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必修5新人教A版3.3.2简单的线性规划问题


简单的线性规划问题

一.复习回顾
1.在同一坐标系上作出下列直线: 2x+3y=0;2x+3y=1;2x+3y=-3;2x+3y=4;2x+3y=7 Y
结论 : 形如2 x ? 3 y ? t (t ? 0) 的直线与2 x ? 3 y ? 0平行.

o

x

【引例】

: 某工厂用A、B两种配 件生产甲、乙两种产 品,每生产一件甲产 品使用4个A配件并耗 时1h,每生产一件乙 产品使用4个B配件并 耗时2h,该厂每天最 多可从配件厂获得16 个A配件和12个B配件, 按每天工作8h计算, 该厂所有可能的日生 产安排是什么?

数据分析表:
如果若干年后的你成为某 每件耗时 A配件 B配件 工厂的厂长,你将会面对 (h) (个) (个) 生产安排、资源利用、人 甲产品 1 4 0 力调配的问题…… 乙产品 2 0 4
日生产 满足

?8

? 16

? 12

设甲、乙两种产品的日生产分别为 x, y 件,

?x ? 2 y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ,且 x, y ? N x, y 满足约束条件为 ? ? 4 y ? 12 ? x, y ? 0 ?
作出约束条件所表示的平面区域,如图所示

【引例】:

某工厂用A、B两种配件生 产甲、乙两种产品,每生 产一件甲产品使用4个A配 件并耗时1h,每生产一件 乙产品使用4个B配件并耗 时2h,该厂每天最多可从 配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作 8h计算,该厂所有可能的 日生产安排是什么?

4

2

2

4

6

8

将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部 分中的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日 生产安排,即当点P(x,y)在上述平面区域中时,所安 排的生产任务x,y才有意义。

4

【进一步】: 若生产一件甲产 品获利2万元,生 产一件乙产品获 利3万元,采用哪 种生产安排获得 利润最大?

2

M ( 4 ,2 )

2

4

6

8

z ? 2x ? 3 y

若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为: 当x,y在满足上述二元一次不等式组且为非负整 数时,z的最大值为多少? 2 z 2 把z=2x+3y变形为y=- x+ ,这是斜率为- , 3 3 3 z 在y轴上的截距为 的直线, 3

当点P在可允许的取值范围变化时,

z 求截距 的最大值,即可得z的最大值. 3

问题:求利润z=2x+3y的最大值. y

?x ? 2y ? 8 最优解 4 ? 4 x ? 16 3 M(4,2) ? ? x 8 4 ? 4 y ? 12 1 y ? ? x?4 0 ?x ? 0 2 可行域 ? 2 z ?y ? 0 y? ? x? ? 3 3 Zmax ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 14
变式:若生产一件甲产品获利1万元,生产一件乙 产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?

可行解

变式:求利润z=x+3y的最大值. y

?x ? 2y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?

4 N(2,3) 3

4

0

x 8 1 y ? ? x?4 2
1 z y? ? x? 3 3

zmax ? 2 ? 3 ? 3 ? 11

例1.如图所示,已知 ΔABC中的三顶点 A(2 , 4) , B( ?1, 2) , C (1, 0),点 P(x, y) 在 ΔABC内部及边界运动,
请你探究并讨论以下问题: ① ②

z ? x? y

在____处有最大值___, A 6 在____处有最小值___; BC 1 在____处有最大值___, C 1 在____处有最小值___; B -3

y
B
( ?1 , 2)

A (2 , 4)

z? x?y

0

C (1 , 0)

x

例2.如图所示
求Z ? y ?1 的取值范围 x

y
B
( ?1 , 2)

A (2 , 4)

0

C (1 , 0)
(-1,0)

x

例2.如图所示
求Z ? 2y ? 3 的取值范围 x?2

y
B
( ?1 , 2)

A (2 , 4)

0
3 (?2,? ) 2

C (1 , 0)

x

? x? y?2?0 ? 已知? x ? y ? 4 ? 0 求Z ? x 2 ? y 2的最大、最小值 例3. ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?

拓展:求Z ? x 2 ? y 2 ? 10 y ? 25的最小值

y

A (7,9)

(1,3)
B

C (3,1) 0

x

? x ? 4 y ? ?3 ? 1.x,y满足不等式组 ?3 x ? 5 y ? 25 目标函数z=2x+y的最值 ?x ? 1 y ?
5

C (1,4.4)
x-4y+3=0 (5, 2)

A
B(1, 1)
O
1
x=1 5 3x+5y-25=0

x

4.若实数x,y满足 ? x ? 4 y ? ?3 求z=6x+10y, z=2x-y, z ? ? 的最大值、最小值 y
5

?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

y?2 x ?1

C (1,4.4)
x-4y+3=0 (5, 2)

A
B(1, 1)
O
1
x=1 5 3x+5y-25=0

x

3、已知函数f(x)=ax2-c,满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围。
解:依题意:

-4≤f(1)≤-1 -1≤f(2)≤5

-4≤a-c≤-1 -1≤4a-c≤5
0≤9a≤27 -7≤-c≤-1

0≤a≤3 1≤c≤7

而所求f(3)=9a-c
∴ -7≤9a-c≤28

∴-1≤f(3)≤28

正解:
线性约束条件: 目标函数: -4≤a-c≤-1 -1≤4a-c≤5 t=f(3)=9a-c

c
8
C(3,7)

6 D 4 -4 -2 2 A -2 -4
B

作出约束条件的可行域:为平行四边 形ABCD, 平行直线系t=9a-c , c=9a-t,斜率为9。 当平行直线过A(0,1)时, tmin=9×0-1=-1 过点C(3,7)时,tmax=9×3-7=20 ∴-1≤f(3)≤20

o2

4

6

a

说明:约束条件变化时要用等价变换

c
8
6 4 2 A -4 -2 -2 -4
原因:当约束条件变化为 0≤a≤3 时,可行域范围变大, 1≤c≤7

D B

C(3,7)

o

2

4

6

a

显然,当直线系C=9a-t在上述可行域中变化时, 得:当过(0,7)时,tmin=9×0-7=-7 当过(3,1)时,tmax=9×3-1=28

结论1:
实际问题

列表
设立变量

寻找约束条件 建立目标函数

转 化

线性规划问题 注意:
1.约束条件要写全; 2.作图要准确,计算也要准确;
探究

3.解题格式要规范.

三个转化
线性约束条件

转化 转化 转化

可行域

线性目标函数 Z=Ax+By

? Z y?? x? ? B

一组平行线

图 解 法

最优解

四个步骤:

? 寻找平行线组的 最大(小)纵截距 ?

1。画(画可行域) 2。作(作z=Ax+By=0时的直线L 。) 3。移(平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点) 4。答(求出点的坐标,并转化为最优解)

例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 :
规格类型 钢板类型

A规格 2 1

B规格 1 2

C规格 1 3

第一种钢板 X张 第二种钢板 y张

今需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问 各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所 用钢板张数最少。 解:设需截第一种钢板x张,第一种钢板y张,则

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0

目标函数为 z=x+y
作出可行域(如图)

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N y≥0 y∈N

y
15

调整优值法

作出一组平行直线z=x+y,

10 B(3,9) C(4,8) 目标函数z= x+y 8 A(18/5,39/5) 6 x+y =0 4 2 0 2 4 6 8

12

2x+y=15

x+y=12 x+2y=18
作直线x+y=12

18

x

27
x+3y=27

当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解.

解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解. 答(略)

y
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*

{

打网格线法

15
B(3,9)
C(4,8)

目标函数t = x+y

9

A(18/5,39/5)

x+y =0

2 1 0 12

x 78
2x+y=15

18

27

作出一组平行直线t = x+y, 当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解 ,

x+2y=18 x+3y=27

在可行域内打出网格线, 将直线x+y=11.4继续向上平移,
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时,t=x+y=12是最优解.答:(略)

4.若实数x,y满足 ? x ? 4 y ? ?3 求z=x-2y的最大值、最小 ? ?3 x ? 5 y ? 25 值 ?

1 1 y ? x? z 6 2 2 把z看成参数,同样是一组平行

? x ? 1y 分析:目标函数变形为

x=1

线,且平行线与可行域有交点。 5 ? 最大截距为过C (1, 22 ) C? 4 5 的直线 l1 3 l 最小截距为过A(5,2) 1
的直线 l 2
2 1 B ? ? 注意:直线取最大截距 时,等价于 ? 1 z 2 -1 O 1 取得最大值,则z取 得最小值 l 0 l -1 22 39 2 z min ? 1 ? 2 ? ?? 5 5 同理,当直线取最小截距时,z有最大值

A

x-4y+3=0

3x+5y-25=0 2

3

4

5

6

7

x

zmax ? 5 ? 2 ? 2 ? 1

作业:
习题3.3 :A组4;B组3

小结:
二元一次不等式 表示平面区域 直线定界, 特殊点定域

应 用

约束条件
目标函数

简单的线性规划

可行解 可行域

求解方法:画、 移、求、答

最优解


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