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2016高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列课件 理


随堂讲义
专题三 数 列 第一讲 等差数列与等比数列

1.对等差、等比数列基本量的考查是重点内容, 常以选择题或填空题的形式出现.考查运用通项公式, 前n项和公式建立方程组求解,为简单题. 2.对等差、等比数列性质的考查是热点,主要以 选择题或填空题的形式出现,具有“新、巧、活”的 特点,考查利用性质解决有关的计算问题,为中挡 题. 3.等差、等比数列的综合问题,多以解答题的形 式考查,主要考查考生综合数学知识解决问题的能力, 为中挡题.

例 1 已知数列{an}是一个等差数列,且 a2=1, a5=-5. (1)求{an}的通项 an. 5-an (2)设 cn= ,bn=2cn,求 T=log2b1+log2b2+ 2 log2b3+?+log2bn 的值.

解析: (1)设{an}的公差为

? ?a1+d=1, d, 由已知条件, 得? ? ?a1+4d=-5,

解得 a1=3,d=-2.∴an=a1+(n-1)d=-2n+5. (2)∵an=-2n+5, 5-an 5-(-2n+5) ∴cn= = =n.∴bn=2cn=2n. 2 2 ∴T=log2b1+log2b2+log2b3+?+log2bn =log22+log222+log223+?+log22n n(n+1) =1+2+3+?+n= . 2

(1)涉及等差数列的有关问题往往用待定系数法 “知 三求二”进行解决. (2)等差数列前 n 项和的最值问题,经常转化为求二 次函数的最值,有时利用数列的单调性(d>0,递增;d< 0,递减). (3)等差数列的性质:设 m,n,p,q 为非零自然数, 若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq.

1.已知等比数列{an},满足a3=12,a8=,记其前n 项和为Sn.

(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若Sn=93,求n.

解析:(1)设等比数列{an}的公比为 q,则
2 ? a ? 3=a1q =12, ? ?a1=48, ? 3 解得? 1 7 a = a q = , q = . ? ? 8 2 ? 8 1 ? ?1?n-1 ? ? n-1 ∴an=a1q =48· . ?2? ? ?

a1(1-qn) (2)Sn= 1-q
? ?1?n ? ? ? ? 48?1-? ?2? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ?n? =96?1-? ?2? ?. ? ? ? ? ? ?1?n? ? ? ? 96?1-? ?2? ?=93.解得 ? ? ? ?



1 1- 2

由 Sn=93,得

n=5.

例 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 ban-2n=(b-1)Sn. (1)证明:当 b=2 时,{an-n· 2n-1}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. an+1-(n+1)· 2n 思路点拨 : (1) 只需证明 为非零常数即 n-1 an-n· 2 可,或转化为 an+1-(n+1)· 2n=(an-n· 2n-1)q,q 为非零常数. (2)当 b=2 时,由(1)可求出{an-n· 2n-1}的通项公式,从而得到 {an}的通项公式;当 b≠2 时,构造新数列,求其通项公式.

解析:(1)∵ban-2n=(b-1)Sn, 令 n=1 得 ba1-2=(b-1)a1, ∴a1=2. 又∵ban-2n=(b-1)Sn,① ∴ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1.② ②-①得:ban+1-ban-2n=(b-1)an+1. 即 an+1=ban+2n.③

当 b=2 时,由③得 an+1=2an+2n, ∴an+1-(n+1)· 2n=2an+2n- (n+1)· 2n =2(an-n· 2n-1). an+1-(n+1)· 2n 即 =2. n-1 an-n· 2 又∵a1-1· 21-1=1≠0,∴{an-n· 2n-1}是首项为 1,公比为 2 的等比数列.

(2)当 b=2 时,由(1)知, an-n· 2n-1=2n-1, ∴an=(n+1)· 2n-1. 当 b≠2 时,由③知: 1 n+1 1 n+1 n an+1- 2 =ban+2 - 2 2-b 2-b b·2n =ban- 2-b
? 1 n? ? 2? =b?an- ?. 2 - b ? ? ? 2 ? 2(1- b) n-1 1 ? ? n n-1 ∴an- ·2 =?a1- = b . ?·b 2 - b 2-b 2 - b ? ?

1 ∴an= [2n+(2-2b)bn-1]. 2-b ∵a1=2 适合上式, 1 ∴an= [2n+(2-2b)bn-1]. 2-b 2n-1,b=2, ?(n+1)· ? 综上知 an=? 1 n n-1 [2 +( 2 - 2b ) b ],b≠2. ? ?2-b

(1)证明数列{an}为等比数列有如下方法: an+1 ①证明 =q(与 n 值无关的非零常数). an ②a2 n=an-1·an+1(等比中项)(n≥2,n∈ N). (2)已知 an+1=Aan+B(A,B 为常数)求{an}的通项时,用构 ? B ? ? 造数列法.即设 an+1-c=A(an-c),先求出 c 值?c=1-A? ?,再 ? ? 求 an-c 的通项,从而求出 an 的通项.

2.等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、 三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表 的同一列.

(1)求数列{an}的通项公式. (2)若数列 {bn}满足 bn=
?a + ? ,记数列 {bn} n 1? (n+2)log3? ? 2 ? ? ?

1

3 的前 n 项和为 Sn,证明:Sn< . 4

(1)解析:当 a1=3 时,不合题意; 当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合 题意; 当 a1=10 时,不合题意. 因此 a1=2,a2=6,a3=18.所以公比 q=3. 故 an=2· 3n-1.

1 (2)证明:因为 bn= ?a + ?=n( n+2), n 1? (n+2)log3? ? 2 ? ? ? 所以 Sn=b1+b2+b3+?+bn 1 1 1 1 = + + +?+ 1×3 2×4 3×5 n×(n+2) 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? = ?1-3+2-4+3-5+?+n- n+2? 2? ? 1 1 1 ? 1? ? ? 3 1 + - - = ? 2 < n+1 n+2? 2? ? 4 故原不等式成立.

1

例 3 (2014· 重庆卷)已知{an}是首项为 1, 公差为 2 的 等差数列,Sn 表示{an}的前 n 项和. (1)求 an 及 Sn; (2)设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比 q 满足 q2-(a4 +1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn.

思路点拨:(1)已知等差数列的首项和公差,可直接利 n( n-1) 用公式 an=a1+(n-1)d,Sn=na1+ d 求解. 2 (2)利用(1)的结果求出 a4,S4,解方程 q2-(a4+1)q+ S4=0 得出等比数列{bn}的公比 q 的值,从而可直接由公式 ?nb1,q=1, ? n- 1 bn= b1·q ,Tn=?b1(1-qn) 求 {bn}的通项公 ,q≠1, ? 1-q ? 式及其前 n 项和 Tn.

解析:(1)因为{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等 差数列, 所以 an=a1+(n-1)d=2n-1. 故 Sn=1+3+?+(2n-1) n(a1+an) n(1+2n-1) = = =n2. 2 2

(2)由(1)得,a4=7,S4=16. 因为 q2-(a4+1)q+S4=0,即 q2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而 q=4. 又因 b1=2,{bn}是公比 q=4 的等比数列,所以 bn=b1qn -1 =2· 4n-1=22n-1. b1(1-qn) 2 n 从而{bn}的前 n 项和 Tn= = (4 -1). 3 1-q

已知等差数列中的某几项成等比数列(或已知等比数列 中的某几项成等差数列), 往往是先设公差为 d(或公比为 q), 用待定系数法求出 d(或 q)与首项之间的关系,进而再解决 问题.

3.在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求 an; (2)设 bn=log3an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 分析: (1)设{an}的公比为
? ?a1q=3, q, 依题意得方程组? 4 ? ?a1q =81,

? ?a1=1, 解得? 即可写出通项公式. ? ?q=3,

(2)因为 bn=log3an=n-1,利用等差数列的求和公式即 得.

解析:(1)设{an}的公比为 q,依题意得:
? ? ?a1q=3, ?a1=1, n-1 ? ? 解得 因此, a = 3 . n 4 ? ? ?a1q =81, ?q=3,

(2)因为 bn=log3an=n-1, n(b1+bn) n2-n 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn= = . 2 2

1.等差数列和等比数列的前 n 项和公式中 n 表示项数. 2. 若等比数列的公比 q 用参数表示, 注意要分 q=1 和 q ≠1 进行讨论. 3.方程的观点是解决“知三求二”运算题中最基本的数 学思想和方法. 4.证明三个实数 a,b,c 成等差数列时,常证 2b=a+c, 反之亦然;证明三个实数 a,b,c 成等比数列时,常证 b2= ac,但反之不成立.

5.已知三个实数成等差数列时,常设三个实数依次为 a-d,a,a+d 或 a,a+d,a+2d;已知三个实数成等比 a 数列时,常设三个实数依次是 ,a,aq 或 a,aq,aq2. q 6.判定一个数列是等差数列的常用方法有: (1)定义法: an+1-an=d(d 是常数, n∈N*)?{an}是等差 数列. (2)中项公式法: 2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差数 列.

7.判定一个数列是等比数列的常用方法有: an+1 (1)定义法: =q(q 是不为 0 的常数,n∈N*)?{an}是等比数 an 列. (2)中项公式法:a2 an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)?{an} n+1=an· 是等比数列. 8. 对于任一数列{an}, 其通项 an 和它的前 n 项和 Sn 之间的关系 是
? ? S 1 , n =1 , an=? 这是求数列通项的一种重要方法. ? S - S , n ≥ 2 , n-1 ? n


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