当前位置:首页 >> 数学 >>

介绍几道2008年自主招生数学试题


  T += 交,l ≤即   1 当且仅 当t一 1 时取等号.同理可得 当竹< ≤21  y1 点 吉 2有 则 ^   l有 +≥ 时 ( =√ , .  )≥      


b  2



综上可 知 l  厂 )的值域 为 [   , ( 一  

2 隐性轨迹 为抛物 线   

1]


例 3 (08 年 重 庆 文 ) 函 数 l ) :   20 厂     (
— =

故选 c .  

s mx

( 0≤  ≤ 2r - r )的值域 是 (  

) .  
. 

、5 +4 ox / e s 

迹法 y 解  令  
J   Iy s    ix n i P( 4 o  J - cs .  ̄

=  


f  

s    ix n

A [ 1 1]   一4 -  


B[ 3 . 一1


_



,j

1  
图3  

c一 丢 . ,  [ ]
sn : — —   _ i    l  
_ 二 
: — —

D一 ,  .2 ] [3  
, 0 ≤ ≤ 1 H ,lx : 宣   当 u   冬 T时 s = T习        n
t 4


Y表 示 两 点 P( e s ,O )  一4 ox CS ,

常规解法  令  ̄ + — s / 4 ox=t1≤t ) 则 — c 5 ( ≤3 ,  

A 5 1 连线的斜率, ( ,) 而点 P的轨迹 为抛 物线 Y=  
( 0≤ y≤ 1 )的一段 , 如图 3 当直 线 /p 行于  , 4平 J 轴时 , Y取最 小值 ; 当直 线 A P与抛物 线相 切时 , Y取 



l O


t 2


l  6
Sl n 


__

9  
~  

)  

 ̄一t /  +1£ 0 一9  
— —   — ~  

最值 , 0】 即号 ) 1   大 ÷ 以≤≤ ,一 ≤ ≤ . 所 ,1  所
以 函数  )的值 域 为 [ - 一1
2 ,  

、  ,

] .  

9  

+ 1  0
l  





≤T



,  

介 绍 几道 20 0 8年 自 主招 生数 学试 题 
湖北省十 堰 市 东风 高级 中学
高校 自主招生考试数学试题材料鲜活 , 试题 的结构常以 
5 ~7道 解答 题 的形 式 出现 ( 20 如 0 8年 清 华 大 学 、 京 大 学 、 北  

4 2 0  40 1

甘志 国 

作 为特殊 角 的三 角 函数 值 列 出 —— 此 值 为 黄 金 分 割 数 
0 6 8的 一 半 , 好 记 的 ; 一 数 学 老 师 应 当介 绍  .1 挺 高

浙江大学的 自主招生试题 ) 也有与本 省高 考数学试 卷 的形  , 式类似的( 2 0 山东 大学 自主招 生试题 ) 试题 的难度  如 0 8年 ,


s l 。的值 及其算法 , i8 n 并不难 )  :
由公 式 s 2 = 2 i cs csc 4 o  一3 oa 及  ia n s a oa,o3 ̄= cs n cs
s 3 。: cs4 。 得 2 il 。ol 。= 4 o 8 i6 n o5 。 立 s 8 cs8 n cs1。一3 o1。  cs8 , 2il。: 4 o 1 。一3 : 4 1一sn1。 s 8 n cs 8   ( i 8 )一3    ,
4sn 8 + 2snl 。 一 1 = 0. i 1 。 i 8  

般略 高于高考题. 面介绍 几道 2 0 下 0 8年 自主招生数 学试 

题, 且这里给 出的解答多与原参考答案不同.   题 1 (0 8年北京大学 自主招 生数学 试题 )求 证 :   20 边  长为 l的正 五边形对角线长为L 
. 

s nI i 8。 =  

原参考解答是用平面几何 中的三角形相 似证 得的 , 下面  给出一种三角解法.   解  选择正五边形 的两条共顶点 的对角线及其一边组 

所 所 正 边对 线 为 = 以 求 五 形 角 长  
是一个无理数.  

=} L 

成等腰 三角形 , 再作其底边 上 的高 , 又设这 个正五 边形对 角 

题 2 (08   20 年复旦大学 自主招生数学试题 ) 请证明√  

线 为,s8=   1  长  i。譬,  . 得n 1 =
下 面求 。n8 实际上 , i1 。( 有很 多资料把 il。 : n8  
4  

证明  假设  是有理数 , 则可设  =旦 (  是两个互  m,
质 的正 整 数 ) 得 m , 。=2  所 以 m 是 偶 数 , 而得 m也 是偶  n, 。 进

数( 因为 当 m是奇数时 , 是奇数 ) 又可得 m。 m  , (=2   n )是 4  
的倍数 ,  n 是偶数 ,也 是偶 数 , m, 均是偶数 , n 得 n 这与 m,  i rE  S
质 矛 盾 ! 明  是 无 理 数. 说  

s (≤ 詈 ,  ’ i o ≤ ) n o 得  
:  +  :

拿i + 。, s   s n    

以上证 明初二学生 即可弄懂 , 反证 法教科 书上虽然 作 了  介绍 , 但平时训 练 的极少 , 以学 生 对这 种 证法 很 陌 生 ( 所 而  20 0 8年高考数学 江苏卷第 1 9题第 ( )问就是需 要用反 证法  2 证 明的题 目)我 们在平时 的教学 中应 当重视这方面 的训练. ,   √  还 是 人 类 历 史 上 发 现 的 第 一 个 无 理 数 , 是  P taoa ( 公 元 前 5 0年 ,希 腊 学 者 )学 派 的 成 员  yh grs 约 0 Hip ss p au 所发现 的, 而产 生 了数 学史 上的第 一次危 机 , 从 所  以学生还应 当尽 可能的通过课外 阅读等手段 扩大知识面.   题 3 (0 8年浙江大学 自主招 生数学试题 )A = } , 20 , (  
t = 
=  

5 i . _  2 5 (1 sn0 +  



c)寻i + (   詈, 。 : s 妒。 ≤ ) s n )≤   (  

其 中 

ac。   rc 1

由 也 得 当 仅     詈即 =rn 也   此 可 :且 当 +   ai1 即 c  s

1是 = 或 古 , =   就  手 一 时 吾.  
所 所 。 取 范 是 拿, . 以求 的值 围 [ +    )

yI 一)+) 2 ≤ ,={ , l ~ I2 ) ( 1 (一) ÷}     ,   B (, J 1+   ,     f )  
Y一2l 口}A B, 0的取值范 围.  ≤ ,  求   原参考解答是 : 通过换元后 可知 , 题意 即, { ,)I 若 ( Y  
+   ≤ 

0Y> ,  + ,=、 , 0Ⅱ= yb  



,=   , 是否存 c m 问  

5}  

{  y I l   yl 。 , ( )l   +2I  ≤ }求正数 。的取值   


范围.  

再通过画图( 由对称 陡, 可以只考虑第一象限的图形 )得圆  ,

, ,+ 

> m 

+ ≤ 圆 即 标 点 直  2=的 离 小   y }的 心 坐 原 到 线 + n距 不 于 2 y
该圆的半径  , 得所求 。的取值范围是[ ,   +*) .  
下面给 出一种所用知识更少 的解 法.  

【  

+m  

> +    

可设 , = k ( > 0 , , 2    , ) 得 

r +后 +41+ +  >m   1     k k
【、  
+ 

+m k>1+k  2
> m 

解 意 ,(一)+y2 ≤ j 一I  题 即若  1 (一) }   1       l   +
2} y一2I 口 求实数 。的取值范 围.  ≤ ,  

因  一1 为( )  一 )  +( 2  ≤÷岱 l 2l    y一  ≤

【> ÷ m   
…  

√ 一 一 所 题 等 于I 一  2 ÷ ( 1, 以 设 价   1+   ) I
√ 一 一  。成.I 1   o设 ÷ ( 1≤恒立     , ≥,    ) 设 一l 得 题 =
即函数  =t   + 种方 法求  .  
法 1 可 得(    —t : 5—4   )   t,
5 一2t   一5 = 0  t z +( ) ,





 

二  

一4  t 0 t( ≥ )的最 大值  ≤口 下面用两  … ,

m的值有无数多个 , 其取值 范围是 ( 2一√ 2+√ )  ,  .  

6 满 + + : ,证: + ) + (+ ≥ 、 足。 b 。 1 。 求 (   ( ÷) 上)  。 6 c

△ =4 一2 (。一5   0z )≥ 0  


寻≤≤ ,  ÷  
若 数口 满 + : ,证: + (+ ≥ 正 、 足。 6 1 6 求 ( 上) ÷)   。 6


还 得 且 当= 即 = 或 ÷ , ÷所 可 当 仅 t 1  寻 一 时 = ,      
÷ .  
法  可 —£ 0 ≤ 拿, 以 设t  2 得5 4 ≥ ,  ≤ 所 可 : 2 0

简 证如下 : 0<。 ≤ ( +b。   又函数, )= 先得 6 丁 )= 1 a (  




÷ (1 是 函 , n ≥ += 再 在 ,上 减数 以6 ÷ 4   0) 所  1  ,
(   ) 6+ 1) = ( 6+ 。+ (   。  

∑n  
i= l  

得 

c 当  更  =。 当。 :=… =  

r 上  

D  

ao

)+ (  





詈)  + 0 ≥斗      
兀( +) 。 。    

2 孕  =,
对 于该 题 的深 入 研 究 , 会 得 到 题 5的 问 题 . 面 给 出  就 下

证 珥( a   明   i=
a  。  ∑   一
l≤ i I≤ n   1≤ i i   I< 9≤

题 5的两个简证 , 并推广其结论.   证 法 1 因为在题 5的不等式 中 ,   当且仅当 。=b=c=    
1 时取 等 号 为 了使 。+  


兀。  

+ a2∑ 。。   n - 2    

+ … +      

: 。+  

+  

+. _  ( m .+ _ 共  

n 

i≤  l< < ‘ < i 一1≤    2 n
  、

∑   nn?  +2…   2?一 n :n) 2  。 , 。    。   2
n 

个  ) 能使用均值不等式且等号能取到 , 让 。:— 应  且 。:  
-  

n+∑n    


l  

I≤ i  

∑  
t <  2



得 m : 9 所 以有 如 下 证 法 : ,  
n  。 +  =

兀  

r +  1   。
r●. L 1 


+ 
f  

。  



对 

+ … + (   /   )≥ 1  共 …    ( 9个  ) ≥  0 共 r

注 到 式 ∑ 意 和    (。 …   是c项的 由 。。 n)   和,       均值 不 等式,    得 ∑   (, " i ≥ C   no  ̄k  i. ) 2a   ?
?  :  

取 
(。 ”  9)
、J

等  号 
、 
、、 

同理 , 有 
6+    1

, J-● ● ●●● ● ●●● t , f ● ● ● ● ● ● '

≥ 

?

  Y (b9  9 )
。 +





> 0^   1 ̄ C 1 o /


÷( ÷ ÷ 。 l a , )+  +   ’o b   6  ̄  c      ̄
) : ,     可得 : r+ a ) 6+ (上   (  

(  肷 河 (  当
所 以 

一 撇   …n ?

再 由 0 <r c ( 上 ≤   6





ai +



i 1 =  

)  

÷ (  ) /当 仅 。 b 。 了时 等 ) D   C ≥   且 当 : : :1 取 号.   +  ) ( j    
由 此思 路 , 可 证得 . 还  

:  
i= 1  

:n k    2 n  
一  

f 1
n 

推  若 数。,, , 满 广1 正 .: n 足∑n= , 兀( n…    1 则 。  


( 1  ’  ‘   , 、 /

÷ ≥n÷  且 当 。 . 。 时  a ( )当仅 。 : .   n 取   + ( ) : _? = =
证 法2 (   ) + (+ )  + ( 士)     6 。
:   .  .   :  

等号) .  

[   =  瘃  
n   『__

a 

b  

c  

, ^r + r b +b r + c仃 】    ,     2 2  2  、 + r   + b 4  、 + 1 n 2 -r  

0√ 。 , ( 仅 。 。   珥  - 当 当- :  第 ≤  且   …一n   1 时
再 由函数_ )= +一 在 (   ]上是 减 函数 , 得  厂 (   a 0, 可

∑n  

≥ !± (   : :  


: : ± (  盈
aoc  

2  ±

(  

+ ̄ )     /  ,
ac b 

再 由 o < 。c≤ ( 6  

) = , 函数  )   +     及  =  

赢 ≥  竽

在 ( ,)上 是 减 函 数 , 得 要 证 结 论 成 立 ! 01 可  

tg2 若a l2 n R , i   ,   S- , a …, a ,     ∑a≤n 则  


相关文章:
自主招生 自我介绍
自主招生 自我介绍_高中作文_高中教育_教育专区。...在高中三年,我担任班级学习委员和数学 课代表,积极...文档贡献者 天下第一大总攻 贡献于2016-11-08 ...
高考自主招生面试自我介绍
高考自主招生面试自我介绍_其它课程_高中教育_教育专区。尊敬的各位老师: 您好! 我是来自吉林省 xx 中学文科实验班的 xx。真心希望通过贵校的 自主招生来实现我在...
自主招生面试自我介绍
自主招生面试自我介绍_面试_求职/职场_实用文档。自主招生面试 自我介绍 各位老师: 早上好!我是考生 XXXX,很高兴也很荣幸贵校能给我这个机会参加面试,对此,我首 ...
自主招生面试自我介绍
自主招生面试自我介绍 篇一:自主招生面试>自我介绍...做了近五年的奥赛试题,每天忙到深夜,一大早又急 ...*年取得 **省高中数学竞赛三等奖和**市高中数学...
(甘志国)介绍18道日本高考数学题
(甘志国)介绍18道日本高考数学题_数学_高中教育_教育专区。介绍 18 道日本高考...第二次为各大学自主招生考试.这一规定从 1979 年 实施至今.日本的大学入学考试...
自主招生&自我介绍
自主招生&自我介绍_语文_高中教育_教育专区。1.制定...保持进场时的状态,和评委道别,将自己东西都带齐、...并于 XX 年 取得 XX 省高中数学竞赛三等奖和 XX...
数学自主招生命题趋势免费学习_undefined高中_教学视频...
课程介绍: 本课程为自主招生的入门课程,由自主招生辅导专家樊兆春老师谈谈2013年自主招生的命题趋势,分析自主招生的考点、难点,区别自主招生与高考的不同之处,以及自主...
自主招生个人陈述自荐书范例
我曾利用 假期与同学一道深入社区到有困难或残疾人...在理科中,我更喜欢数学,我喜欢 数学那充满逻辑性又...此致自主招生学生个人陈述敬礼 申请人:某某 2015 年...
最新自主招生面试自我介绍
最新自主招生面试自我介绍_资格考试/认证_教育专区。最新自主招生面试自我介绍【篇...并于 XX 年取 得 XX 省高中数学竞赛三等奖和 XX 市高中数学竞赛二等奖。 ...
自主招生面试自我介绍
自主招生面试自我介绍_理学_高等教育_教育专区。《就任...北大的物理、数学、化学、生物等理科学院在国内大学...2014年证劵市场基础知识冲刺试题 2014年统计法基础知识...
更多相关标签: