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100测评网高一数学复习第十讲 导数题的解题技巧


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第十讲

导数题的解题技巧

【命题趋向】导数命题趋势: 综观 2007 年全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特 点: (1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围) ,和求斜率(切线方程结合函数求最值) 问题. (2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在 12---17 分之间,一般为 1 个选择题或 1 个填空题,1 个解答题. 【考点透视】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌 握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导 法则,会求某些简单函数的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最 小值. 【例题解析】 考点 1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理 解导函数的概念. 例 1. (2007 年北京卷) f ?( x ) 是 f ( x ) ?

1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值是 . 3
2

[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] 故填 3. 例 2. ( 2006 年湖南卷)设函数 f ( x) ? x ? a ,集合 M= {x | f ( x) ? 0} ,P= {x | f ' ( x) ? 0} ,若 M P,则实
x ?1

f ?( x) ? x 2 ? 2,? f ?(?1) ? ? ?1? ? 2 ? 3.

数 a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由 x ? a ? 0,?当a>1时,1 ? x ? a;当a<1时, a ? x ? 1.
x ?1
y? x?a a ?1 ? x ? a ? x ?1? ? x ? a ? ,? y / ? ? ? ? 0. ? ? 2 2 x ?1 ? x ?1 ? ? x ? 1? ? x ? 1?
/

? a ? 1.

综上可得 M P 时, ? a ? 1. 考点 2 曲线的切线 (1)关于曲线在某一点的切线 求曲线 y=f(x)在某一点 P(x,y)的切线,即求出函数 y=f(x)在 P 点的导数就是曲线在该点的 切线的斜率.

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(2)关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题 例 3.(2007 年湖南文)已知函数 f ( x) ? 极值点. (I)求 a 2 ? 4b 的最大值; (II)当 a2 ? 4b ? 8 时,设函数 y ? f ( x) 在点 A(1 ,f (1)) 处的切线为 l ,若 l 在点 A 处穿过 函数 y ? f ( x) 的图象(即动点在点 A 附近沿曲线 y ? f ( x) 运动,经过点 A 时,从 l 的一侧 进入另一侧) ,求函数 f ( x ) 的表达式. 思路启迪:用求导来求得切线斜率. 解答过程: (I)因为函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx 在区间 [?11) , , (1, 3] 内各有一个 3 2

1 3 1 2 x ? ax ? bx 在区间 [?11) , , (1, 3] 内分别有一个极值 3 2

点,所以 f ?( x) ? x2 ? ax ? b ? 0 在 [?11) , , (1, 3] 内分别有一个实根, 设两实根为 x1,x2 ( x1 ? x2 ) ,则 x2 ? x1 ?

a 2 ? 4b ,且 0 ? x2 ? x1 ≤ 4 .于是

x2 ? 3 ,即 a ? ?2 , b ? ?3 时等号 0 ? a2 ? 4b ≤ 4 , 0 ? a2 ? 4b ≤16 ,且当 x1 ? ?1,
2 成立.故 a ? 4b 的最大值是 16.

(II)解法一:由 f ?(1) ? 1 ? a ? b 知 f ( x ) 在点 (1 ,f (1)) 处的切线 l 的方程是

y ? f (1) ? f ?(1)( x ?1) ,即 y ? (1 ? a ? b) x ?

2 1 ? a, 3 2

因为切线 l 在点 A(1 ,f ( x)) 处空过 y ? f ( x) 的图象, 所以 g ( x) ? f ( x) ? [(1 ? a ? b) x ?

2 1 ? a] 在 x ? 1 两边附近的函数值异号,则 3 2

x ? 1 不是 g ( x) 的极值点.
而 g ( x) ?

1 3 1 2 2 1 x ? ax ? bx ? (1 ? a ? b) x ? ? a ,且 3 2 3 2

g?( x) ? x2 ? ax ? b ? (1 ? a ? b) ? x2 ? ax ? a ?1 ? ( x ?1)( x ? 1 ? a) .
若 1 ? ?1 ? a ,则 x ? 1 和 x ? ?1 ? a 都是 g ( x) 的极值点.
2 所以 1 ? ?1 ? a ,即 a ? ?2 ,又由 a ? 4b ? 8 ,得 b ? ?1 ,故 f ( x) ?

1 3 x ? x2 ? x . 3

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解法二:同解法一得 g ( x) ? f ( x) ? [(1 ? a ? b) x ?

2 1 ? a] 3 2

1 3a 3 ? ( x ? 1)[ x 2 ? (1 ? ) x ? (2 ? a)] . 3 2 2
因为切线 l 在点 A(1 ,f (1)) 处穿过 y ? f ( x) 的图象,所以 g ( x) 在 x ? 1 两边附近的函数值 异号,于是存在 m1,m2 ( m1 ? 1 ? m2 ) . 当 m1 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, g ( x) ? 0 ; 或当 m1 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, g ( x) ? 0 . 设 h( x ) ? x 2 ? ? 1 ?

? ?

3a ? ? 3a ? ? x ? ? 2 ? ? ,则 2 ? ? 2 ?

当 m1 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, h( x) ? 0 ; 或当 m1 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, h( x) ? 0 . 由 h(1) ? 0 知 x ? 1 是 h( x) 的一个极值点,则 h(1) ? 2 ? 1 ? 1 ?
2 所以 a ? ?2 ,又由 a ? 4b ? 8 ,得 b ? ?1 ,故 f ( x) ?

3a ?0, 2

1 3 x ? x2 ? x . 3


例 4. (2006 年安徽卷) 若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直, 则 l 的方程为 ( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 , 即 y ? x4 在某一点的导数为 4, 而 3 y? ? 4 x ,所以 y ? x4 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 . 故选 A. 例 5. ( 2006 年重庆卷)过坐标原点且与 x2+y2 -4x+2y+ 5 =0 相切的直线的方程为 ( )
2

A.y=-3x 或 y= 1 x
3

B. y=-3x 或 y=- 1 x C.y=-3x 或 y=- 1 x
3 3

D. y=3x 或 y= 1 x
3

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法 1:设切线的方程为 y ? kx,? kx ? y ? 0. 又 ? x ? 2 ?2 ? ? y ? 1?2 ? 5 ,?圆心为? 2, ?1? .
2

?

2k ? 1
2

k ?1 1 ? y ? x, 或y ? ?3x. 3

?

5 1 ,?3k 2 ? 8k ? 3 ? 0.? k ? , k ? ?3. 2 3

故选 A.

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解法 2:由解法 1 知切点坐标为 ( 1 , ? 3 ), ? 3 , 1 ? , 由
2 ? ? 2 ? 2 2?
/ 5? ?( x ? 2) 2 ? ? y ? 1?2 ? ? ? ? , ? ?x ? ? 2 ?x /

? 2( x ? 2) ? 2 ? y ? 1? yx / ? 0, ? yx / ? ? ? k1 ? yx / x?2 . y ?1
1 3 ( ,? ) 2 2

? ?3, k2 ? yx /

3 1 ( , ) 2 2

1 ? . 3

1 ? y ? ?3x, y ? x. 3

故选 A. 例 6.已知两抛物线 C1 : y ? x 2 ? 2x, C2 : y ? ? x 2 ? a , a 取何值时 C1 , C 2 有且只有一条公切线, 求出此时公切线的方程. 思路启迪:先对 C1 : y ? x 2 ? 2x, C2 : y ? ? x 2 ? a 求导数. 解答过程:函数 y ? x 2 ? 2x 的导数为 y ' ? 2x ? 2 ,曲线 C1 在点 P( x1 , x12 ? 2x1 )处的切线方程为
2 y ? ( x12 ? 2 x1 ) ? 2( x1 ? 2)(x ? x1 ) ,即 y ? 2( x1 ? 1) x ? x1



曲线 C1 在点 Q ( x2 ,? x2 2 ? a) 的切线方程是 y ? (? x2 ? a) ? ?2x2 ( x ? x2 ) 即
y ? ?2x2 x ? x2 2 ? a



若直线 l 是过点 P 点和 Q 点的公切线,则①式和②式都是 l 的方程,故得
x1 ? 1 ? ? x2 ,? x12 ? x2 2 ? 1,消去 x2 得方程, 2x1 ? 2x1 ? 1 ? a ? 0
2

若△= 4 ? 4 ? 2(1 ? a) ? 0 ,即 a ? ? 1 时,解得 x1 ? ? 1 ,此时点 P、Q 重合.
2 2

∴当时 a ? ? 1 , C1 和 C 2 有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为 y ? x ? 1 .
2 4

考点 3 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数, 导数是研究函数性质的重要而 有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我 们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解 的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题: 1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值); 5.构造函数证明不等式. 典型例题 例 7. (2006 年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如 图所示,则函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点( ) A.1 个 B.2 个
y

y ? f ?( x)

b

a

O

x

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C.3 个 D. 4 个 [考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间 (a, 0) 内的图象上有一个极小值点. 故选 A. 例 8 .(2007 年全国一)设函数 f ( x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
(Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有

f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围.

思路启迪: 利用函数 f ( x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值构造方程组求 a、 b 的值.
2 解答过程: (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,

因为函数

f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.
? ?3 , b ? 4 .

解得 a

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,

f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 8c ,

f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .
当 x ? (0, 1) 时, 当 x ? (1 , 2) 时, 当 x ? (2, 3) 时, 所以,当 x 则当 x ?

f ?( x) ? 0 ; f ?( x) ? 0 ; f ?( x) ? 0 .

? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c .

3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . ?0, 3? ,有 f ( x) ? c2 恒成立, ?0,

因为对于任意的 x ? 所以 解得

9 ? 8c ? c 2 ,

c ? ?1 或 c ? 9 ,
(9, ? ?) .

因此 c 的取值范围为 (??, ? 1)

例 9.函数 y ? 2 x ? 4 ? x ? 3 的值域是_____________. 思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质 求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法 求解较为容易。

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2 x ? 4 ? 0 得, 解答过程:由 ? x ? ?2 ,即函数的定义域为 [ ?2,??) . ? ?x ? 3 ? 0

y' ?

1 1 2 x ? 3 ? 2x ? 4 , ? ? 2x ? 4 2 x ? 3 2 2x ? 4 ? x ? 3
2x ? 8 , 2 x ? 3 ? 2x ? 4

又 2 x ? 3 ? 2x ? 4 ?

?当 x ? ?2 时, y ' ? 0 , ?函数 y ? 2x ? 4 ? x ? 3 在 ( ?2,??) 上是增函数,而 f (?2) ? ?1 ,? y ? 2x ? 4 ? x ? 3
的值域是 [ ?1,??) . 例 10. (2006 年天津卷)已知函数 f ?x ? ? 4 x 3 ? 3x 2 cos ? ? 3 cos ? ,其中 x ? R,? 为参数,且
16
0 ? ? ? 2? .

(1)当时 cos ? ? 0 ,判断函数 f ?x ? 是否有极值; (2)要使函数 f ( x) 的极小值大于零,求参数? 的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数? ,函数 f ?x ? 在区间 ?2a ? 1, a ? 内都是增函数, 求实数 a 的取值范围. [考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础 知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法. [解答过程](Ⅰ)当 cos ? ? 0 时, f ( x) ? 4 x3 ,则 f ( x) 在 (??, ??) 内是增函数,故无极值. (Ⅱ) f '( x) ? 12x2 ? 6x cos? ,令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? cos ? .
2

由(Ⅰ) ,只需分下面两种情况讨论. ①当 cos ? ? 0 时,随 x 的变化 f '( x) 的符号及 f ( x) 的变化情况如下表: x
f '( x)
f ( x) (??, 0)

0 0 极大值

(0,

cos ? ) 2

cos ? 2

(

cos ? , ??) 2

+ ↗



0 极小值

+ ↗

因此,函数 f ( x) 在 x ? cos ? 处取得极小值 f( cos ? ) ,且 f ( cos ? ) ? ? 1 cos3 ? ? 3 ?
2 2
2 4

16 .

要使 f ( cos ? ) ? 0 ,必有 ? 1 cos ? (cos 2 ? ? 3 ) ? 0 ,可得 0 ? cos ? ? 3 . 2 4 4 2 由于 0 ? cos ? ? 3 ,故 ? ? ? ? ? 或 3? ? ? ? 11? .
2
6 2 2 6

②当时 cos ? ? 0 ,随 x 的变化, f '( x) 的符号及 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(??,

cos ? ) 2

cos ? 2

(

cos ? , 0) 2

0
0 极小值

(0, ??)

+

0 极大值

-

+

因此,函数 f ( x)在x ? 0 处取得极小值 f (0) ,且 f (0) ? 3 cos ? .
16

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若 f (0) ? 0 ,则 cos ? ? 0 .矛盾.所以当 cos ? ? 0 时, f ( x) 的极小值不会大于零. 综上,要使函数 f ( x) 在 (??, ??) 内的极小值大于零,参数 ? 的取值范围为 ( ? , ? ) ? ( 3? , 11? ) .
6 2 2 6

(III)解:由(II)知,函数 f ( x) 在区间 (??, ??) 与 ( cos ? , ??) 内都是增函数。 2 由题设,函数 f ( x)在(2a ?1, a) 内是增函数,则 a 须满足不等式组
2a ? 1 ? a a?0



2a ? 1 ? a 1 2a ? 1 ? cos ? 2
6

由(II) ,参数时 ? ? ( ? , ? ) ? ( 3? , 11? ) 时, 0 ? cos ? ? 3 .要使不等式 2a ? 1 ? 1 cos ? 关于参数?
6 2 2

2

2

恒成立,必有 2a ? 1 ? 3 ,即 4 ? 3 ? a .
4 8

综上,解得 a ? 0 或 4 ? 3 ? a ? 1. 8 所以 a 的取值范围是 (??, 0) ? [ 4 ? 3 ,1) .
8

例 11.(2006 年山东卷)设函数 f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中 a ? -1,求 f(x)的单调区间. [考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想 分析问题解决问题的能力 [解答过程]由已知得函数 f ( x) 的定义域为 (?1, ??) ,且 f ' ( x) ? ax ? 1 (a ? ?1),
x ?1

(1)当 ?1 ? a ? 0 时, f ( x) ? 0, 函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上单调递减,
'

(2)当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0, 解得 x ? 1 .
a

f ( x) 、 f ( x) 随 x 的变化情况如下表
'

x
f ' ( x)
f ( x)

1 ( ?1, ) a

1 a

1 ( , ??) a



0 极小值

+

从上表可知 当 x ? ( ?1, 1 ) 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x) 在 ( ?1, 1 ) 上单调递减.
a a

当 x ? ( 1 , ??) 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x) 在 ( 1 , ??) 上单调递增.
a a

综上所述:当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上单调递减. 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 ( ?1, 1 ) 上单调递减,函数 f ( x) 在 ( 1 , ??) 上单调递增.
a

a

例 12. (2006 年北京卷)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得 极大值 5 ,其导函数 y ? f '( x) 的图象经过点 (1, 0) , (2, 0) ,如图所示. 求:

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(Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a, b, c 的值. [考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与 方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能 力 [解答过程]解法一: (Ⅰ)由图像可知,在 ? ??,1? 上 上 f ' ? x? ? 0 , 故 f ( x) 在 上递增,在 (1,2) 上递减, (-?,1),(2,+?) 因此 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值,所以 x0 ? 1 (Ⅱ) f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c, ' 由 f( 1)=0,( f ' 2)=0,( f ' 1)=5, 得 ?12a ? 4b ? c ? 0,
? ? a ? b ? c ? 5, ? ?3a ? 2b ? c ? 0,
f ' ? x ? ? 0 ,在 ?1,2 ? 上 f ' ? x ? ? 0 ,在 ? 2, ???

解得 a ? 2, b ? ?9, c ? 12. 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)设 f ' ( x) ? m( x ?1)( x ? 2) ? mx2 ? 3mx ? 2m, 又 f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c, 所以 a ? m , b ? ? 3 m, c ? 2m
3 2

f ( x) ?

m 3 3 2| x ? mx ? 2mx, 3 2
3 2

由 f (1) ? 5, 即 m ? 3 m ? 2m ? 5, 得 m ? 6, 所以 a ? 2, b ? ?9, c ? 12 例 13. (2006 年湖北卷)设 x ? 3 是函数 f ?x? ? ?x 2 ? ax ? b?e3? x ?x ? R? 的一个极值点. (Ⅰ)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ?x ? 的单调区间;
25 ? x 2 (Ⅱ)设 a ? 0 , g ?x ? ? ? ? a ? ?e .若存在 ? 1 , ? 2 ? ?0,4?使得 f ?? 1 ? ? g ?? 2 ? ? 1 成立,求 a 的取值范 ? 4?

围. [考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决 问题的能力. [解答过程](Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3 x,


由 f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3 3=0,即得 b=-3-2a,


则 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3


-x

=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3 x=-(x-3)(x+a+1)e3 x.


令 f `(x)=0,得 x1=3 或 x2=-a-1,由于 x=3 是极值点,

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所以 x+a+1≠0,那么 a≠-4. 当 a<-4 时,x2>3=x1,则 在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数; 在区间(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数. 当 a>-4 时,x2<3=x1,则 在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数; 在区间(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a>0 时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调 递减,那么 f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)], 而 f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e 1>0,f (3)=a+6,


那么 f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6]. 又 g ( x) ? (a 2 ? 25 )e x 在区间[0,4]上是增函数,
4

且它在区间[0,4]上的值域是[a2+ 25 , (a2+ 25 )e4],
4 4

由于(a2+ 25 )-(a+6)=a2-a+ 1 =( a ? 1 )2≥0,所以只须仅须
4

4

2

(a2+ 25 )-(a+6)<1 且 a>0,解得 0<a< 3 .
4 2

故 a 的取值范围是(0, 3 ).
2

例 14 (2007 年全国二) 已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? (2 ? b) x ? 1 3

在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 . (1)证明 a ? 0 ; (2)若 z=a+2b,求 z 的取值范围。
2 [解答过程]求函数 f ( x ) 的导数 f ?( x) ? ax ? 2bx ? 2 ? b .

(Ⅰ)由函数 f ( x ) 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值,知 x1,x2 是 f ?( x) ? 0 的两个根.

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所以 f ?( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 x ? x1 时, f ( x ) 为增函数, f ?( x) ? 0 ,由 x ? x1 ? 0 , x ? x2 ? 0 得 a ? 0 .

? f ?(0) ? 0 ? (Ⅱ)在题设下, 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 等价于 ? f ?(1) ? 0 ? f ?(2) ? 0 ?

?2 ? b ? 0 ? 即 ? a ? 2b ? 2 ? b ? 0 . ? 4a ? 4b ? 2 ? b ? 0 ?

?2 ? b ? 0 ? 化简得 ? a ? 3b ? 2 ? 0 . ? 4a ? 5b ? 2 ? 0 ?
4a ? 5b ? 2 ? 0 . 此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线:2 ? b ? 0,a ? 3b ? 2 ? 0,
所围成的 △ ABC 的内部,其三个顶点分别为: A ? , ?,B(2,, 2) C (4, 2) .

?4 6? ?7 7?
b

z 在这三点的值依次为
所以 z 的取值范围为 ?

16 , 6, 8. 7

? 16 ? , 8? . ?7 ?

2 1 O

B(2, 2) C (4, 2)
?4 6? A? , ? ?7 7?

2

4

a

小结:本题的新颖之处在把函数的导数与线性 规划有机结合. 考点 4 导数的实际应用 建立函数模型,利用 典型例题 例 15. (2007 年重庆文) 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该 长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? [考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决 实际问题的能力. [解答过程]设长方体的宽为 x(m) ,则长为 2x(m),高为 18 ? 12x 3? ? h? ? 4.5 ? 3x(m) ? 0<x< ? . 4 2? ? 故长方体的体积为
V ( x) ? 2x 2 (4.5 ? 3x) ? 9x 2 ? 6x 3 (m 3 ) 3 (0<x< ). 2

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1.

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当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<
2 时,V′(x)<0, 3

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3) ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m3。 例 16. (2006 年福建卷)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/小时)的函数解析式可以表示为:
y? 1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120). 已知甲、乙两地相距 100 千米. 128000 80

(I)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? [考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决 实际问题的能力. [解答过程](I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 100 ? 2.5 小时,
40

要耗没 (

1 3 ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 (升). 128000 80

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。 (II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 100 小时,设耗油量为 h( x) 升,依
x

题意得 h( x) ? (
h '( x) ?

1 3 100 1 2 800 15 x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 128000 80 x 1280 x 4

x 800 x3 ? 803 ? ? (0 ? x ? 120). 640 x 2 640 x 2

令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80. 当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数;当 x ? (80,120) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数. 当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25. 因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值. 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升. 【专题训练与高考预测】 一、选择题 1. y=esinxcos(sinx),则 y′(0)等于( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 2.经过原点且与曲线 y= x ? 9 相切的方程是(
x?5

) B.x-y=0 或 x +y=0
25

A.x+y=0 或 x +y=0
25

C.x+y=0 或 x -y=0
25

D.x-y=0 或 x -y=0
25

3.设 f(x)可导,且 f′(0)=0,又 lim f ?( x ) =-1,则 f(0)(
x ?0

x

)

A.可能不是 f(x)的极值 B.一定是 f(x)的极值 C.一定是 f(x)的极小值 D.等于 0 2 2 n 4.设函数 fn(x)=n x (1-x) (n 为正整数),则 fn(x)在[0,1]上的最大值为(

)

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A.0
2

B.1
3

C. (1 ? 2 ) n
2?n

D. 4( n ) n?1
n?2

5、函数 y=(x -1) +1 在 x=-1 处( ) A、 有极大值 B、无极值 C、有极小值 D、无法确定极值情况 6.f(x)=ax3+3x2+2,f’(-1)=4,则 a=( ) A、 10 B、 13 C、 16 D、 19
3

7.过抛物线 y=x

2

A、300 B、450 C、600 D、900 3 8.函数 f(x)=x -6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是( A、 (0,1) B、 (-∞,1) C、 (0,+∞) D、 (0, 1 )
2

3 1 1 上的点 M( , )的切线的倾斜角是( 2 4

3

3

) )

9.函数

10、若 f(x)=x3+ax2+bx+c,且 f(0)=0 为函数的极值,则( ) A、c≠0 B、当 a>0 时,f(0)为极大值 C、b=0 D、当 a<0 时,f(0)为极小值 11、已知函数 y=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值,则该函数的一个递增区间是( ) A、 (2,3) B、 (3,+∞) C、 (2,+∞) D、 (-∞,3) 12、方程 6x5-15x4+10x3+1=0 的实数解的集合中( ) A、至少有 2 个元素 B、至少有 3 个元素 C、至多有 1 个元素 D、恰好有 5 个元素 二、填空题 13.若 f′(x0)=2, lim f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) =_________.
k ?0

y=x -3x+3 在[ ? 3 , 5 ]上的最小值是( 2 2 A、 89 B、1 C、 33 8 8

3

) D、5

2k

14.设 f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则 f′(0)=_________. 15.函数 f(x)=loga(3x2+5x-2)(a>0 且 a≠1)的单调区间_________. 16.在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题 17.已知曲线 C:y=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线 l 的方程及 切点坐标. 18.求函数 f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+),在[0,1]内的最大值. 19.证明双曲线 xy=a2 上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20.求函数的导数 (1)y=(x2-2x+3)e2x; (2)y= 3 x .
1? x

21.有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上, 假设其下端沿地板以 3 m/s 脚滑动,求当其下端离开墙脚 1.4 m 时,梯子上端下滑的速度. - 22.求和 Sn=12+22x+32x2+…+n2xn 1 ,(x≠0,n∈N*). 23.设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间,试确定 a 的取值范围,并求其单调区间. 24.设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx2+x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值还是极小值,并说明理由. 25.已知 a、b 为实数,且 b>a>e,其中 e 为自然对数的底,求证:ab>ba. 26.设关于 x 的方程 2x2-ax-2=0 的两根为α、β(α<β),函数 f(x)= 4 x ? a .
x2 ?1

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(1)求 f(α)·f(β)的值; (2)证明 f(x)是[α,β]上的增函数; (3)当 a 为何值时,f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小?

【参考答案】 一、1.解析:y′=esinx[cosxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′(0)=e0(1-0)=1. 答案:B 2.解析:设切点为(x0,y0),则切线的斜率为 k= y 0 ,另一方面,y′=( x ? 9 )′= ? 4
x0

x?5

( x ? 5) 2

,故

y ′ (x0)=k, 即

y x0 ? 9 ?4 ? 0 ? 2 x x ( x0 ? 5) 0 0 ( x0 ? 5)

或 x02+18x0+45=0 得 x0(1)= - 3,y0(2)= - 15, 对 应 有
?4 ( ?3 ? 5) 3

y0(1)=3,y0(2)= ?15 ? 9 ? 3 ,因此得两个切点 A(-3,3)或 B(-15, 3 ),从而得 y′(A)=
? 15 ? 5 5

5

=-1

及 y′(B)= 答案:A

?4 1 ?? 25 (?15 ? 5) 2

,由于切线过原点,故得切线:lA:y=-x 或 lB:y=- x .
25

3.解析: 由 lim f ?(0) =-1,故存在含有 0 的区间(a,b)使当 x∈(a,b),x≠0 时
x?0

x

f ?(0) <0,于是当 x∈(a,0) x

时 f′(0)>0,当 x∈(0,b)时,f′(0)<0,这样 f(x)在(a,0)上单增,在(0,b)上单减. 答案:B 4.解析:∵f′n(x)=2xn2(1-x)n-n3x2(1-x)n-1 =n2x(1-x)n-1[2(1-x)-nx],令 f′n(x)=0,得 x1=0,x2=1,x3= 2 , 易 知 fn(x) 在 x= 2 时 取 得 最 大 值 , 最 大 值 fn( 2 )=n2( 2 )2(1 -
2?n 2?n 2?n 2?n 2 )n=4·( 2 )n+1 2?n 2?n

.

答案:D 5、B 6、A

7、B

8、D

9、B 10、C
k ?0

11、B

12、C

二、13.解析:根据导数的定义:f′(x0)= lim f [( x0 ? (?k )] ? f ( x0 ) (这时 ?x ? ? k )
?k

? lim
k ?0

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 1 f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ? lim[? ? ] k ?0 2k 2 ?k 1 f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 1 ? ? lim ? ? f ?( x0 ) ? ?1. k ? 0 2 ?k 2

答案:-1 14.解析:设 g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则 f(x)=xg(x),于是 f′(x)=g(x)+xg′(x), f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n! 答案:n! 15.解析:函数的定义域是 x> 1 或 x<-2,f′(x)=
3
log a e .(3x2+5x-2)′= (6 x ? 5) ? log a e , (3 x ? 1)( x ? 2) 3x 2 ? 5 x ? 2

①若 a>1,则当 x> 1 时, logae>0,6x+5>0,(3x-1)(x+2)>0,∴f′(x)>0,∴函数 f(x)在( 1 ,+∞)
3 3

上是增函数,x<-2 时,f′(x)<0.∴函数 f(x)在(-∞,-2)上是减函数. ②若 0<a<1,则当 x> 1 时,f′(x)<0,∴f(x)在( 1 ,+∞)上是减函数,当 x<-2 时,
3 3

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f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数. 答案:(-∞,-2) 16.解析:设圆内接等腰三角形的底边长为 2x,高为 h,那么 h=AO+BO=R+ R 2 ? x 2 ,解得 x2=h(2R-h),于是内接三角形的面积为 S=x·h= (2Rh ? h 2 ) ? h ? (2Rh3 ? h 4 ) , 从而 S ? ? 1 (2 Rh3 ? h 4 ) ? 2 (2 Rh3 ? h 4 )?
2
? 1 h 2 (3R ? 2h) ? (2 Rh3 ? h 4 ) 2 (6 Rh 2 ? 4h 3 ) ? 2 ( 2 R ? h) h 3 . 1
1

令 S′=0,解得 h= 3 R,由于不考虑不存在的情况,所在区间(0,2R)
2

h S′ S
2

(0, 3 R)
2

3R 2

( 3 ,2R)
2

+ 增函数

0 最大值

- 减函数

由此表可知,当 x= 3 R 时,等腰三角形面积最大. 答案: 3 R
2

三、17. 解:由 l 过原点,知 k= y 0 (x0≠0),点(x0,y0)在曲线 C 上,y0=x03-3x02+2x0,
x0

∴ y 0 =x02-3x0+2,y′=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2
x0

又 k= y 0 ,∴3x02-6x0+2=x02-3x0+2,2x02-3x0=0,∴x0=0 或 x0= 3 .
x0

2

由 x≠0,知 x0= 3 ,
2
2

∴y0=( 3 ) -3( 3 )2+2· 3 =- 3 .∴k= y 0 =- 1 .
2 2 8
x0

3

4

∴l 方程 y=- 1 x 切点( 3 ,- 3 ).
4 2 8

18. f ' (x) ? p

2

x(1 ? x)

p?1

[2 ? (2 ? p)x]

,

2 , 2?p 在[0,1]上,f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 ) ? 4( p ) p ? 2 2?p 2?p p ∴ [f ( x )] max ? 4( ) 2? p . 2?p

令 f’(x)=0 得,x=0,x=1,x=

.

19.设双曲线上任一点 P(x0,y0), a2 , k ? y | x ?x ? ?
0

x0

2

∴ 切线方程 y ? y 0

??

a2 x0
2

(x ? x 0 )

,

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令 y=0,则 x=2x0 2 令 x=0,则 y ? 2a . ∴
x0 1 S ? | x || y |? 2a 2 2

.

20.解:(1)注意到 y>0,两端取对数,得 lny=ln(x2-2x+3)+lne2x=ln(x2-2x+3)+2x,
? 1 ( x 2 ? 2 x ? 3)? 2x ? 2 2( x 2 ? x ? 2) ? y? ? 2 ?2? 2 ?2? 2 y x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3 x ? 2 x ? 3.

? y? ?

2( x 2 ? x ? 2) 2 ( x 2 ? x ? 2) ? y ? ? ( x 2 ? 2 x ? 3) ? e 2 x . x2 ? 2x ? 3 x2 ? 2x ? 3 ? 2( x 2 ? x ? 2) ? e 2 x .

(2)两端取对数,得 ln|y|= 1 (ln|x|-ln|1-x|),
3

两边解 x 求导,得
1 1 1 ?1 1 1 ? y? ? ( ? )? , y 3 x 1? x 3 x(1 ? x) 1 1 1 x 3 ? y? ? ? ?y? . 3 x(1 ? x) 3x(1 ? x) 1 ? x

21.解: 设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米,则 s=5- 25 ? 9t 2 ,当下端移开 1.4 m 时, t0= 1? 4 ? 7 ,
3 15
? 1 又 s′=- (25-9t2) 2 ·(-9·2t)=9t 2 1

1 25 ? 9t 2

,

所以 s′(t0)=9× 7
15

?

1 25 ? 9 ? ( 7 2 ) 15

=0.875(m/s).

22.解:(1)当 x=1 时,Sn=12+22+32+…+n2= 1 n(n+1)(2n+1),当 x≠1 时,1+2x+3x2+…+nxn-1
6
n n?1 = 1 ? (n ? 1) x ? nx ,两边同乘以 x,得

(1 ? x) 2

x+2x2+3x2+…+nxn= x ? (n ? 1) x Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1

n?1

? nx n?2

(1 ? x) 2

两边对 x 求导,得

2 n 2 n ?1 2 n ?2 = 1 ? x ? (n ? 1) x ? (2n ? 2n ? 1) x ? n x .

(1 ? x ) 3

23.解:f′(x)=3ax2+1. 若 a>0,f′(x)>0 对 x∈(-∞,+∞)恒成立,此时 f(x)只有一个单调区间,矛盾. 若 a=0,f′(x)=1>0,∴x∈(-∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间,矛盾. 若 a<0,∵f′(x)=3a(x+
1 3| a |

)·(x-
1 3| a |

1 3| a |

),此时 f(x)恰有三个单调区间.
1 3| a |

∴a<0 且单调减区间为(-∞,-

)和(

,+∞),

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单调增区间为(-
1 3| a |

,

1 3| a |

).

24.解:f′(x)= a +2bx+1,
x

(1) 由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,即 a+2b+1=0,且 a +4b+1=0,
2

解方程组可得 a=- 2 ,b=- 1 ,∴f(x)=- 2 lnx- 1 x2+x,
3 6 3 6

(2)f′(x)=- 2 x-1- 1 x+1,当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,当 x∈(1,2)时,f′(x)>0,当 x∈(2,+∞)
3 3

时,f′(x)<0,故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值 5 ,在 x=2 处函数取得极大值 4 - 2 ln2.
6 3 3

25.证法一:∵b>a>e,∴要证 a >b ,只要证 blna>alnb,设 f(b)=blna-alnb(b>e),则 f′(b)=lna- a .∵b>a>e,∴lna>1,且 a <1,∴f′(b)>0.∴函数 f(b)=blna-alnb 在(e,+∞)上
b b

b

a

是增函数,∴f(b)>f(a)=alna-alna=0,即 blna-alnb>0,∴blna>alnb,∴ab>ba. 证法二:要证 ab>ba,只要证 blna>alnb(e<a<b ) ,即证 (x)= 1 ? ln x <0,∴函数 f(x)在(e,+∞)上是减函数,又∵e<a<b,
x2

,设 f(x)= ln x (x>e),则 f′
x

∴f(a)>f(b),即 ln a ? ln b ,∴ab>ba.
a b

26.解:(1)f(α)=
2

?8 a ? 16 ? a

,f(β)=
2

?8 a ? 16 ? a

,f(α)=f(β)=4,

(2)设φ(x)=2x -ax-2,则当α<x<β时,φ(x)<0,
f ?( x) ? ?? (4 x ? a)?( x 2 ? 1) ? (4 x ? a)( x 2 ? 1)? 4( x 2 ? 1) ? 2 x(4 x ? a) ? ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2

2

1 , 3 , 5

2(2 x 2 ? ax ? 2) 2? ( x ) ?? 2 ?0 ( x 2 ? 1) 2 ( x ? 1) 2 .

∴函数 f(x)在(α,β)上是增函数. (3)函数 f(x)在[α,β]上最大值 f(β)>0,最小值 f(α)<0, ∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当 f(β)=-f(α)=2 时,f(β)-f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值 4, 此时 a=0,f(β)=2. =========================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新 版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小 四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字:

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