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2007.3.19函数的极值与最值的习题课


函数的极值与最值的习题课

已知函数 y ? f ( x ) 在某个区间内可导, 函数在该区间 如果 f ?( x ) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x ) 在这个区间上单调递增; 如果 f ?( x ) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x ) 在这个区间上单调递减. 如果 f ?( x ) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x ) 在这个区间上是常数函数.

求可导函数 f ( x ) 在 ? a , b? 上的最值的方法步骤: ⑴求方程 f ?( x ) ? 0 ; ⑵ 比 较 f ?( x ) ? 0 的 根 的 函 数 值 与 端 点 处 的 函 数 值 f ( a ) 、 f ( b ) 大小 ,其中最大的一个是最大值,最小 的一个是最小值,得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值.
注:极值点不一定是最值点,最值点若在区间内部必是极 值点.

1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值,又 有极小值,则a的取值范围为 a ? 2或a ? ?1 .
2.(2006年天津卷)函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a , b ) 导函数 f ?( x )在 ( a , b ) 内的图像如图所示,则函数 f ( x ) y 在开区间 ( a , b ) 内有( A )个极小值点。 y ? f ?( x) (A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
b

a

O

x

基础练习: 1.函数 y ? ( x ? 1)3 当 x ? ?1 时( C ) (A)有极大值 (B)有极小值 (C)即无极大值,也无极小值 (D)无法判断 2.函数 y=1+3x -x3 有( D ) ( A) 极小值-2,极大值 2 ( B ) 极小值-2,极大值 3 (C ) 极小值-1,极大值 1 ( D) 极小值-1,极大值 3

3.函数 y ? 4 x ? x 4 ,在 [?1, 2] 上的最大、最小值分别为(B )
?5 (A) 3 、 ?8 (B) 3 、

(C) ?5, ?8

(D) 0, ?5

能力练习: 1.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 1 有极
3 2

大值又有极小值,则 a 的取值范围是______. 2.若 0 ≤ x ≤

(??, ?1) (2, ??)

?
2

, 则 f ( x) ? cos x ? cos3 x

的最大值是

3.试求函数 y ? 4 x ?

2 3 . 9 1 2
x

在 (0, ??) 上的最值.

最小值为 3,无最大值
4.已知 x ? 1 ,求证: x ? ln( x ? 1)
1答案 3答案

1. 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 1 有极大 值又有极小值,则 a 的取值范围是______.
3 2

解: ∵ f ( x ) 有极大值又有极小值的充分必要条件 是 f '( x ) ? 0 有两个不同实根. 2 ∵ f '( x) ? 3 x ? 6ax ? 3(a ? 2) , 令 f '( x ) ? 0 得方程 3 x 2 ? 6ax ? 3(a ? 2) ? 0 2 2 ? ? 0 由 得 (2a) ? 4(a ? 2) ? 0,即a ? a ? 2 ? 0, ?a ? (??, ?1) (2, ??)

1 3.试求函数 y ? 4 x ? 在 (0, ??) 上的最值. x 1 解:∵ y? ? 8 x ? 2 x 1 令 y? ? 0 解得 x ? 2 当 x 变化时, y 随 x 的变化情况如下表: x 1 1 1 0? x? x? x? 2 2 2 y? 0 + y ↘ 3 ↗ ∴最小值为 3,无最大值
2

综合训练: 3 2 2 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 4,g( x) ? ax ? x ? 8 . ⑴求函数 f ( x ) 的极值; ⑵若对任意的 x ? ?0, ? ? ? 都有 f ( x) ≥ g( x ) , 求实数 a 的取值范围.
课外思考题: 已知 x ? 1 ,求证: x ? ln( x ? 1)

(1)答案

(2)答案

已知函数 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 4,g( x) ? ax2 ? x ? 8 . ⑴求函数 f ( x ) 的极值; ⑵若对任意的 x ? ?0, ? ? ? 都有 f ( x) ≥ g( x) ,求实数 a 的取值范围. 1 2 解:⑴ f ( x) ? 3 x ? 4 x ? 1 令f ( x ) ? 0 解得 x1 ? ?1或x2 ? ? 3 当 x 变化时, f ( x )、f ( x ) 的变化情况如下:

∴当 x=-1 时, f ( x ) 取得极大值为 ? 4 ; 1 112 当 x ? ? 时, f ( x ) 取得极小值为 ? . 3 27

已知函数 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 4,g( x) ? ax2 ? x ? 8 . ⑴求函数 f ( x ) 的极值; ⑵若对任意的 x ? ?0, ? ? ? 都有 f ( x) ≥ g( x) ,求实数 a 的取值范围. ⑵设 F ( x) ? f ( x) ? g( x) ? x 3 ? (2 ? a) x 2 ? 4 F ( x) ≥ 0在?0, ? ?? 恒成立 ? F ( x)min ≥ 0,x ? ?0, ? ??
若 2 ? a ? 0,显然 F ( x )min ? 4 ? 0 ;若 2 ? a ? 0,F ? ( x) ? 3 x 2 ? (4 ? 2a) x 2a ? 4 令F ?( x ) ? 0, 解 得 x ? 0,x ? 3 2a ? 4 2a ? 4 ? 当0 ? x ? 时, F ( x ) ? 0; 当 x ? 时, F ?( x ) ? 0; 3 3

? 2a ? 4 ? ? 2a ? 4 ? ? 2a ? 4 ? ∴当 x ? ? 0, ? ? ? 时, F ( x)min ? F ? ≥ 0即? ? (a ? 2) ? ? 4≥0 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 解不等式得a ≤ 5, ? 2 ? a ≤ 5 当x ? 0时,F ( x ) ? 4 满足题意.
综上所述 a 的取值范围为 ???,5?

3

2

课堂小结: 1.在求函数的极值和最值时,要注意极值和最值的区别
能列表的应采用列表的方法.

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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2.不等式恒成立问题,常常转化为求函数的最值,例如: f(x)≥0 对 x∈R 恒成立 ? f(x)的最小值≥0 成立, f(x)≤0 对 x∈R 恒成立 ? f(x)的最大值≤0 成立;

课外思考题: 3 2 1. 已知 f(x)=2x -6x +m(m 为常数)在[-2,2]上有最 大值 3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为 -37 . 2.思考题:设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围.

? ??,1?

1.函数f ( x)的最大值是? , 最小值是0.

课外思考题: 1 2? ]上的最值. 1. 求f ( x ) ? x ? sin x在区间[0, 2 x 2 ? ax ? b 2. 已知 f ( x ) ? , x ∈ (0,+∞ ),是否存在实数 x a、 b ,使 f ( x ) 同时满足下列两个条件: ⑴ f ( x ) 在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数; ⑵ f ( x ) 的最小值是 3. 若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.

2.存在 a ? 1, b ? 1


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