当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学选修2-1 立体几何中的向量方法课件集(5课时) 人教版


3.2立体几何中的向量方法(一)
-----直线的方向向量与平面的法向量

上一节,我们把向量从平面推广到空间,并 利用空间向量解决了一些立体几何问题.本节 我们进一步学习立体几何中的向量方法. 立体几何研究的基本对象是点、直线、 平面以及由它们组成的空间图形.为了用空间 向量解决立体几何问题,首先必须把点、直线、 平面的位置用向量表示出来.

思考
如何确定一个点在空间的位置?在空间中给一个 定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空 间的位置吗?给一个定点和两个定方向(向量),能 确定一个平面在空间的位置吗?给一个定点和一 个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?

1、点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点, 那么空间中任意一点P的位置就可以用 向量OP来表示。我们把向量OP称为 点P的位置向量。
P

A

2、直线的方向向量

空间中任意一条直线 l的位置可以由 l上 一个定点A以及一个定方向确定。
P

a
B
A

AP ? t AB
这样,点A和向量 a 不仅可以 确定直线l的位置,还可以具体 表示出l上的任意一点.

3、平面的法向量

空间中平面?的位置可以由 ?内两条 相交直线来确定。 OP ? xa ? yb
这样,点O与向量 a , b 不仅可以确定平面 ? 的位置,还可以具体表 示出 ? 内的任意一点
α

P

b o a

类似于直线的方向向量,还可以用平面的 法向量表示空间中平面的位置 l

法向量:如果表示向
量a的有向线段所在直线垂 直于平面α,则称这个向 量垂直于平面α,记作 α a⊥α,如果a⊥α ,那么向 量a叫做平面α的法向量 问题:法向量如何确定平面的位置?

a A

给定一点A和一个向量a,那么,过点A,以向 量a为法向量的平面是完全确定的。

例:已知AB ? (2, 2,1), AC ? (4,5,3),
设平面的法向量为n ? (x,y,z), 则n ? AB,n ? AC ? (x,y,z) (2, 2,1) ? 0,(x,y,z) (4,5,3) ? 0, 1 ? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ?x ? 即? , 取z ? 1,得 ? 2 ?4 x ? 5 y ? 3 z ? 0 ? ? y ? ?1 1 3 ? n ? ( , ?1,1),| n |? 2 2 1 2 2 ? 求平面ABC的单位法向量为 ? ( , - ,) 3 3 3

求平面ABC的单位法向量。

问题:如何求平面的法向量?
(1)设出平面的法向量为 n ? ( x, y, z)
(2)找出(求出)平面内的 两个不共线的 向量的坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 ?n ? a ? 0 方程组? ?n ? b ? 0
(4)解方程组,取其中的一 个解,即得法向量。

4、法向量的运用
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置,所以我们可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂 直、夹角等位置关系。

设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则

线线平行
线面平行

l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ;
l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ;

面面平行

? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? k v.

注意:1.这里的线线平行包括线线重合,线面平行 包括线在面内,面面平行包括面面重合。

设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则

线线垂直

l ⊥m ? a ⊥b ? a?b ? 0;
l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ;

线面垂直
面面垂直

? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.

l2 的方向向量,根据下列 例1 (1)设a ? b分别是直线 l1 ? 条件判断 l1 与 l 2 的位置关系:

① a ? (2,3, ?1), b ? (?6, ?9,3) ② a ? (5,0,2), b ? (0,4,0) ③ a ? (?2,1,4), b ? (6, 3, 3)

分析:直线方向向量与直线位置关系,

l1 ∥ l2 ? a ∥ b; l1 ⊥ l2 ? a ⊥ b
据此可判断两直线的位置关系

①平行②垂直③相交或异面

例1 (2)设 u? v分别是平面 ? ?? 的法向量,根据下列条件 判断 ? 与 ? 的位置关系: 1 ① u ? (1, ?1,2), v ? (3,2, ? ) ②u ? (0,3,0), v ? (0, ?5,0) 2 ③ u ? (2, ?3,4), v ? (4, ?2,1)

分析:平面法向量与两平面位置关系,

? ∥ ? ? u ∥v;? ⊥ ? ? u ⊥v
据此可判断两平面的位置关系

①垂直②平行③相交(不垂直)

例1 (3)设 u 是平面 ? 的法向量, a是直线 l 的方向向 量,根据下列条件判断 ? 与 l 的位置关系:
① u ? (2,2, ?1), a ? (?3,4,2) ② u ? (0,2, ?3), a ? (0, ?8,12) ③ u ? (4,1,5), a ? (2, ?1,0)

分析:直线方向向量与平面法向量关系和直 线与平面位置关系,

l ∥? ? a ⊥ u; l ⊥? ? a ∥u
据此可判断直线和平面的位置关系

① l ? ? 或l ∥? ②垂直③相交(斜交)

例2 已知平面? 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、 C(3,-2,0),试求平面? 的一个法向量.
解:∵ A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0) ∴

AB ? (1, ?2, ?4), AC ? (2, ?4, ?3)

设平面 ? 的法向量是 n ? ( x, y, z )
依题意,有 n ? AB ? 0且n ? AC ? 0 ,即 ∴平面 ? 的一个法向量是
? x ? 2 y ? 4z ? 0 ? ? 2 x ? 4 y ? 3z ? 0

解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2

n ? (2,1,0)

小结
1.直线的方向向量和平面的法向量是用空 间向量解决立体几何问题的两个重要工 具,是实现空间问题的向量方法的媒介. 2.要熟练掌握用直线的方向向量和平面的 法向量来研究直线、平面之间关系的原 理与方法,特别是直线、平面的位置关系 与方向向量、法向量之间的联系.

3.2立体几何中的向量方法(二)
-----利用向量解决平行与垂直问题

用向量运算处理平行关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

线线平行 线面平行

l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ; l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ;

面面平行

? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv .

注意:1.这里的线线平行包括线线重合,线面平行 包括线在面内,面面平行包括面面重合。

用向量运算处理垂直问题
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
线线垂直
线面垂直
面面垂直

l ⊥m ? a ⊥b ? a?b ? 0;
l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ;

? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.

典型例题
例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD 分析:证明线面问题,可利用三 种方法:一是证明 MN与平面 A1BD的法向量垂直;二是在 平面A1BD内找一向量与MN
D! N A! B! C! M C B

D A

平行;三是证明 MN 可以用平面 A1BD中的两不共线向量线性 表示.

例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD 法1:建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则可求得 M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0), A1(1,0,1),B(1,1,0).于是
1 1 MN ? ( , 0, ) 2 2
A x A! z D! N B! C! M C y B

D

设平面A1BD的法向量是 n ? ( x, y, z )

?x ? z ? 0 则 n ? DA1 ? 0且n ? DB ? 0, 得 ? ?x ? y ? 0
取x=1,得y=-1,z=-1, ∴ n ? (1, ?1, ?1)
∴ MN ∥ 平面A1 BD 1 1 又 MN ? n ? ( , 0, ) ? (1, ?1, ?1) ? 0,∴ MN ⊥ n 2 2

例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD 1 1 ∵ MN ? C N ? C M ? C B ? C1C 法2: 1 1 1 1 2 2
1 1 ? ( D1 A1 ? D1 D ) ? DA1 , 2 2
D!
N A!

C! M

∴ MN ∥ DA1 ,∴ MN ∥ 平面A 1B D
1 DA ? DD 法3:∵ MN ? C N ? C M ? 1 2 2
1 1 1 1 1

B!

D

C

1 1 A B ( DB ? BA) ? ( D1 A1 ? A1 D ) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? DB ? DA1 ? ( BA ? DA) ? DB ? DA1 ? BD ? DA1 ? 0 ? BD 2 2 2 2 2 2 2 ?

即MN可用 DA1与 DB 线性表示,故MN与 DA1 , DB

是共面向量,∴MN∥平面A1BD

变式 : 在正方形ABCD - A 中, 1B 1C1 D 1 求证 : 平面A 1 BD // 平面CB 1D 1 A
D

C

B
D 1

A1 分析 : 先建系, 然后证明A1 D // 平面CB1 D1
同理证明A1B // 平面CB1D1. 从而证明平面A1BD // 平面CB1 D1.

B1

C1

例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD得 交点,G为CC1的中点,求证A1O⊥平面GBD
D! C!
B! G D O A B C

证明:设 A1 B1 ? a, A1 D1 ? b, A1 A ? c,则

A!

a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0.
1 1 ∵ A1O ? A1 A ? AO ? A1 A ? ( AB ? AD ) ? c ? (a ? b ) 2 2 BD ? AD ? AB ? b ? a

1 1 1 1 OG ? OC ? CG ? ( AB ? AD ) ? CC1 ? (a ? b ) ? c . 2 2 2 2 1 1 1 ∴ A 1O ? BD ? (c ? a ? b ) ? (b ? a ) ? c(b ? a ) ? (a ? b ) ? (b ? a ) 2 2 2 2 1 2 1 ? c ? b ? c ? a ? (b ? a ) ? (| b |2 ? | a |2 ) ? 0 2 2 同理 A1O ? OG ? 0. ∴ A1O ⊥ BD , A1O ⊥ OG .又B D OG ? O ,

∴ A1O ⊥ 平面GBD

变式: 在三棱柱ABC ? A ' B ' C '中, A ' C ? AB ', 求证:BC ' ? AB '
C

C' A'

B'

底面是正三角形,AA ' ? 底面ABC,

B A

小结
1.用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问 题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同 时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的 定理. 2.用向量方法证明平行垂直问题的步骤:

(1)建立空间图形与空间向量的关系(建系或不建系 都可),用空间向量表示问题中涉及的点、线、面;
(2)通过向量运算处理平行、垂直问题; (3)根据运算结果解释相关问题.

补充作业: 如图, 直三棱柱ABC ? A1B1C1中, ?ACB ? 900 , AC ? 1, CB ? 2, 侧棱AA1 ? 1, 侧面AA1B1B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD ? 平面BDM
B

A D

A1

C

C1
M

B1

3.2立体几何中的向量方法(三)
-----利用向量解决空间的角问题

空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法,解题 时,可用定量的计算代替定性的分析,从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题,也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。

空间三种角的向量求解方法
1.两条异面直线所成的角
(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线 a ′∥a, b ′∥b,则a ′, b ′所夹的锐角或直角叫a与b所 成的角. ? (2)范围: (0, ] 2 (3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 a , b ,其夹角 为? ,则有 cos ? ?| cos ? |?
|a?b| |a |?|b|

(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的 方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时, 应取其补角作为两异面直线所成的角.

2.直线与平面所成的角

(1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.
(2)范围: [0, 向量为

?

(3)向量求法:设直线l的方向向量为 a ,平面的法 夹角为 ? ,则有

2

]

u ,直线与平面所成的角为 ? , a 与 u 的
|a?u| |a |?| u|

cos ? ?| cos ? |?

或 cos ? ? sin ?

3.二面角

(1)范围: [0, ? ]
(2)二面角的向量求法:
?
C A D

①若AB、CD分别是二面角? ? l ? ? 的两 个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角 ? AB 的大小就是向量 与 的夹角(如图 CD (1)) ?,? ? ?l ?? n1 , n2 ②设 是二面角 的两个面 n1 n2 ? 的法向量,则向量 与 的夹角(或其补 角)就是二面角的平面角的大小(如图(2))

B

l

n1

(1)
n2

l

?
(2)

例1: Rt?ABC中,?BCA ? 900 , 现将?ABC沿着

平面ABC的法向量平移到?A1B1C1位置,已知
求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1
F1

取A1B1、AC 的中点D1、F1, BC ? CA ? CC1, 1 1

B1
D1

A1
A

C

B

解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C ? xyz z 如图所示,设 CC1 ? 1 则: C

A(1, 0, 0), B (0,1, 0),

1 1 1 F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) 2 2 2 1 所以: AF1 ? (? , 0,1), 2
1 1 BD1 ? ( , ? ,1) 2 2

F1

1

B1

A1
A

C

D1

B y

x

1 ? ?1 AF1 ? BD1 30 4 cos ? AF1, BD1 ? ? ? ? 10 5 3 | AF1 || BD1 | 4 2

30 所以 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为 10

练习: 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB= 5,AD ? 8,

AA1 ? 4, M 为B1C1上的一点,且B1M ? 2,点N在线段A1D上,
A1D ? AN. (1)求证:A1D ? AM .
A1 B1 M
A(0,0,0), A1 (0,0, 4),D(0,8,0), M (5, 2, 4)

z
N

D1 C1
D

AM ? (5, 2, 4), A1D ? (0,8, ?4),

A B

y

AM ? A1D =0 ? A1D ? AM .

x

C

例2: 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB= 5,AD ? 8,

AA1 ? 4, M为BC1上的一点,且B1M ? 2,点N在线段A1D上,
A1D ? AN. (1)求证:A1D ? AM . (2)求AD与平面ANM 所成的角.
A(0,0,0), A1 (0,0, 4), D(0,8,0),

A1

z
N

D1 C1
D

AD ? (0,8,0), A1D ? (0,8, ?4),
2 5 cos ? AD, A1D ?? 5 AD与平面ANM 所成角的正弦值是

B1 M A
B

y

x

C

2 5 5

练习: 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C所成的角的余弦.
A1

以AB所在直线为x轴,AD所 B1 在直线为y轴,所在直线为z轴. 易求平面AB1C的一个法向量
A

D1 C1
D

n ? (1, ?1, ?1), 及B1C1 ? (0,1,0) B
故得B1C1与面AB1C所成得 角得余弦为 3
3

C

例3 如所示,A B C D 是一直角梯形,?A B C = 900 , 1 SA ? 平面ABCD, SA ? AB ? BC ? 1, AD ? , 求面SCD 2 与面SBA所成二面角的余弦值.

S
B
A D

C

例3 如所示, A B C D 是一直角梯形,?A B C = 90 ,
0

1 SA ? 平面ABCD, SA ? AB ? BC ? 1, AD ? , 求面SCD 2 z 与面SBA所成二面角的余弦值.
S

解: 建立空直角坐系A - xyz如所示,
1 A( 0, 0, 0) , C( - 1, 1, 0) , D (0, , 0), S (0, 0,1) 2

B
A D

C

易知面SBA的法向量n1 ? AD ? (0, , 0) 2
1 1 CD ? (1, ? , 0), SD ? (0, , ?1) 2 2

x1

y

y ? x? ? ? 2 ?? 任取n2 ? (1,2,1) ?z ? y ? ? 2 n1 n2 6 6 ? cos ? n1 , n2 ?? ? 即所求二面角得余弦值是 3 | n1 || n2 | 3

设平面SCD的法向量n2 ? ( x, y, z), 由n2 ? CD, n2 ? SD, 得:
y ? x? ?0 ? ? 2 ? ?y?z?0 ? ?2

小结:
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间

向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几
何问题转化为向量问题; (化为向量问题)

(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的
位置关系以及它们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

(回到图形问题)

小结:
1.异面直线所成角:

C

D

cos ? sin ?

?|cos ? CD, AB ?| ? | cos ? n, AB ? |

?

A

?
B

D1

A
O

2.直线与平面所成角:

n

?
?

B
n2
?

?

3.二面角: cos ? ? | cos ? n1 , n2 ?| cos ? ? ? | cos ? n1 , n2 ?|
关键:观察二面角的范围

n1
?

3.2立体几何中的向量方法(四)
-----利用向量解决空间的距离问题

向量法求空间距离的求解方法
1.空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线的 距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行 平面的距离、异面直线间的距离.其中直线到平面的 距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离. 2.空间中两点间的距离:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则

AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2

3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点, 点A为平面内的任一点,平面的法向量为n,过 点P作平面?的垂线PO,记PA和平面?所成的 角为?,则点P到平面的距离 n
? P

d ?| PO | ?| PA | sin ?
?A

O

?| PA | ?

| n ? PA | | n || PA |

| n ? PA | |n|

例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱 长为1,E为D1C1的中点,求下列问题:
1 解:A1 E =(-1, ,0),A1B=(0,1,-1) 2 设n ? ( x, y, z )为面A1 BE的法向量, A 1 1 ? ? 则 ?n ? A1 E ? 0, ?? x ? y ? 0, ? y ? 2 x, ? 2 即? ? z ? 2 x, ? ?n ? A1 B ? 0, ? ? y ? z ? 0, ? 取x=,得平面 1 A1BE的一个法向量n ? (1, 2, 2)
选点B1到面A1 BE的斜向量为A1 B1 ? ? 0,1, 0 ? ,

(1) 求B1到面A1BE的距离;

z

D1

E

C1

B1
D
C

A

y

x

B

得B1到面A1BE的距离为d ?

A1B1 ? n n

2 ? 3

例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱 长为1,E为D1C1的中点,求下列问题: (2) 求D1C到面A1BE的距离;
解:∵D1C∥面A1BE ∴ D1到面A1BE的距离即为 D1C到面A1BE的距离 仿上法求得
D1到面A1 BE的距离为d ? D1 A1 ? n n 1 ? 3

z

D1
A1

E

C1

B1
D
C

A

y

x

B

例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱 长为1,E为D1C1的中点,求下列问题: (3) 求面A1DB与面D1CB1的距离;

z

解:∵面D1CB1∥面A1BD ∴ D1到面A1BD的距离即为 面D1CB1到面A1BD的距离
且 D1 A1 ? (1, 0, 0)
则D1到面A1 BD的距离为d ?

D1
A1

C1

易得平面A1 BD的一法向量 n ? ( ?1,1,1)
D1 A1 ? n n 3 ? 3

B1
D
A

C

y

x

B

例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱 长为1,E为D1C1的中点,求下列问题:
1 解:∵ D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 1 ? ? ? A1 E ? ? ?1, , 0 ? , D1B ? ?1,1, ?1? 2 ? ? 设 n ? ( x , y , z )是与 A1 E , D1 B都垂直的向量, A1 1 ? 则? n ? A E ? 0, ? 1 ? ? x ? y ? 0, ? y ? 2 x , ? 2 ? 即? z ? 3 x, ? ? ? n ? D1 B ? 0, ? x ? y ? z ? 0, ?

(4) 求异面直线D1B与A1E的距离.

z

D1

E

C1

B1
D
C

取x=1,得其中一个n ? (1, 2, 3)

选A1 E与BD1的两点向量为 D1 A1 ? ? 1,0,0 ? , D1 A1 ? n 14 ? 得A1 E与BD1的距离 d ? 14 n

A

y

x

B

课堂练习:
练习1:如图,空间四边形OABC各边以及AC, BO的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点, 连结DE,计算DE的长。
O

D

C E B

A

练习2:

已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E、F分别是B1C1和C1D1 的中点,求点A1到平 面DBEF的距离。 z D1 F C
1

A1 D

B1

E C y B

A x

练习3:
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1, ∠ACB=900,AA1= 2 , z 求B1到平面A1BC的距离。 C1 A1 C A x B y B1

小结
利用法向量来解决上述立体几何题目,最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置,完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性,用代数推理解立体 几何题目,关键就是得建立空间直角坐标系, 把向量通过坐标形式表示出来,所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如:正 (长)方体、直棱柱、正棱锥等。

已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面 ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD的中点, z G 求点B到平面GEF的距离。
x
F

D

C

A

E

B

y

3.2立体几何中的向量方法(五)
-----空间的综合问题

用坐标法解决立体几何中问题的一般 步骤:
1.建立适当的空间直角坐标系; 2.写出相关点的坐标及向量的坐标; 3.进行相关的计算; 4写出几何意义下的结论.

例2、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的中点,作EF ⊥PB交PB于点F。 (1)求证:PA∥平面EDB; (2)求证:PB ⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D的大小。
P F E C B

D
A

解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点, 设DC=1 (1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG

依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 E (0, , ) 2 2

Z

P F
D
G

因为底面ABCD是正方形, 所以点G是此正方形的中心, 1 1 故点G的坐标为( , , 0) 2 2
A X

E

C B

Y

1 1 且 PA ? (1,0,?1), EG ? ( ,0,? ) 所以PA ? 2EG ,即PA// EG 2 2

而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB
所以,PA // 平面EDB
Z

P F
D A X
G

E

C B

Y

(2)证明:依题意得 B(1,1,0), PB ? (1,1,?1)
1 1 1 1 又 DE ? (0, , ), 故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 2 2 2 2

所以PB ? DE

由已知EF ? PB, 且EF ? DE ? E ,
所以PB ? 平面EFD

Z

P F
D A X
G

E

C B

Y

(3)解:已知PB ? EF,由(2)可知PB ? DF , 故?EFD是二面角C ? PB ? D的平面角。

设点F的坐标为 ( x, y, z),则PF ? ( x, y, z ?1) 因为PF ? k PB
所以( x, y, z ? 1) ? k (1,1, ?1) ? (k , k , ?k )
Z

即x ? k , y ? k , z ? 1 ? k
因为PB ? DF ? 0
所以(1,1,?1) ? (k , k ,1 ? k ) ? k ? k ? 1 ? k ? 3k ? 1 ? 0 1 所以 k ? 3

P F
D A X
G

E

C B

Y

1 1 2 点F的坐标为 ( , , ) 3 3 3

1 1 又点 E的坐标为 (0, , ) 2 2

1 1 1 所以 FE ? (? , ,? ) 3 6 6
因为cos?EFD ? FE ? FD FE FD

1 1 1 1 1 2 1 ( ? , ,? ) ? ( ? ,? ,? ) 1 3 6 6 3 3 3 6 ? ? ? 1 2 6 6 ? 3 6 3

所以?EFD ? 60? ,即二面角C ? PB ? D的大小为 60?.

小结
利用空间向量解决立体几何中的问题, 首先要探索如何用空间向量来表示点、 直线、平面在空间的位置以及它们的关 系.即建立立体图形与向量之间的联系,这 样就可以将立体几何问题转化成空间向 量的问题.解决立体几何中的问题,有三种 常用方法:综合方法、向量方法、坐标方 法,对具体问题要会选用合适得方法.


赞助商链接
相关文章:
《立体几何中的向量方法》示范教案(第5课时)
立体几何中的向量方法》示范教案(第5课时)_高三...高中数学选修2-1北师大版... 3人阅读 10页 ¥...人教版高中数学课件第五... 58人阅读 19页 2下载...
高中数学选修2-1-空间向量与立体几何
高中数学选修2-1-空间向量立体几何_数学_高中教育...第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标:1.理解...? ? ? 5.空间向量基本定理:如果三个向量 a 、 ...
选修2-1 3.2立体几何中的向量方法(一)
选修2-1 3.2立体几何中的向量方法(一)_数学_高中教育_教育专区。选修 2-1...向量 a=(2,3,1),b=(5,6,4),则平面 α 的一个法向量为( A.(1,-1...
...人教A版数学选修2-1 3.2 立体几何中的向量方法
2016新课标三维人教A版数学选修2-1 3.2 立体几何中的向量方法 - 立体几何中的向量方法 第一课时 空间向量与平行、垂直关系 预习课本 P102~108,思考并完成以下...
立体几何中的向量方法第一课时
高二数学选修 2 ---1 班级___ 姓名___ 主备人___高建春 审核:高二数学组 立体几何中的向量方法(第一课时)【学习目标】 1.理解直线的方向向量和平面的法...
人教A版选修1-1教案——立体几何中的向量方法第5课时(...
人教A版选修1-1教案——立体几何中的向量方法5课时(含答案) - §3.2.5 综合问题 【学情分析】 : 教学对象是高二的学生,学生已经具备空间向量与立方体几何...
《立体几何中的向量方法》教学设计(第5课时)
立体几何中的向量方法》教学设计(第5课时)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。教学设计 3.2 立体几何中的向量方法 第 5 课时 教学目标 知识与技能 1.能用...
选修2-1-第三章-立体几何中的向量方法(2)
选修2-1-第三章-立体几何中的向量方法(2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。3.2 1. 空间向量与空间角的关系 立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、距离...
2015-2016学年人教A版选修2-1 立体几何中的向量方法 教案
2015-2016学年人教A版选修2-1 立体几何中的向量方法 教案_数学_高中教育_教育...5 ?? 。 2 5 sin 108? 因此, ? ? ? ? arccos 5 ,或 ? ? 116?33...
...第三章第二节立体几何中的向量方法(导学案)
人教版高中数学选修2-1 第三章第二节立体几何中的向量方法(导学案)_数学_高中教育_教育专区。选修 2-1 第三章 立体几何中的向量方法 导学案 1 空间向量与异...
更多相关文章: