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1.1.3(1)集合间的基本运算


1.1.3 集合的基本运算

思考:
两个实数除了可以比较大小外,还可以进 行加法运算,类比实数的加法运算,两个集合 是否也可以“相加”呢?

创设情景

兴趣导入

观察集合:

A= { 1 1,3 ,5 ,7 } B = {2 , 3 ,4 , 5 } C =

{ 1 , 2 ,3 ,4 , 5 , 7 }
各集合的元素之间有什么关系?

思考:
考察下列各个集合,你能说出集合C与集 合A、B之间的关系吗?
(1) A={1,3,5}, B={2,4,6},
C={1,2,3,4,5,6}. (2)A={x|x是有理数}, B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}.

集合C是由所有属于集合A或属于B的元素组成的.

并集概念
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集(Union set). 记作:A∪B(读作:“A并B”) 即: A∪B ={x| x ∈ A ,或x ∈ B}
说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).
用Venn图表示: A
A∪B

B

A
A∪B

B

A
A∪B

B

并集的性质
对于任意的两个集合A与B,都有

(1) A ? A ? A (2) A ? ? ? A (3) A ? B ? B ? A (4) A ? A ? B, B ? A ? B (5) A ? B


A? B ? B

并集例题:
例1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}, 求AUB. 解:A ? B ? {4,5,6,8} ? {3,5,7,8} ? {3,4,5,6,7,8}

例2.设集合A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}, 求AUB. 解:A ? B ? { x | ?1 ? x ? 2} ? { x | 1 ? x ? 3} ? ?x | ?1 ? x ? 3?
可以在数轴上表示例2中的并集,如下图:

思考:
求集合的并集是集合间的一种运算,那么, 集合间还有其他运算吗?

创设情景

兴趣导入

观察集合:

A={2,3,4,5,6} B={1, 3 3, 5 5,7} C={ 3 3, 5 }
各集合的元素之间有什么关系?

思考:

考察下面的问题,集合C与集合A、B之 间有什么关系吗?
(1) A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12},

C={8}. (2)A={x|x是我校2011年9月在校的女同学},
B={x|x是我校2011年9月入学的高一年级同学}, C={x|x是我校2011年9月入学的高一年级女同学}.

集合C是由那些既属于集合A且又属于集合 B的所有元素组成的.

动脑思考
集合的交集

探索新知

一般地,对于两个给定的集合A、B,由集合A、B 的相同元素

所组成的集合叫做A与B的交集,记作A∩B (读作“A交B”).

A ? B ? ?x x ? A且x ? B?
.

演示说明

说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,
是由集合A与B 的公共元素组成的集合.
Venn图表示: A
A∩B

B
A∩B

B

A
A∩B

B

A∩B=A

A∩B≠Φ

A∩B=Φ

交集的性质

(1) A ? A ? A (2)A ? ? ? ? (3)A ? B ? B ? A (4)A ? B ? A, A ? B ? B (5)A ? B 则 A ? B ? A

例3 新华中学开运动会,设

A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}, B={ x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},

求A? B. 解: A ? B 就是新华中学高一年级中那些既参加百 米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.
所以,A ? B ={x|x是新华中学高一年级既参加百 米赛跑又参加跳高比赛的同学}.

例4 设平面内直线 l1上点的集合为 L1 ,直线 l 2 上点的集合 l 2 的位置关系. 为 L2 ,试用集合的运算表示 l1、 解: 平面内直线 l1 、 l 2 可能有三种位置关系,即相交于 一点,平行或重合.

l 2相交于一点P可表示为 (1)直线 l1 、
L1 ? L2 ={点P}

l 2平行可表示为 (2)直线 l1、
L1 ? L2 ?

l 2重合可表示为 (3)直线 l1 、
L1 ? L2 ? L1 ? L2

问题:
2 ? ? ? x ? 2 x ? 3? ? 0 的解集: 在下面的范围内求方程

(1)有理数范围;(2)实数范围. 并回答不同的范围对问题结果有什么影响? 解:(1)在有理数范围内只有一个解2,即:

?x ? Q ?x ? 2??x

2

? 3 ? 0 ? ?2?

? ?

(2)在实数范围内有三个解2, 3 , ? 3 ,即:

?x ? R ?x ? 2??x

2

? 3 ? 0 ? 2, 3 ,? 3

? ? ?

?

巩固知识 典型例题
例6 设A={x|0<x ≤2 },B={x|1<x ≤3},求A∪B ,A∩B.

集合A、B 的相同元素

集合A、B 的所有元素

A ? B ? {x 1 ? x≤2}

A ? B ? {x 0 ? x≤3}

巩固知识 典型例题
例3 设A={x|-1<x ≤2 },B={x|0<x ≤3},求A∩B.

将集合A、B 的在数轴上表示出来,观察其公共部分



巩固知识 典型例题
例2 设集合A={(x,y)|x+y=0}, B={(x,y)|x-y=4},求A∩B.
分析:集合A, B分别表示方程x+y=0,x-y=4的解集,因此集合A与B 的交集就是求它们联立方程组的解集.
. ? 求解下面的方程组:

x ? y ? 0, ? ? x ? y ? 4,

? x?2 ?? ? y ? ?2

如何正确的表示交集呢?

课堂练习

课本第12页习题1.1:B组第1,2,3题

补充 设集合A ? {x |1 ? x ? 2},B ? {x | 0 ? x ? a( } a ? 0), 求A ? B和A ? B.

课堂探讨
★思考1 方程 ( x ? 2)( x 2 ? 3) ? 0 在有理数范围内 的解是什么?在实数范围内的解是什么? {2} ★思考2 不等式0 ? x ? 1 ? 3 在实数范围内的 解集是什么?在整数范围内的解集是么? {2,3,4}

小结
定义:交集记作A∩B={ x| x∈A且x∈B 并集记作A∪B={ x| x∈A或x∈B
} }

相同点 由两个集合A与B运算出一个新的集合, : 涉及到三个集合。 不同点 :

A∩B的元素实质是A与B的公共元素 A∪B的元素实质是A与B的一切元素

作业:
1 、已知A={2,4,6,8,10}, B={1,2,4,8, 16} ,求: A∩B ,A∪B

2、设集合A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | x ? 0或x ? 2} 求:A ? B, A ? B

全集概念
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所 涉及的所有元素,那么就称这个集合全集(Universe set).通常记作U.

补集概念
对于一个集合A ,由全集U中不属于集合A的所 有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集 (complementary set),简称为集合A的补集.

记作: A
即: A={x| x ∈ U 且x ?A}
说明:补集的概念必须要有全集的限制. Venn图表示:

U
A A

补集的性质
U

(1) CU A ? A ? U (2) CU A ? A ? ? (3) CU U ? ? , CU ? ? U (4) CU (CU A) ? A
A

A

补集例题
例5.设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}, B={3,4,5,6},求 A, B. 解:根据题意可知:
U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以: A={4,5,6,7,8}, B={1,2,7,8}.
说明:可以结合Venn图来解决此问题.

例6.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三 角形},B={x|x是钝角三角形}.
求A∩B, (A∪B) 解:根据三角形的分类可知 A∩B= ? , A∪B= {x|x是锐角三角形或钝角三角形}, (A∪B)={x|x是直角三角形}.

练习:判断正误
(1)若U={四边形},A={梯形}, 则CUA={平行四边形} (2)若U是全集,且A?B,则CUA?CUB (3)若U={1,2,3},A=U,则CUA=?

2.设集合A={|2a-1|,2},B={2,3,a2+2a-3} 且CBA={5},求实数a的值。
3.已知全集 U={1,2,3,4,5}, 非空集 A={x?U|x2-5x+q=0}, 求CUA及q的值。

知识小结:
1.求集合的并、交、补是集合间的基本运算, 运算结果仍然还是集合. 2.区分交集与并集的关键是“且”与“或”, 在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字 眼出发去揭示、挖掘题设条件. 3.注意结合Venn图或数轴进而用集合语言表 达,增强数形结合的思想方法.

作业:
课本P12 1.1习题A组: :10题 B组:4题

例3 设U={x|x是小于9的正整},A={1,2,3}

B={3,4,5,6},求CUA,CUB.
解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以 CUA={4,5,6,7,8} CUB={1,2,7,8} .

4.已知集合U ? {x | ?3 ? x ? 3} , M ? {x | ?1 ? x ? 1} ,CU N ? {x | 0 ? x ? 2} 那么集合 N ? ,

M ? (CU N ) ?



M ?N ?

.

例5:如图所示,U是全集,M 、S、P是U的3个子集,则阴影A 部分所表示的集合是( ) A(M∩P)∩S

B(M∩P) ∪S C(M∩P) ∩ C
S U S

高考对接
例1 (2010陕西高考)集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? 1}, 则A ? (CR B) ?

{x | 1 ? x ? 2}

例2 (2009 广东高考)已知全集U=R,集合

M ? {x | ?2 ? x ? 1 ? 2}和 N ? {x | x ? 2k ? 1, k ? 1,2,...}
的关系的韦恩图如图所示,则阴影 部分所示的集合的元素共 2 个。

U

N

M

高考对接
例3 (2008 陕西高考)已知全集U={1,2,3,4,5}, 集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? 2a, a ? A} 则集合 CU ( A ? B) 中的元素有 2 个。 例4 (2008 山东高考)满足

M ? {a1, a2 , a3 , a4}, 且M ?{a1, a2 , a3} ? {a1 , a2}
的集合M有 2 个。

高考对接
例5(2009 江西高考) 已知全集U=A∪B中有m个元素, (CU A) ? (CU B) 中有n个元素,若A∩B非空,则A∩B的 元素有 m-n 个。

2 U ? { 0 , 1 , 2 , 3 }, A ? { x ? U | x ? mx ? 0} 例6 (2010 重庆高考)设

若CU A ? {1,2} ,则实数m= -3

例题分析
1.设 A ? ?x | ?2 ? x ? 5?, B ? ?x | m ? 1 ? x ? 1 ? 3m? ,
若 A ? B ? A ,求实数m的取值范围。

例题分析
2 2 A ? x | x ? ax ? b ? 0 , B ? x | x ? cx ? 15 ? 0 , 2. 设

?

?

?

?

3,5? , A? B ? ? 3? ,求实数a,b和c 又A? B ? ?
的值。

反馈演练
1.已知A ? {x | x ? px ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? qx ? r ? 0}
2 2

且A ? B ? {?2,1,5}, A ? B ? {?2}, 求p, q, r的值.
(解得 : p ? ?1, q ? ?3, r ? ?10)

2.已知 A ? {x | x ? 3 x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? ax ? a ? 1 ? 0}
2 2

若A ? B ? A, 求实数 a 的值.


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