1.1.3(1)集合间的基本运算

1.1.3 集合的基本运算

思考：
两个实数除了可以比较大小外，还可以进 行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合 是否也可以“相加”呢？

创设情景

兴趣导入

观察集合：

A= { 1 1,3 ,5 ,7 } B = {2 , 3 ,4 , 5 } C =

{ 1 , 2 ,3 ,4 , 5 , 7 }
各集合的元素之间有什么关系？

思考：
考察下列各个集合，你能说出集合C与集 合A、B之间的关系吗？
（1） A=｛1，3，5｝， B=｛2，4，6｝，
C=｛1，2，3，4，5，6｝． （2）A=｛x|x是有理数｝， B=｛x|x是无理数｝， C=｛x|x是实数｝．

集合C是由所有属于集合A或属于B的元素组成的．

并集概念
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合，称为集合A与B的并集（Union set）． 记作：A∪B（读作：“A并B”） 即： A∪B ={x| x ∈ A ，或x ∈ B}
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）．
用Venn图表示： A
A∪B

B

A
A∪B

B

A
A∪B

B

并集的性质
对于任意的两个集合A与B，都有

(1) A ? A ? A (2) A ? ? ? A (3) A ? B ? B ? A (4) A ? A ? B, B ? A ? B (5) A ? B
则

A? B ? B

并集例题：
例1．设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}， 求AUB． 解：A ? B ? {4,5,6,8} ? {3,5,7,8} ? {3,4,5,6,7,8}

例2．设集合A={x|-1<x<2}，B={x|1<x<3}， 求AUB． 解：A ? B ? { x | ?1 ? x ? 2} ? { x | 1 ? x ? 3} ? ?x | ?1 ? x ? 3?
可以在数轴上表示例2中的并集，如下图：

思考：
求集合的并集是集合间的一种运算，那么， 集合间还有其他运算吗？

创设情景

兴趣导入

观察集合：

A={2,3,4,5,6} B={1, 3 3, 5 5,7} C={ 3 3, 5 }
各集合的元素之间有什么关系？

思考：

考察下面的问题，集合C与集合A、B之 间有什么关系吗？
（1） A=｛2，4，6，8，10｝， B=｛3，5，8，12｝，

C=｛8｝． （2）A=｛x|x是我校2011年9月在校的女同学｝，
B=｛x|x是我校2011年9月入学的高一年级同学｝， C=｛x|x是我校2011年9月入学的高一年级女同学｝．

集合C是由那些既属于集合A且又属于集合 B的所有元素组成的．

动脑思考
集合的交集

探索新知

一般地，对于两个给定的集合A、B，由集合A、B 的相同元素

所组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B （读作“A交B”）．

A ? B ? ?x x ? A且x ? B?
.

演示说明

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，
是由集合A与B 的公共元素组成的集合．
Venn图表示： A
A∩B

B
A∩B

B

A
A∩B

B

A∩B=A

A∩B≠Φ

A∩B=Φ

交集的性质

(1) A ? A ? A (2)A ? ? ? ? (3)A ? B ? B ? A (4)A ? B ? A, A ? B ? B (5)A ? B 则 A ? B ? A

例3 新华中学开运动会，设

A=｛x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学｝， B=｛ x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学｝，

求A? B． 解： A ? B 就是新华中学高一年级中那些既参加百 米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合．
所以，A ? B =｛x|x是新华中学高一年级既参加百 米赛跑又参加跳高比赛的同学｝.

例4 设平面内直线 l1上点的集合为 L1 ,直线 l 2 上点的集合 l 2 的位置关系. 为 L2 ,试用集合的运算表示 l1、 解： 平面内直线 l1 、 l 2 可能有三种位置关系，即相交于 一点，平行或重合.

l 2相交于一点P可表示为 （1）直线 l1 、
L1 ? L2 =｛点P｝

l 2平行可表示为 （2）直线 l1、
L1 ? L2 ?

l 2重合可表示为 （3）直线 l1 、
L1 ? L2 ? L1 ? L2

问题：
2 ? ? ? x ? 2 x ? 3? ? 0 的解集： 在下面的范围内求方程

（1）有理数范围；（2）实数范围． 并回答不同的范围对问题结果有什么影响？ 解：（1）在有理数范围内只有一个解2，即：

?x ? Q ?x ? 2??x

2

? 3 ? 0 ? ?2?

? ?

（2）在实数范围内有三个解2， 3 ， ? 3 ，即：

?x ? R ?x ? 2??x

2

? 3 ? 0 ? 2, 3 ,? 3

? ? ?

?

巩固知识 典型例题
例6 设A={x|0<x ≤2 }，B={x|1<x ≤3}，求A∪B ，A∩B.

集合A、B 的相同元素

集合A、B 的所有元素

A ? B ? {x 1 ? x≤2}

A ? B ? {x 0 ? x≤3}

巩固知识 典型例题
例3 设A={x|-1<x ≤2 }，B={x|0<x ≤3}，求A∩B.

将集合A、B 的在数轴上表示出来，观察其公共部分

．

巩固知识 典型例题
例2 设集合A={(x,y)|x+y=0}， B={(x,y)|x-y=4}，求A∩B.
分析：集合A, B分别表示方程x+y＝0，x-y＝4的解集，因此集合A与B 的交集就是求它们联立方程组的解集.
. ? 求解下面的方程组：

x ? y ? 0, ? ? x ? y ? 4，

? x?2 ?? ? y ? ?2

如何正确的表示交集呢？

课堂练习

课本第12页习题1.1:B组第1，2，3题

补充 设集合A ? {x |1 ? x ? 2}，B ? {x | 0 ? x ? a（ } a ? 0）， 求A ? B和A ? B.

课堂探讨
★思考1 方程 ( x ? 2)( x 2 ? 3) ? 0 在有理数范围内 的解是什么？在实数范围内的解是什么？ {2} ★思考2 不等式0 ? x ? 1 ? 3 在实数范围内的 解集是什么？在整数范围内的解集是么？ {2，3，4}

小结
定义：交集记作A∩B={ x| x∈A且x∈B 并集记作A∪B={ x| x∈A或x∈B
} }

相同点 由两个集合A与B运算出一个新的集合， : 涉及到三个集合。 不同点 :

A∩B的元素实质是A与B的公共元素 A∪B的元素实质是A与B的一切元素

作业：
1 、已知A={2，4，6，8，10}, B={1，2，4，8， 16} ，求： A∩B ，A∪B

2、设集合A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | x ? 0或x ? 2} 求：A ? B, A ? B

全集概念
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所 涉及的所有元素，那么就称这个集合全集（Universe set）．通常记作U．

补集概念
对于一个集合A ，由全集U中不属于集合A的所 有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集 （complementary set）,简称为集合A的补集．

记作： A
即： A={x| x ∈ U 且x ?A}
说明：补集的概念必须要有全集的限制． Venn图表示：

U
A A

补集的性质
U

(1) CU A ? A ? U (2) CU A ? A ? ? (3) CU U ? ? , CU ? ? U (4) CU (CU A) ? A
A

A

补集例题
例5．设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}， B={3，4，5，6}，求 A， B． 解：根据题意可知：
U={1，2，3，4，5，6，7，8}， 所以： A={4，5，6，7，8}， B={1，2，7，8}．
说明：可以结合Venn图来解决此问题．

例6．设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三 角形}，B={x|x是钝角三角形}.
求A∩B， （A∪B） 解：根据三角形的分类可知 A∩B＝ ? ， A∪B＝ {x|x是锐角三角形或钝角三角形}， （A∪B）＝{x|x是直角三角形}．

练习：判断正误
（1）若U={四边形}，A={梯形}， 则CUA={平行四边形} （2）若U是全集，且A?B，则CUA?CUB （3）若U={1，2，3}，A=U，则CUA=?

2.设集合A={|2a-1|，2}，B={2，3，a2+2a-3} 且CBA={5}，求实数a的值。
3.已知全集 U={1，2，3，4，5}， 非空集 A={x?U|x2-5x+q=0}， 求CUA及q的值。

知识小结:
1．求集合的并、交、补是集合间的基本运算， 运算结果仍然还是集合． 2．区分交集与并集的关键是“且”与“或”， 在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字 眼出发去揭示、挖掘题设条件． 3．注意结合Venn图或数轴进而用集合语言表 达，增强数形结合的思想方法．

作业：
课本P12 1.1习题A组： :10题 B组：4题

例３ 设U={x|x是小于9的正整},A={1,2,3}

B={3,4,5,6},求CUA,CUB.
解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以 CUA={4,5,6,7,8} CUB={1,2,7,8} .

４．已知集合U ? {x | ?3 ? x ? 3} ， M ? {x | ?1 ? x ? 1} ，CU N ? {x | 0 ? x ? 2} 那么集合 N ? ，

M ? (CU N ) ?

，

M ?N ?

.

例５：如图所示，U是全集，M 、S、P是U的3个子集，则阴影A 部分所表示的集合是（ ） A（M∩P)∩S

B（M∩P) ∪S C（M∩P) ∩ C
S U S

高考对接
例1 （2010陕西高考）集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}， B ? {x | x ? 1}, 则A ? (CR B) ?

{x | 1 ? x ? 2}

例2 （2009 广东高考）已知全集U=R，集合

M ? {x | ?2 ? x ? 1 ? 2}和 N ? {x | x ? 2k ? 1, k ? 1,2,...}
的关系的韦恩图如图所示，则阴影 部分所示的集合的元素共 2 个。

U

N

M

高考对接
例3 （2008 陕西高考）已知全集U={1,2,3,4,5}， 集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? 2a, a ? A} 则集合 CU ( A ? B) 中的元素有 2 个。 例4 （2008 山东高考）满足

M ? {a1, a2 , a3 , a4}, 且M ?{a1, a2 , a3} ? {a1 , a2}
的集合M有 2 个。

高考对接
例5（2009 江西高考） 已知全集U=A∪B中有m个元素， (CU A) ? (CU B) 中有n个元素，若A∩B非空，则A∩B的 元素有 m-n 个。

2 U ? { 0 , 1 , 2 , 3 }, A ? { x ? U | x ? mx ? 0} 例6 （2010 重庆高考）设

若CU A ? {1,2} ，则实数m= -3

例题分析
1.设 A ? ?x | ?2 ? x ? 5?, B ? ?x | m ? 1 ? x ? 1 ? 3m? ，
若 A ? B ? A ，求实数m的取值范围。

例题分析
2 2 A ? x | x ? ax ? b ? 0 , B ? x | x ? cx ? 15 ? 0 ， 2. 设

?

?

?

?

3,5? , A? B ? ? 3? ，求实数a,b和c 又A? B ? ?
的值。

反馈演练
1.已知A ? {x | x ? px ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? qx ? r ? 0}
2 2

且A ? B ? {?2,1,5}, A ? B ? {?2}, 求p, q, r的值.
(解得 : p ? ?1, q ? ?3, r ? ?10)

2.已知 A ? {x | x ? 3 x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? ax ? a ? 1 ? 0}
2 2

若A ? B ? A, 求实数 a 的值.