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2.3.1直线与平面垂直的判定


2.3.1直线与平面垂直的判定

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例

大桥的桥柱与水面垂直

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例

旗杆与地面垂直

引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么?
A
旗杆AB所在直线与地面内 任意一条过点B的直线垂 直. 与地面内任意一条不过点B 的直线B1C1也垂直.

α

B

直线垂直于平面内的 任意一条直线.

直线与平面垂直

如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面 ? 的垂线

垂足

l
直线 l 的垂面

?
直线与平面的 一条边垂直

P

直线与平面垂直

除定义外,如何判定一条直线与平面垂直呢?

思考:
1.能不能像判定直线与平面平行那样,利用直线与 平面内的一条直线垂直来判定直线与平面垂直呢?
l
C

?

B

思考:
2.一条直线不行,那么又能不能像判断平面与平面 平行那样,利用直线l与平面内两条直线m,n都垂 直来判定直线与平面垂直呢?
l
m

?

n

当平面内m,n平行的时候,这并不能 判定l垂直于α

直线与平面垂直 那平面内的两条直线相交时又是什么情况呢?
A A 如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验: A

l
C

A
D

?
B B
D D

P
C C

? C ?

B B

D

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直 过 ?ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD ,将翻 线与桌面所在平面 ? 垂直. 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC于桌面接触)

直线与平面垂直判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?
线线垂直 判定定理

l?a l ?b

l

b

?

A

a

线面垂直

典型例题
例1 一旗杆高8m,在它的顶点出系两条长10m的绳子,拉紧绳子 并把它们的下端固定是地面上的两点(两点与旗杆脚不共线), 若这两点与旗杆的距离都是6m,那么旗杆就与地面垂直。为什么?

解:如图,旗杆PO=8m,两绳长PA=P B=10m,OA=OB=6m。 因为 A,O,B三点不共线, 所以 A,O,B三点确定平面α。 2 2 2 又因为 PO2 +OA2 =PA2 PO +OB =PB 所以 PO ? OA PO ? OB 又因为 OA ? OB=O 所以 PO ? ? 因此,旗杆OP与地面垂直。

P

O A B

典型例题
例2 如图,已知 a // b, a ? ? ,求证

b ? ?.
b
n

证明:在平面 ? 内作 a 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ?, 根据直线与平面垂直的定义知
a ? m, a ? n.

?

m

又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n. 又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

巩固练习
练习1 如图,空间中直线l和三角形的两边AC,BC同 时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系 是( ) A平行 B垂直 C 相交 D不确定

巩固练习
练习2 圆O所在一平面为,AB是圆O 的直径, ? PA AB,? C 是圆周上一点,且PA AC, 求证: (1)PA BC (2)BC ? 平面PAC ? (3)图中哪些三角形是直角三角形。

知识小结
1.直线与平面垂直的概念 2.直线与平面垂直的判定、性质

线线垂直

线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想 空间问题

平面问题


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