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平面向量数量积的物理意义及定义


2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义 2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义

复习思考:
运算结果

向量的加法

向量 向量 向量 ?

向量的减法
实数与向量的乘法

两个向量的数量积

复习引入
1. 两

个非零向量夹角的概念:

复习引入
1. 两个非零向量夹角的概念: ? ? ? 已知非零向量 a和 b , b

? a

复习引入
1. 两个非零向量夹角的概念: ? ? ? 已知非零向量 a和 b , b ? ? 作OA ? a, OB ? b ,

? a

?B b O ? a

A

复习引入
1. 两个非零向量夹角的概念: ? ? ? 已知非零向量 a和 b , b ? ? 作OA ? a, OB ? b ,

? a

则?AOB ? ? (0 ? ? ? ? ) ? ? 叫做向量a和b 的夹角 .

?B b ? O ? a

A

复习引入
(1) ? ? 0 时, a 与b 同向; ? ? ( 2) ? ? ? 时, a与b 反向;

(3) ? ?
b a
? ?0

?

2

时, a ? b ;
b
? ??

a

b
??

?
2

a

(4) 注意两向量的夹角定义, 两向量的起点必须 相同,夹角范围是0 ? ? ? ? .

力做的功:一个物体在力F 的作用下产 生的位移s,那么力F 所做的功应当怎样 计算?

? S

F

平面向量的数量积的定义
|量 a || b | cos?
已知两个非零向量 a 和 b 叫做 ,它们的夹角为 ,我们把数

a b


的数量积(或内积),记作

a?b

,即

a ? b ?| a || b | cos?
b cos ? 叫做向量 b 在向量 a 上的投影
规定:零向量与任意向量的数量积为0,即 a ? 0 ? 0. 注 : 两向量的数量积是一个数量,而不是向量,符号由夹 角决定;

a ? b 不能写成 a ? b, ab,而 a ? b 表示向量的另一种运算.

探究:
1. 两个向量的数量积与实数乘向量的积有 什么区别? 2.向量数量积是一个数量,它的符号什么 时候为正?什么时候为负?

思考:向量的数量积是一个数量,那么它什么时
候为正,什么时候为负?

a ? b ?| a || b | cos ?

当0°≤θ < 90°时, a ? b 为正; 当90°<θ ≤180°时,a ? b 为负;

当θ =90°时,a ? b 为零.

2. 投影的概念:
b cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影 .
投影是一个数量,不是向量.

? b
O

B

?
B1

? a
A

2. 投影的概念:
B B B

b

? O

b

?

b

O(B ) 1 a B1 A B 1 O a A a A 当?为锐角时 当?为钝角时 当?为直角时 投影为正值; 投影为负值; 投影为0;

?

特别地
当? = 0?时投影为 b ;

当 = 180 时投影为 ? b .



= 90?时投影为0

.

3.向量的数量积的几何意义:
数量积 a ? b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos? 的乘积 .
a ? b ?| a || b | cos ?

? b
O

B

?
B1

? a

例1
| a |? 5,| b |? 6, a与b 的夹角为120?,求a ? b 解: a ? b ?| a || b | cos120?
1 ? 5 ? 6 ? (? ) 2
? ?15

练习
(1) | a |? 5, | b |? 6, ? ? 30?, a ? b ? 15 3

(2) | a |? 10, | b |? 15, ? ? 45?, a ? b ? 75 2 (3) | a |? 8, | b |? 2, ? ? 135?, a ? b ? ?8 2

例题:
a ? 8, b ? 7, ?C ? 60? 在△ABC中, ,求 BC ? CA

解: | BC |? 8
| CA |? 7

A

7
B
60?

??

120?

120?

8

C

BC ? CA ?| BC |? | CA | cos120? 1 ? 8 ? 7 ? ( ? ) ? ?28 2

练习:
a ? 4, b ? 9, ?C ? 30,求 ? 在△ABC中, BC ? CA

解: | BC |? 4

A

| CA |? 9

9
B
30?

??

150?

150?

4

C

BC ? CA ?| BC |? | CA | cos150?

3 ? 4 ? 9 ? (? ) ? ?18 3 2

练习:
设 a ? 12, b ? 9, a ? b ? ?54,
求向量 a 和 b 的夹角 .
1 解: cos ? ? ?? 2 a b
0?? ??

a?b

2? ?? ? 3

探究性质
(1) | a |? 2,| b |? 7, ? ? 90?, a?b ? 0 (2) | a |? 10,| b |? 15, ? ? 90?, a?b ? 0 (3) | a |? 8,| b |? 2, ? ? 90?, a?b ? 0

? 总结规律:a ? b ? a ? b ? 0

探究性质
(1) | a |? 2,| b |? 7, ? ? 0?, a ? b ? 2 ? 7 ? 14 (2) | a |? 10,| b |? 15, ? ? 0?, a ? b ? 10 ? 15 ? 150 (3) | a |? 8,| b |? 2, ? ? 0?, a ? b ? 8 ? 2 ? 16

? 总结规律: a , b同向 ? a ? b ?| a || b |

探究性质
(1) | a |? 2,| b |? 7, ? ? 180?, a ? b ? ?2 ? 7 ? ?14 (2) | a |? 10,| b |? 15, ? ? 180?, a ? b ? ?10 ? 15 ? ?150 (3) | a |? 8,| b |? 2, ? ? 180?, a ? b ? ?8 ? 2 ? ?16

? 总结规律: a , b反向 ? a ? b ? ? | a || b |

探究性质
(1) | a |? 2, a ? a ? 2? 2 ? 4 (2) | a |? 10, a ? a ? 10 ? 10 ? 100 (3) | a |? 8, a ? a ? 8 ? 8 ? 64

? 总结规律: a ? a ?| a || a |

a ?| a |

2

2

思考:比较大小
| a ? b | ? | a || b |
a b ?| a || b | cos ?

数量积的性质
? 1.
a b ?| a || b | cos ? ? cos ? ?

a?b a b

? 2. 设 a、b为两个非零向量.

a ? b ? a?b ? 0
a , b同向 ? a ? b ?| a || b | a , b反向 ? a ? b ? ? | a || b |
a ?| a |2 , 或 a ? a ? a
2

可用来求向量的模

| a ? b | ? | a || b |

性质运用

判断正误

1.若 a ? 0 ,则对任一向量 b ,有 a ? b ? 0 . √

2.若 a ? 0 ,则对任一非零向量 有 a ?b ? 0 .

b

,

×

3.若 a ? b ? 0,则 a、 b 中至少有一个为 0. × 4.若 a 与 b 共线,则

a ?b ? a b .

×

5.若 a ? b ? a b ,则 a / / b .


27

课堂小结
1. 平面向量的数量积及其几何

意义;
2. 投影;

3.平面向量数量积的重要性质.

课后作业
1. 阅读教材P.103到P.105; 2. P108.习题2.4A组.2..6


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