 2 2n?1 ?2 am
m

? ? an?1 an? 2 ? ? ? n?1 ? n?2 2 ? ?2

? ? am?1 am ? 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? m?1 ? m ? ? n ? n ?1 ? ??? ? m ?1 ? n ?1 , 2 2 2 ? 2 2 ? ?2

m m ? 1 am ? n ? 1 1 ?3? ? n ?3? 故 an ? ? n?1 ? m ? ? 2 ? ? n ?1 ? m ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2n .从而对于任意 m ? n ,均有 2 ?2? ? 2 ? ?4? ? ? ?2 ?2

?3? an ? 2 ? ? ? ? 2n . 由 m 的 任 意 性 得 an ? 2 . ① , 否 则 , 存 在 n0 ? ?? , 有 an0 ? 2 , 取 正 整 数 ?4?
m0 ? log 3
4

m

an0 ? 2 2
n0

且 m0 ? n0 ,则 2

m0

?3? ?? ? ?4?

m0

? 3? ? 2n0 ? ? ? ? 4?

log 3
4

an0 ? 2 2n0

? an0 ? 2 ,与①式矛盾.综上,对于任意

n ? ?? ,均有 an ? 2 .


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