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广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学(理)


汕头市 2013 届高三上学期期末统一检测 理科数学
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 第一部分(选择题 满分 40 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {1,3,5} ,集合 B ? {2, a, b} ,若 A∩B ? {1,3} ,则 a ? b 的值是( A.10 B.9 C.4 D.7 ).

2.如图在复平面内,复数 z1 , z 2 对应的向量分别是 OA, OB , 则复数

z1 的值是( z2

). B. ? 2 ? 2i C. 1? 2i D. 1? 2i

A. ? 1? 2i

3.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量 为 n 的样本,其频率分布直方图如图所示,其 中支出在[50,60)元的 同学有 30 人,则 n 的值为( ). A.100 C.90 B.1000 D.900

4.若向量 a ? (2,0), b ? (1,1) ,则下列结论正确的是( ). A. a ? b ? 1 B. | a |?| b | C. (a ? b) ? b D. a // b

5.如图正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是底 面的中心)P-ABCD 的底面边长为 6cm,侧棱长为 5cm,则它的侧视图的周长等于( ). A.17cm C.16cm B. 119 ? 5cm D.14cm

6.设命题 p:函数 y=sin2x 的最小正周期为

? ; 2 ? 命题 q:函数 y=cosx 的图象关于直线 x= 对称,则下列的判断正确的是( 2 A、p 为真 B、 ? q 为假 C、 p ? q 为假 D、 p ? q 为真
x ?x



7、 (9, 在函数 y ? log 2 x 的图象上, 若 a) 则有关函数 f ( x) ? a ? a

性质的描述, 正确是 (



A、它是定义域为 R 的奇函数 B、它在定义域 R 上有 4 个单调区间 C、它的值域为(0,+ ? ) D、函数 y=f(x-2)的图象关于直线 x=2 对称 8、计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的数制,采用数字 0-9 和字母 A-F 共 16 个记数符号,
1

这些符号与十进制的数的对应关系如下表:

例如,用十六进制表示:E+D=1B,则 A× B=( ) A、6E B、72 C、5F D、5F D、B0 第二部分 (非选择题 满分 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题:. 9、已知数列{ an }的前几项为: , ?2, , ?8,

1 2

9 2

25 , ?18 ??? 用观察法写出满足数列的一个通项公式 2

an =___
10、 ( x ? ) 的展开式中,x3 的系数是____(用数字作答)
7

2 x

11、已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1, c ? 3 , A+B=2C,则 sinB=____ 12、已知 x>0,y>0,且

1 9 ? =1,则 2x+3y 的最小值为____ x y

13、设 f(x)是 R 是的奇函数,且对 ?x ? R 都有 f(x+2)=f(x),又当 x ?[0,1]时,f (x)=x2,那么 x ? [2011,2013]时,f(x)的解析式为_____ (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. 14. (坐标系与参数方程)在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系,则直线 ?

? x ? ?2 ? t 2 (t 为参数)截圆 ? ? 2? cos? -3=0 的弦长为____ y ? 1? t ?

15. (几何证明选讲)已知圆 O 的半径为 3,从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC,圆心 O 到 AC 的距离为 2 2 ,AB=3,则切线 AD 的长为____

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? tan( x ?

1 3

?

6

)

(I)求 f(x)的最小正周期; (II)求 f ( ? ) 的值; (皿)设 f (3? ?

3 2

7 1 sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ) ? ? ,求 的值. ? 2 2 2 sin(? ? ) 4

2

17.(本小题满分 12 分)汕头市澄海区以塑料玩具为主要出口产品,塑料厂家在产品出厂前,需 对产品做检验, 厂家将一批产品发给商家时, 商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检 验,以决定是否接收这批产品. (I)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 3 件进行检验.求恰有 1 件是合格品 的概率; (H)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 3 件不合格,按合同规定,该商家从中任取 2 件,都进行 检验,只有 2 件都合格时才接收这批产品,否则拒收,求该商家可能检验出不合格产品数 ? 的分 布列及期望 E ? ,并指出该商家拒收这批产品的概率。

18.(本小题满分 14 分) 2012 年 9 月 19 日汕头日报报道:汕头市西部生态新城启动建设,由金平区招商引资共 30 亿 元建设若干个项目。现有某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大 盈利率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%。该投资人计划投资金额不超 过 10 亿元, 为确保可能的资金亏损不超过 1.8 亿元,问 该投资人对甲、 乙两个项目各投资多少亿 元,才能使可能的盈利最大? 19.(本小题满分 14 分) 已知有两个数列{ an },{ bn },它们的前 n 项和分别记为 S n , Tn ,且数列{ an }是各项均为正 数的等比数列, Sm =26,前 m 项中数值最大的项的值,18, S 2m =728,又 Tn ? 2n2 (I)求数列{ an },{ bn }的通项公式. (II)若数列{ cn }满足 cn ? bn an ,求数列{ cn }的前 n 项和 Pn.

20.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB 丄平面 PAD,PD=AD, E 为 PB 的中点, 向量 (I):EF//平面 PAD. (II)若 PH= 3 ,AD=2, AB=2, CD=2AB, (1)求直线 AF 与平面 PAB 所成角的正弦值. (2)求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角的余弦值. 21.(本小题满分 14 分)
2 集合 A={ x ? R | y ? lg x },B={ x ? R | 2x ? 2(1 ? a) x ? a(1 ? a) ? 0 },D=A∩B。

, H 在 AD 上, 点 且

(I)当 a=2 时,求集合 D(用区间表示); (II)当 0 ? a ?

1 时,求集合 D(用区间表示); 2
3 2

(III)在(II)的条件下,求函数 f ( x) ? 4 x ? 3(1 ? 2a) x ? 6ax 在 D 内的极值点.
3

汕头市 2013 届高三上学期期末统一检测 理科数学答案
一、选择题 1、C 2、A 3、A 4、C 5、D 6、C 7、D 8、A 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9、 (?1)
n ?1

?

2 n2 n ?1 n ,或 (?1) ? (注意,本题答案有多种可能,只要学生给出的通项公式计 2 2

算出的前几项满足就可以判正确) 10、 14、 84 4 11、 1 12、 29 ? 6 6 13、 f ( x) ?

?

? ( x ? 2012 ) 2 , x?( 2011, 2012 ) ( x ? 2012 ) 2 , x?[ 2012 , 2013)

15、 15

三、解答题 16.(本题满分 12 分) 解:(1) f ( x) 的最小正周期为 T=

?
1 3

? 3?

????(3 分)

3? 3? ? ? ) ? tan( ? ) ? tan ? 3 ????(6 分) 2 6 6 3 7? 1 1 7? ? 1 1 (3)由 f (3? ? ) ? ? 得 tan[ (3? ? ) ? ] ? ? 即 tan(? ? ? ) ? ? ??(8 分) 2 2 3 2 6 2 2 1 所以 tan ? ? ? ????(9 分) 2
(2) f (

? cos ? ? 0
sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 sin(? ? ) 4 tan ? ? 1 ????(11 分) ? tan ? ? 1 1 ? ?1 ? 2 ? ?3 ????(12 分) 1 ? ?1 2

?

?

sin ? ? cos ? .????(10 分) sin ? ? cos ?

另解:先求 sin ? 和 cos ? 再求得最后正确答案这步也得 3 分 17. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)记“厂家任取 3 件产品检验,恰有 1 件是合格品”为事件 A 则P
2 ( ? A? ? C31 ? 0.8 ? 1-0.8)=3 ? 0.8 ? 0.04=0.096

????(3 分)

(Ⅱ) ? 可能的取值为 0,1, 2

????????????(4 分)

4

P ?? ? 0 ? ?

2 C17 136 C1C1 C2 51 3 , P ?? ? 1? ? 3 2 17 ? , P ?? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 2 C20 190 C20 190 C20 190

???????????(7 分)

?
P

0
136 190 51 190

2

3 190

????????????(8 分)

E? ? 0 ?

136 51 3 3 ? 1? ? 2? ? ????????????(9 分) 190 190 190 10

记“商家任取 2 件产品检验,都合格”为事件 B,则商家拒收这批产品的概率

136 27 ????????????(11 分) ? 190 95 27 所以商家拒收这批产品的概率为 ????????????(12 分) 95 P ? 1? P ? B? ? 1?
18. (本小题满分 14 分) 解:设该投资人对甲、乙两个项目分别投资 x 亿元、 y 亿元,可能的盈利为 z 亿元,则

z ? x?

1 y . ????????????(1 分) 2
y 18 ? x ? y ? 10 ?3 x ? y ? 18 ? 即? ????????????(5 分) ?x ? 0 ?y ? 0 10 ?

? x ? y ? 10 ?3 ? x ? 1 y ? 1.8 ? 依题意得: ?10 10 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?

画出可行域如图阴影部分,????????????(8 分) 作出直线 lo : x ?

1 y?0 2

10 o 6 x

作 lo 的一组平行线 l : y ? ?2 x ? 2 z 当直线过直线 x ? y ? 10 ? 0 与直线 3 x ? y ? 18 ? 0 的交点 A 时直线在 y 轴上的截距 2z 最大,此时 z 最大?????????(10 分) 解方程组 ?

? x ? y ? 10 ? 0 ?3 x ? y ? 18 ? 0

得?

?x ? 4 ?y ? 6

? A ? 4, 6 ? ??????????12 分

1 ? zmax ? 4 ? ? 6 ? 7 ? 亿元 ? ????????????(13 分) 2
5

答:投资人对甲项目投资 4 亿元、对乙项目投资 6 亿元,才能使可能的盈利最大。 ?????????(14 分) 19. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q , 若 q=1 时

? an ? 0 , ? q ? 0
而已知

S m ? ma1

S 2 m ? 2ma1

此时 2 S m ? S 2 m

S m ? 26

S 2 m ? 728

? 2 S m ? S 2 m , ? q ? 1 ????????????(1 分)

由?

? S m ? 26 ? S m ? 728

? a1 ?1 ? q m ? ? ? 26 ?1? ? 1? q 得 ? ?????????(2 分) a1 ?1 ? q 2 m ? ? ? 728 ? 2 ? ? ? 1? q
1 ? q m ? 28 ? q m ? 27 ????????????(3 分) ? am ? 18 ????????????(4 分)
? a1 2 2 ? ? 3? 即 a1 ? q 3 q 3

?1? ? ? 2 ? 得:

? q ? 1 ? 前 m 项中 a m 最大
即 a1q
m ?1

? 18

?

a1q m ?1 18 ? qm 27

把 a1 ?

2 q 及 q m ? 27 代入(1)式得 3
把 q=3 代入 a1 ?

2 q ?1 ? 27 ? 3 ? 26 1? q

解得 q=3 由 Tn ? 2n 2

2 q 得 a1 ? 2 ,所以 an ? 2 ? 3n ?1 ???????(7 分) 3

(1) 当 n=1 时 b1 ? T1 ? 2 (2) 当 n ? 2 时 bn ? Tn ? Tn ?1 ? 2n ? 2 ? n ? 1? ? 2n ? 2 n ? 2n ? 1 ? 4n ? 2
2 2 2 2

?

?

? b1 ? 2

适合上式 ? bn ? 4n ? 2 ????????????(9 分) (Ⅱ)由(1) an ? 2 ? 3n ?1 , bn ? 4n ? 2

? c n ? (4n ? 2) ? 2 ? 3 n ?1 ? 4(2n ? 1) ? 3 n ?1

记 d n ? (2n ? 1) ? 3 n ?1 , d n 的前 n 项和为 Qn ,显然 Pn ? 4Qn

Qn ? d1 ? d 2 ? d 3 ? ....... ? d n ? 1 ? 30 ? 3 ? 31 ? 5 ? 3 2 ? ...... ? (2n ? 1) ? 3 n ?1 ?....① ? 3Qn ? d1 ? d 2 ? d 3 ? ....... ? d n ? 1 ? 31 ? 3 ? 3 2 ? 5 ? 33 ? ...... ? (2n ? 1) ? 3 n ? ..②
6

????????????????????(11 分) ①-② 得:-2 Qn = 1 ? 2 ? 31 ? 2 ? 3 2 ? 2 ? 33 ? ........2 ? 3 n ?1 ? (2n ? 1) ? 3 n =1 ? 2 ?

3(1 ? 3 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 3 n = ? 2 ? (2n ? 2) ? 3 n ??????????(13 分) 1? 3

? 4Qn ? 4(n ? 1) ? 3 n ? 4 ,即 Pn ? 4(n ? 1) ? 3 n ? 4 ????????(14 分)
20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ) 取 PA 的中点 Q,连结 EQ、DQ, 则? E 是 PB 的中点,

2 ???? 1 ??? ? 1 又 ? DF ? AB ? DF / / AB, 且DF= AB 2 2

? EQ / / AB, 且EQ= 1 AB

? EQ // DF , 且EQ ? DF ,? 四边形 EQDF 为平行四边形, ? EF / /QD , 又 ? EF ? 平面PAD, 且DQ ? 平面PAD ,
EF / / 平面PAD ????????????(3 分)
(Ⅱ)⑴解法一:证明: ? PH ? AD ? 0 , 又? AB⊥平面 PAD, PH ? 平面 PAD, 又? PH ? AD=H,

???? ????

? PH ? AD ? PH⊥AD,

????

????

? AB⊥PH,

? PH⊥平面 ABCD; ---------------------------------(4 分)

连结 AE ? PD ? AD, Q为PA的中点 ? DQ ? PA 又? AB ? 平面PAD 且 DQ ? 平面PAD ? AB ? DQ

? AB ? PA ? A

? DQ ? 平面PAB ????????????(5 分)
? EF ? 平面PAB

由(Ⅰ)知 EF / / DQ

? AE为AF 在平面PAB上的射影 ??FAE为直线AF 与平面PAB所成的角 ????????????(7 分)
? PD ? AD ? 2

PH ? 3 ? 在Rt ?PHD中

HD ? PD 2 ? PH 2 ? 22 ?

? 3?

2

?1

? H 为AD中点 , 又 PH ? AD ? PA ? PD ? AD ? 2 ? EF ? DQ ? PH ? 3
? AB ? 平面PAD
? AB ? AD

DF / / AB ? DF ? AD
7

在 Rt ?ADF中 AF ?

AD 2 ? DF 2 ? 4 ? 1 ? 5

又? EF ? 平面PAB ? EF ? AE

? 在Rt ?AEF中 sin ?FAE ?

EF 3 15 ? ? AF 5 5
15 15 ????????????(9 分) 55

?直线AF 与平面PAB所成的角的正弦值为

(2) 延 长 DA , CB 交 于 点 M , 连 接 PM , 则 PM 为 平 面 PAD 与 平 面 PBC 所 成 二 面 角 的 交 线。????????????(10 分) 因为 AB // CD, AB ? 在

1 CD ,所以点 A,B 分别为 DM,CM 的中点,所以 DM=4, 2

RT?PHM

中 :

PM 2 ? PH 2 ? MH 2 , ? PM ? 2 3 ? PD 2 ? PM 2 ? DM 2

? PM ? PD ,????????????(11 分)
又因为 CD ? 平面PMD ,所以 CP ? PM

?CPD 即为所求的二面角的平面角。??????????(13 分)
所以在 RT?PCD 中: cos ?CPD ?

PD 2 5 ??????????(14 分) ? ? PC 2 5 5

解法二:(向量法)(1)由(Ⅰ)可得 PH ? 平面ABCD 又? AB ? 平面PAD 在 平 面 ABCD 内 过 点 H 作HG / / AB ? HG ? 平面PAD , 以 H 为 原 点 , 以

??? ???? ? ? ???? HA.HG.HP的方向分别为x轴、y轴、z轴 正方向建立空间直角坐标系 H ? xyz
? PD ? AD ? 2 PH ? 3 ? 在Rt ?PHD中

HD ? PD 2 ? PH 2 ? 22 ?

? 3?

2

?1

0, ? H 为AD中点 ? A ?1, 0 ? P O, O, 3

?1 3? B ?1, 0 ? E ? ,1, ? F ? ?11,? 2, ,0 ?2 2 ? ? ? ??? ? ? ? AF ? ? ?2,0 ? 设平面 PAB 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? 1,

?

?

??? ? ? PA ? 1, 0, ? 3

?

?

, PB ? 1, 2, ? 3

??? ?

?

?
得 y=0 令 z ? 3 得 x=3

? ??? ? ? ??? ? ? x ? 3z ? 0 ?n ? PA ?n ? PA ? 0 ? ? ? 由 ? ? ??? 得 ? ? ??? ?? ? ? ?n ? PB ?n ? PB ? 0 ? x ? 2 y ? 3z ? 0 ? ? ? ? ? n ? 3, 0, 3 ????????????11 分

?

?

设直线 AF 与平面 PAB 所成的角为 ?

8

??? ? ? ??? ? ? AF ?n 则 sin ? ? cos AF , n ? ??? ? ? ? AF n

?2 ? 3

? ?2 ?

2

? 12 ? 32 ?

? 3?

2

?

3 15 ? 5 5? 3

?直线AF 与平面PAB所成的角的正弦值为

15 ????????????(9 分 ) 5

(2) 显然向量 AB 为平面 PAD 的一个法向量,且 AB ? (0,2,0) 设平面 PBC 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

??? ? PB ? 1, 2, ? 3 , BC ? (?2,2,0) ,

?

?

由 PB ? n1 ? 0, 得到 x1 ? 2 y1 ? 3 z1 ? 0 由 Bc ? n1 ? 0, 得到 ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0 ,令 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1, z1 ? 所以 n1 ? (1,1, 3 ) ,

3

??? ?? ? ??? ?? ? AB?n1 2 ?1 cos AB, n1 ? ??? ?? ? ? AB n1 2 ? 1 ? 1 ?

? 3?

2

?

5 5

所以平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角的余弦值为

5 ?????????(14 分 ) 5

21、解:(1) A= x x ? 0 ????????????1 分 当 a=2 时 B= x ? R x 2 ? x ? 1 ? 0

?

?

?

?

解不等式 x 2 ? x ? 1 ? 0 得 x ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 或 x? 2 2

? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? ? ? ? B ? ?x x ? , 或x ? ? ????????????2 分 2 2 ? ? ? ? ? ?1 ? 5 ? ? A? B ? ? , ?? ? ????????????3 分 ? ? 2 ? ?
(2)不等式 2 x ? 2 ?1 ? a ? x ? a ?1 ? a ? ? 0 令 h ? x ? ? 2 x ? 2 ?1 ? a ? x ? a ?1 ? a ?
2 2

? ? ? ?2 ?1 ? a ? ? ? 4 ? 2 ? ?1 ? ? a a ? a a) ? ?
2

9

= 4 ?1 ? a ? ? 8 ?1 ? a ? a
2

= 4 ?1 ? a ??1 ? a ? 2a ? = 4 ?1 ? a ??1 ? 3a ? = 4 ? a ? 1?? 3a ? 1? ????????????4 分 ① 当0 ? a ?

1 时? ? 0 此时方程h ? x ? ? 0有两个不同的解 3
?

x1 ?

2 ?1 ? a ? ? 4 ? 3a ? 1?? a ? 1? 4
2 ?1 ? a ? ? 4 ? 3a ? 1?? a ? 1? 4

?1 ? a ? ? ? 3a ? 1?? a ? 1?
2

x2 ?

?

?1 ? a ? ? ? 3a ? 1?? a ? 1?
2

? B ? ? x x ? x1 , 或x ? x2 ?
?

x1 ? x2 ? 1 ? a
2

?0 ? a ?

1 3

? x1 ? x2 ? 1 ? a ? 0

x1 ? x2

?1 ? a ? ? ? 3a ? 1?? a ? 1? ? ? a ? 1?? a ? 1 ? 3a ? 1? ? ? a ? 1?? ?2a ? ? a ?1 ? a ? ? 0 ?
4 4 4 2

? x1 ? 0且x2 ? 0

? D ? A ? B ? ? 0, x ? ? ? x2 ? ? ?

? ?1 ? a ? ? ? ? 0, ? ?

? 3a ? 1?? a ? 1? ? ?
2

? ?1 ? a ? ? ?? ? ? ? ?

? 3a ? 1?? a ? 1?
2

? , ?? ? ? ?

????????????6 分 ② 当a ?

1 时 ? =0此时方程h ? x ? ? 0有唯一解 3 1 x1 =x2 ? 3

1? ?1 ? ? ? 1? ?1 ? 此时B ? ? ??, ? ? ? , ? ? 于是D ? A ? B ? ? 0, ? ? ? , ?? ? ????????7 分 ? 3? ?3 ? ? ? 3? ? 3 ?
③ 当

1 1 ?a? 时 3 2

? ? 0对?x ? R h ? x ? ? 0

?B ? R

? D ? A ? B ? A ? ? 0, ? ? ????????????8 分 ?

10

(3) ? f ? ? x ? ? 12 x ? 6 ?1 ? 2a ? x ? 6a
2

? 6 ? 2 x 2 ? ?1 ? 2a ? x ? a ? ? ? ? 6 ? 2 x ? 1?? x ? a ?
令 f ?( x) ? 0得x1 ?

1 , x2 ? a 2

?0 ? a ?

1 2

?当x ? a时f ?( x) ? 0 ? f ( x)在 ? ??, a ? 上单调递增
当a ? x ?

1 ? 1? 时f ?( x) ? 0 ? f ( x)在 ? a, ? 上单调递减 2 ? 2?

当x?

1 时f ?( x) ? 0 2

?1 ? ? f ( x)在 ? ,? ? 上单调递增 ????????????10 分 + ?2 ?

① 当

1 1 ?a? 时 3 2

D ? ? 0, ? ? ?

当 0 ? x ? a时f ? ? x ? ? 0 ? f ? x ? 在 ? 0, a ? 单调递增 当a ? x ?

1 时f ? ? x ? ? 0 2

?1 ? ? f ? x ? 在 ? ,? ? 上单调递增 + ?2 ?

当x?

1 时f ? ? x ? ? 0 2

?1 ? ? f ? x ? 在 ? ,? ? 上单调递增 + ?2 ?

1 ? f ? x ? 有极小值点为 ,极大值点为a ????????????11 分 2
② 当a ?

1 ? 1 ? ?1 ? ? 时 D ? ? 0, ? ? ? , ? ? 3 ? ? ,3 ? ? 3
此时 f ? x ? 在D上有极小值点

1 ????????????12 分 2

③ 0?a?

1 时 D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ? 3

x1

?1 ? a ? ? ? 3a ? 1?? a ? 1? ?1 ? a ? ? ? ?
2

3a 2 ? 4a ? 1 2

? 3a 2 ? 4a ? 1 ? ? 9a 2 ? 6a ? 1? ? ?6a 2 ? 2a ? ?2a ? 3a ? 1? ? 2a ?1 ? 3a ? ? 0

11

? x1 ?

?1 ? a ? ?

9a 2 ? 6a ? 1 1 ? a ? ? 3a ? 1? 1 ? a ? ?1 ? 3a ? 2a ? ? ? ?a 2 2 2 2

当1 ?

?1 ? a ? ? 2 1 ? a ? 时 x2 ? 2 3
此时

? 3a ? 1?? a ? 1?
2

?

1? a ? a 1 ? 2 2

1 ? ? x2 , ?? ? 2

又 ? x2 ?

?1 ? a ? ? ? 3a ? 1?? a ? 1?
2

?

1 ? a ? 9a 2 ? 6a ? 1 2 ? 4a ? ? 1 ? 2a 2 2

又? ?1 ? 2a ? ? a ? 1 ? 3a ? 0

? x2 ? 1 ? 2a ? a

? a ? ? x2 , ?? ? ,此时 f ? x ? 在D上有极小值点
当 0 ? a ? 1?

1 2

1? a ? 2 时 x2 ? 2

? 3a ? 1?? a ? 1?
2

?

1? a ? a 1 ? 2 2

此时f ? x ? 在D上没有极值点
综上所述:

1 1 1 时, f ? x ? 有极小值点为 ,极大值点为a ; ?a? 3 2 2 1 1 当 a ? 时 ,时 f ? x ? 在D上有极小值点 ; 3 2
当 当 0 ? a ? 1?

2 时 , f ? x ? 在D上没有极值点 ; 2

当1 ?

2 1 1 ? a ? 时 , f ? x ? 在D上有极小值点 ﹒????????14 分 2 3 2

12


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