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7图像变换及幂函数概念复习材料答案


7 图像变换及幂函数概念复习材料答案
一知识点 1 幂函数:一般地,形如

y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数。

2 幂函数的图像和性质(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图 象在区间 (0,??) 上是减函数. 3 指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 和对数函数 y=loga x ( a>0 且 a≠1 )是互为反函数 4 反函数的性质:原函数与反函数图像关于直线 y ? x 对称, P (a, b) 对称点 5 图像平移变换 (1) y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) (左加右减 a 个单位) (2) y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? b (上加下减 b 个单位)

P (b, a)

'

6 图像对称变换(1) y ? f ( x) 的图像与 y ? f (? x) 的图像关于 y 轴对称 (2) y ? f ( x) 的图像与 y ? ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称 (3) y ? f ( x) 的图像与 y ? ? f (? x) 的图像关于原点对称 7 图像翻折变换 (1) 要作函数 y ? f ( x ) 的图像, 注意到此函数为偶函数, 只需保留 y ? f ( x) 的图像在 y 轴右边的部分,再将 y 轴右边的部分对称地翻折到左侧即可 (2)要作函数 y ? f ( x) 的图像,可先作出 y ? f ( x) 的图像,然后将 x 轴上方的部分保持 不变,而将 x 轴下方的部分沿 x 轴对称地翻折上去即可 二练习 1.在函数 y ? A.0

1 , y ? 2 x 2 , y ? x 2 ? x, y ? 1 中,幂函数的个数为: ( C ) x2
B.1 C.2
?

D.3

2 如图所示,曲线是幂函数 y ? x 在第一象限内的图象,已知 则相应曲线

? 分别取 ? 1,1, 1 ,2 四个值,
2

c , c , c , c 的 ? 依次为 ( B
1 2 3 4



A C

-1,

1 ,1,2 2

1 ,1,2,-1 2

1 , -1 2 1 D 2,1,-1, 2
B 2,1,

3

a ? 1.2 ,b ? 0.9 ,c ? 1.1 的大小关系是(D
B. a ? c ? b
2

1 2

?

1 2

1 2

) D. c ? b ? a

y

A. c ? a ? b 4 幂函数 y ? xm

C. b ? a ? c

?2m?3

(m ? Z) 的图象如图所示,则 m 的值为(C )
B. 0 C. 1 D. 2

1
?1
1

A. ?1 ? m ? 3
x

x


5 已知函数 f ( x) ? a ? A. 2 6 函数 y ? B.

1 2

5 a ? 6 的反函数 f ?1 ( x) 的图象经过点 (5, 2) ,则 a 的值为(C 2 1 1 C. 2 或 D. ?2 或 ? 2 2
1

x ?1 的图象可以看成由幂函数 y ? x 2 的图象经过怎样的变换得到的(B
x



A 向左平移一个单位 B 向右平移一个单位 C 右上平移一个单位D 向下平移一个单位 7 函数 y ? 2 的图象是(B A 关于 x 轴对称 ) D 关于原点和坐标轴都不对称

B 关于 y 轴对称 C 关于原点对称

8 如果 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 图象与 y ? logb x(b ? 0且b ? 1) 图象关于 x 轴对称, 则有(D A. a ? b ) B. a ? b C. a ? b ) D. ab ? 1

9 函数 y ? log2 1 ? x 的图象是(D

10 关于函数 f ? x ? ? log 1 x 的图象和性质,下列说法不正确的是( D )
2

A. f ? x ? 的值域是 R

B. f ? x ? 的图象关于 y 轴对称 D f ? x ? 的定义域是 ? 0 ,∞ ? ?

C. f ? x ? 在 ? ?∞, 0? 上是增函数

11 函数 y ? a x 与 y ? ? loga x(a ? 0且a ? 1) 在同一坐标系中的图象只可能是(A



y 1

y

1

y 1

y 1

0


1 x

?1 0


x

0


1x

0


1x

12 下列函数中无论经过平移或沿某直线翻折都不能与 y ? log 1 x 的图象重合的有(B )
2

① y ? 2? x ;② y ? 2log4 x ;③ y ? log2 ( x ? 1) ;④ y ? A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

1 x ?4 2

13 已知函数 f ( x) ? 4x ? 2x?1 ( x ≥ 0) ,则 f ?1 (0) ? ______ 1 14 y ? ( x ? 3)?2 的定义域为
2 5 ?2 3 3 5

?x | x ? 3?

, ? ∞) ,单调递减区间是 (3
3 5 ?2 3



15 比较 4.1 ,3.8 , (?1.9) 三个数大小关系____ (?1.9) ? 3.8

? 4.1 ___________

2 5

16 函数 y ? log a x 的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位后所得图象过点 ? 2, 2? , 则 a ? ___________.3

, 3) ,其反函数的图象过 (2, 0) 点,求 f ( x) 的表达式 17 函数 f ( x) ? a x ? k 的图象过点 (1
x , 3) ∴ a ? k ? 3 又∵反函数的图象过 (2, 0) 点,则 解:∵函数 f ( x) ? a ? k 的图象过点 (1

原函数的图像应过点(0,2) ,∴ 18 若 (a ? 1)
? 1 3 ? 1 3

a

0

?k ?2

∴ a ? 2, k ? ?1

∴ f ( x) ? 2 ? 1
x

? (3 ? 2a) ,求 a 的取值范围.

解:根据幂函数的性质,有三种可能:

?a ? 1 ? 0, ?a ? 1 ? 0, ?a ? 1 ? 0, ? 2 3 ? 或 ?3 ? 2a ? 0, 解得 ? a ? 或 a ? ?1 . ?3 ? 2a ? 0, 或 ? 3 2 ?a ? 1 ? 3 ? 2a, ?3 ? 2a ? 0, ?a ? 1 ? 3 ? 2a, ? ?
19 函数 f ? x ? ? m ? m ? 1 x
2

?

?

m2 ? m ?3

是幂函数,且当 x ? ? 0,∞ ? ? 时, f ? x ? 是增函数,求

f ? x ? 的解析式.
3 解:根据幂函数定义, m ? m ? 1 ? 1 ,解得 m ? 2 或 m ? ?1 .当 m ? 2 时, f ? x ? ? x 在
2

? ? 上是增函数;当 m ? ?1 时, f ? x? ? x?3 在 ? 0,∞ ? ? 上是减函数,不合要求,故 ? 0,∞ f ? x ? ? x3

4.为了得到函数 y=2x 3-1 的图象,只需把函数 y=2x 的图象上所有的点( A ) A.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 B.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 C.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 D.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 - + 5.函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2 x 1 在同一直角坐标系下的图象大致是( C )


4.函数 y ? x ?

x x

的图象是

[D

]

y

y

y

y

?1
?1 O
(A)

1?
x
O

1?
x
(D
O

1 ?1

x

O

x

??1
(C)

? ?1

(B)
4

7.幂函数 f ( x ) 的图象过点 (3, 27) ,则 f ( x) 的解析式是________ f ( x) ? 解析: f ( x) ? x? , 图象过点( 3, 4 27) , 3 ?
?
4

x

3 4

27 ? 3 4 , ? ?

3

3 4
(0,2)

6.已知函数 y ? f ( x) 的图象过定点 (1,2) ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的图象过定点 3 函数 y ? log a x ⑴

y ? logb x ⑵


y ? logc x ⑶

y ? log d x ⑷的图象如图,则 a , b ,
y

c , d 大小顺序(B
A. 1 ? d ? c ? a ? b C. c ? d ? 1 ? b ? a

B. c ? d ? 1 ? a ? b D. d ? c ? 1 ? a ? b

1 2

0
x x x x

4

3 x

3 指数函数 y ? a , y ? b , y ? c , y ? d 的图象如图,则 a , b , c , d ,1 之间的大

y

小关系是(C

) B. a ? b ? 1 ? d ? c D. c ? d ? 1 ? a ? b

A. a ? b ? 1 ? c ? d C. b ? a ? 1 ? d ? c

y ?b y ? ax

x

y ? cx y ? dx

O

x

x

2 14.函数 f ( x ) ? x ? bx ? c 对一切 x∈R 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f (0) ? 3 ,试比较

. f (b 2 ) ? f (c 2 ) . f (b 2 ) 与 f (c 2 ) 的大小.

1

1

1

1


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