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2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第六节直线与圆锥曲线的位置关系模拟创新题文


【大高考】 2017 版高考数学一轮总复习 第 9 章 平面解析几何 第六 节 直线与圆锥曲线的位置关系模拟创新题 文 新人教 A 版
一、选择题 1.(2016?山东东营第二次质量检测)已知抛物线 y =8x 的准线与双曲线 2-
2

x2 y 2 =1 相交于 a 16
)

A,B 两点,点 F 为抛物线的焦点,△ABF 为直角三角形,则双曲线的离心率为(
A.3 C. 6 B.2 D. 3

解析 由题意知,抛物线的准线 x=-2,△ABF 是等腰直角三角形, 如图易知 A(-2,4), 代入 2- =1, a 16

x2

y2

c a2+16 18 即得 a= 2,∴双曲线的离心率为 e= = = =3. a a 2
答案 A 2.(2015?马鞍山模拟)以双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的中心 O(坐标原点)为圆心,焦距 为直径的圆与双曲线交于 M 点(第一象限),F1,F2 分别为双曲线的左、右焦点,过点 M 作 x 轴垂线,垂足恰为 OF2 的中点,则双曲线的离心率为( A. 3-1 C. 3+1
2

x2 y2 a b

)

B. 3 D.2

解析 过点 M 作 x 轴垂线,交 x 轴于点 A,由|MF2| =|F2A|?|F1F2|得|MF2|=c,由双曲线 定义|MF1|-|MF2|=2a, 得|MF1|=2a+c, 由|MF1| +|MF2| =|F1F2| =4c , 得 c -2ac-2a =0,即 e -2e-2=0,得 e= 3+1. 答案 C
2 2 2 2 2 2 2

3.(2016?东北四校联考)设 P 是椭圆 + =1 上一点,M,N 分别是两圆:(x+4) +y =1 25 9 和(x-4) +y =1 上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( A.9,12 C.8,12 B.8,11 D.10,12
2 2

x2

y2

2

2

)

1

解析 如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定 义知|PA|+|PB|=2a=10, 连接 PA,PB 分别与圆相交于 M,N 两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA| +|PB|-2R=8;连接 PA,PB 并延长,分别与圆相交于 M,N 两点,此时|PM|+|PN|最大, 最大值为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为 8,12.] 答案 C 4.(2016?四川成都第二次诊断)已知抛物线 y=x 的焦点 F,过点(0,2)做直线 l 与抛物 线交于 A, B 两点, 点 F 关于直线 OA 的对称点为 C, 则四边形 OCAB 面积的最小值为( A.2 3 C. 3 2 B. 3 D.3 )
2

解析 不妨设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<0<x2),即点 A 在点 B 左侧,当直线斜率不存在时, 不满足题意,故可设直线方程为 y = kx + 2 ,联立抛物线方程可得 x - kx - 2 = 0 ,故
2

x1+x2=k, ? ? ?x1x2=-2, ? ?y1y2=4
1 1 1 9 ∴SOCAB=S△OAB+S△OFA= ?2?(x2-x1)+ ? ?(-x1).=x2+ (-x1)≥2 2 2 4 8 3. 答案 D 二、填空题 9 (-x1x2)= 8

x2 y2 5.(2014?宜宾二模)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1,F2,过 F2 作椭圆长 a b
轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为________. 解析 由题意得|PF2|= ,又|F1F2|=|PF2|,∴2c= ,∵b =a -c ,∴c +2ac-a =0, ∴e +2e-1=0,解得 e=-1± 2,又 0<e<1,∴e= 2-1. 答案 2-1 创新导向题 双曲线定义的综合应用 6.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B 分别是双曲线 x - =1 的左,右焦点,△ABC 的 3 sin A-sin B 顶点 C 在双曲线的右支上,则 的值是________. sin C
2
2 2

b2 a

b2 a

2

2

2

2

2

y2

sin A-sin B |BC|-|AC| 解析 由正弦定理得 = sin C |AB| 2a 1 =- =- . 2c 2 1 答案 - 2 椭圆中参数的取值范围问题 7.已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴顶点为(0,2),它的两个短轴顶点和焦点所 组成的四边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的 → → 两点 A,B,且AP=2PB. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围. 解 (1)由题意,知椭圆的焦点在 y 轴上,

y2 x2 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b
由题意,知 a=2,b=c,又 a =b +c , 则 b= 2,所以椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知直线 l 的斜率存在, 设其方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立,
? ?y +2x =4, 即? 消去 y,得 ?y=kx+m, ?
2 2 2 2 2

y2 x2

(2+k )x +2mkx+m -4=0, Δ =(2mk) -4(2+k )(m -4)>0, 由根与系数的关系, 2mk ? ?x +x =-2+k , → → 知? 又AP=2PB, m -4 ? ?x ?x =2+k ,
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2

2

2

2

即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m),所以-x1=2x2. 则?
? ?x1+x2=-x2, ?x1x2=-2x2, ?
2

所以

2 m2-4 ? 2mk 2? .整理,得(9m2-4)k2=8-2m2, ? 2=-2? 2+k ?2+k ?
3

又 9m -4=0 时等式不成立, 8-2m 4 2 2 所以 k = 2 >0,得 <m <4,此时 Δ >0. 9m -4 9 2? ?2 ? ? 所以 m 的取值范围为?-2,- ?∪? ,2?. 3? ?3 ? ? 专项提升测试 模拟精选题 一、选择题 8.(2016?湖北八校联考)点 A 是抛物线 C1:y =2px(p>0)与双曲线 C2: 2- 2=1(a>0,b >0)的一条渐近线的交点(异于原点),若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,则双曲线
2 2

2

x2 y2 a b

C2 的离心率等于(
A. 2 C. 5

) B. 3 D. 6

? ? 解析 不妨设点 A 在第一象限,A 的坐标为? ,p?,C2 的渐近线为 y=± x,得 ? =p, a a 2 ?2 ?
p b b p b c2-a2 即 = =2,e= 5. a a
答案 C 9.(2015?太原模拟)已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于点 A,B,若|AB|=|AF2|,∠F1AF2=90°,则双 曲线的离心率为( A. 6+ 3 2 5+2 2 2 ) B. 6+ 3

x2 y2 a b

C.

D. 5+2 2
2 2

解析 设|AF1|=x,|AF2|=y,则有 y-x=2a ①,又因为∠F1AF2=90°,所以 x +y = 4c
2

②,F2A⊥BF1,又因为|AB|=|AF2|=y,所以 BF2= 2y,则|BF1|-|BF2|=x+y- 2y
2

3 2 c =2a ③,联立①② ③得e = 2= ,所以e= 6+ 3,故选B. a 3-2 2 答案 B 二、填空题 10.(2016?云南师大附中适应性月考)已知点 P(x,y)在椭圆 + =1 上,若定点 A(5, 64 39

x2

y2

4

→ → → → 0),动点 M 满足|AM|=1,且PM?AM=0,则|PM|的最小值是________. → 解析 由|AM|=1 可知点 M 的轨迹 为以点 A 为圆心, 1 为半径的圆, 过点 P 作该圆的切线, → → 2 2 2 2 2 则|PA| =|PM| +|AM| ,得|PM| =|PA| -1,所以要使|PM|的值最小,则要|PA|的值最小, → → 而|PA|的最小值为 a-c=3,此时|PM|=2 2. 答案 2 2 三、解答题 11.(2015?巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是 F1(-1,0),F2(1,0),过点 F2 垂直于 长轴的直线交椭圆于 P,Q 两点,且|PQ|=3. (1)求椭圆的方程; (2)过 F2 的直线与椭圆交于不同的两点 M,N,则△F1MN 的内切圆面积是否存在最大值?若 存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

x2 y2 解 (1)设椭圆的方程是 2+ 2=1(a>b>0), a b
2b x 由交点的坐标得 c=1,由|PQ|=3,可得 =3,解得 a=2,b= 3,故椭圆的方程是 + a 4
2 2

y2
3

=1.

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),不妨设 y1>0,y2>0, 设△F1MN 的内切圆半径是 R,则△F1MN 的周长是 4a=8,

S△F1MN 最大,R 就最大, S△F1MN= |F1F2||y1-y2|=y1-y2,
由题知,直线 l 的斜率不为 0,可设直线 l 的方程为 x=my+1, 1 2

x=my+1, ? ? 2 2 由?x y + =1, ? ?4 3
得(3m +4)y +6my-9=0, -3m-6 m +1 -3m+6 m +1 解得 y1= ,y2= , 2 2 3m +4 3m +4 12 m +1 则 S△F1MN= , 2 3m +4 12 2 令 t= m +1,则 t≥1,则 S△F1MN= , 1 3t+
2 2 2 2 2

t

5

1 1 令 f(t)=3t+ ,f′(t)=3- 2,

t

t

当 t≥1 时,f′(t)≥0,f′(t)在[1,+∞)上单调递增, 12 12 有 f(t)≥f(1)=4,S△F1MN≤ =3, 即当 t=1,m=0 时,S△F1MN≤ =3,S△F1MN=4R, 4 4 3 9π 所以 Rmax= ,此时所求内切圆面积的最大值是 , 4 16 9π 故直线 l:x=1,△F1MN 内切圆的面积最大值是 . 16 创新导向题 椭圆中的求值及最值问题 12.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为(1,0),离心率为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的左焦点且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点. ①若以 MN 为直径的圆过坐标原点 O,求 k 的值; ②若 P(-1,2),求△MNP 面积的最大值. 解 (1)由椭圆的右焦点为(1,0)知 c=1,

x2 y 2 a b

2 . 2

∵离心率 e= =
2

c a

2 , 2
2 2

∴a= 2,∴b =a -c =2-1=1, ∴椭圆 C 的方程为 +y =1; 2 (2)由(1)知,直线 l 的方程为 y=k(x+1),

x2

2

x ? ? +y2=1, 联立? 2 ? ?y=k(x+1)
并整理得(1+2k )x +4k x+2k -2=0. 设 M(x1,y1)、N(x2,y2), 4k 2k - 2 则有 x1+x2=- 2,x1x2= 2. 1+2k 1+2k → → ①由以 MN 为直径的圆过原点知OM?ON=0, ∴x1x2+y1y2=0,∴x1x2+k (x1+1)(x2+1)=0, ∴(1+k )x1x2+k (x1+x2)+k =0,
2 2k -2 2 4k 2 2 ∴(1+k ) 2-k 2+k =0,即 k -2=0; 1+2k 1+2k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

6

∴k=± 2. ②|MN|= 1+k
2 2

(x1+x2) -4x1x2
2

2

= 1+k

?- 4k 2? -42k -2=2 2 k +1 . ? 1+2k ? 2 2 1+2k 2k +1 ? ?
2 1+k
2

2

2

2

点 P(-1,2)到直线 MN 的距离 d=
2


2

1 k +1 2 1+k ∴S△MNP= ?2 2 2 ? =2 2 2, 2 2 2k +1 1 + 2k 1+k 令 t= 1+k ,则 t≥1. 1+k t 2 2 ∴S△MNP=2 2 2 2 = . 2 =2 1+2k 2t -1 1 2t-
2 2

t

1 ∵当 t≥1 时,2t- ≥1,

t

∴S△MNP≤2 2. ∴△MNP 面积的最大值为 2 2. 椭圆中的探索性问题 13.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),F1,F2 是左右焦点,A,B 是长轴两端点,点 P(a,b) 与 F1,F2 围成等腰三角形,且 S△PF1F2= 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 Q 是椭圆上异于 A,B 的动点,直线 QA、QB 分别交直线 l:x=m(m<-2)于 M,N 两点. → → ①当QF1=λ MN时,求 Q 点坐标; ②是否存在实数 m,使得以 MN 为直径的圆经过点 F1?若存在,求出实数 m 的值,若不存 在.请说明理由. 解 (1)F1(-c,0),F2(c,0),由题意可得 F1F2=PF2,
2 2 2

x2 y 2 a b

∴(a-c) +b =4c , 1 由 S△PF1F2= 3可得, ?2c?b=bc= 3. 2 两式联立解得 a=2,b= 3, 所以椭圆的方程为 + =1. 4 3

x 2 y2

7

→ → (2)①∵QF1=λ MN,∴QF1∥MN,∴QF1⊥x 轴. 由(1)知,c =1,∴F1(-1,0), 1 y 设 Q(-1,y),则有 + =1, 4 3 3? 3 ? ∴y=± ,∴Q?-1,± ?. 2? 2 ? ②设 Q(x0,y0),则 kQA=
2 2

y0 ,直线 QA 方程为 x0+2

y=

y0 (x+2), x0+2

? (m+2)y0?, 令 x=m 得 M 点坐标为?m, x0+2 ? ? ?
同理 kQB= ,直线 QB 方程为 y= (x-2), x0-2 x0-2

y0

y0

? (m-2)y0? 得 N 点坐标为?m, x0-2 ? ? ?
(m+2)y0 (m-2)y0 2 2 2+x0 x0-2 (m -4)y0 ∴kMF1?kNF1= ? = 2 2 m+1 m+1 (m+1) (x0-4) 又 Q(x0,y0)在椭圆上,

x0 y0 y0 3 ∴ + =1? 2 =- , 4 3 x0-4 4
(m -4) ∴kMF1?kNF1= 2? (m+1)
2

2

2

2

=-1.

解得 m=-4,所以存在实数 m=-4,使得以 MN 为直径的圆经过点 F.

8


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