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【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编(11月第四期):H单元+解析几何


H 单元 目录

解析几何

H 单元 解析几何 ........................................................................................................................... 1 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ...................................................................................... 1 H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 .................................................................................. 8 H3 圆的方程 ................................................................................................................................ 10 H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 ............................................................................................ 10 H5 椭圆及其几何性质 ................................................................................................................ 18 H6 双曲线及其几何性质 ............................................................................................................ 28 H7 抛物线及其几何性质 ............................................................................................................ 30 H8 直线与圆锥曲线(AB 课时作业) ..................................................................................... 31 H9 曲线与方程 ............................................................................................................................ 39 H10 单元综合 .............................................................................................................................. 39

H1

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

【数学(理)卷?2015 届四川省南充市高三第一次高考适应性考试(201411) word 版】15. 在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是 _________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行,又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线. 【知识点】直线的一般式方程.H1 【答案】 【解析】①③⑤ 解析:① 令 y=x+ 本命题正确; ② 若 k= 2 ,b= 2 ,则直线 y= 2 x+ 2 经过(﹣1,0) ,所以本命题错误; 设 y=kx 为过原点的直线,若此直线 l 过不同的整点(x1,y1)和(x2,y2) , 把两点代入直线 l 方程得:y1=kx1,y2=kx2, 两式相减得:y1﹣y2=k(x1﹣x2) ,

1 ,既不与坐标轴平行又不经过任何整点,所以 2

则(x1﹣x2,y1﹣y2)也在直线 y=kx 上且为整点, 通过这种方法得到直线 l 经过无穷多个整点, 又通过上下平移得到 y=kx+b 不一定成立.则③ 正确,④ 不正确; ⑤ 令直线 y= 2 x 恰经过整点(0,0) ,所以本命题正确. 综上,命题正确的序号有:① ③ ⑤ . 故答案为:① ③ ⑤ 【思路点拨】① 举一例子即可说明本命题是真命题; ② 举一反例即可说明本命题是假命题; ③ 假设直线 l 过两个不同的整点,设直线 l 为 y=kx,把两整点的坐标代入直线 l 的方程,两 式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线 l 上,利用同样的方法,得到 直线 l 经过无穷多个整点,得到本命题为真命题; ④ 根据③ 为真命题,把直线 l 的解析式 y=kx 上下平移即不能得到 y=kx+b,所以本命题为假命 题; ⑤ 举一例子即可得到本命题为真命题.

【数学理卷?2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】12.已知点 P ? t , 2 ?

?x ? y ? 4 ? 在不等式组 ? y ? x 所表示的平面区域内运动,l 为过点 P 和坐标原点 O 的直线, 则l ?x ? 1 ?
的斜率的取值范围为 . 【知识点】简单的线性规划;斜率的计算公式.E5 H1

?x ? y ? 4 ? 【答案】 【解析】[1,2] 解析:由不等式组 ? y ? x ?x ? 1 ?

可得所表示的可行域, 由图可知:当取点 P 1, 2 时, 直线 l 的斜率的取得最大值, k = 当取点 P 1,1 时, 直线 l 的斜率的取得最小值, k = 故答案为:[1,2]. 【思路点拨】由不等式组可得所表示的可行域,即可得到:当取点 P 1, 2 时,直线 l 的斜 率取得最大值.当取点 P 1,1 时,直线 l 的斜率的取得最小值。

( )

2 = 2. 1

( )

1 =1 1

( )

( )

【数学理卷?2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】9.已知关于 x 的 方程 (

cos x ? k 在 (0, ??) 有且仅有两根,记为 ? , ? (? ? ? ) ,则下列的四个命题正确的是 x

2 A. sin 2? ? 2? cos ? 2 B. cos 2? ? 2? sin ?

C. sin 2? ? ?2? sin ? D. cos 2? ? ?2? sin ? 【知识点】方程的根的存在及判断;直线的斜率;二倍角的正弦公式。B9 H1 C6
2 2

【答案】 【解析】 C

解析: 即方程 cos x ? kx 在 (0, ??) 上有两个不同的解, 作出 y ? cos x

的图象,可见,直线

?? ? y ? kx 与 y ? cos x 在 x ? ? , ? ? 时相切才符合,此时 y ? cos x ? ? cos x ?2 ?
有 y'
x??

? sin ? ? k ,又 cos ? ? k ? ? k ?

? cos ?

?



sin ? ?

? cos ?

?

? ? sin 2? ? ?2? sin 2 ? ,故选 C。

【 思 路 点 拨 】 先 由 已 知 条 件 结 合 图 像 得 到 y ? cos x ? ? cos x , 再 利 用 斜 率 求 出

s i nb =

- c o sb ,最后结合二倍角的正弦公式可得结果。 b

【数学文卷?2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】21(本小题满 分 13 分).已知 m, t ? R ,函数 f ( x) ? ? x ? t ? ? m
3

(1)当 t ? 1 时,若 f ( x) ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? x3 ?1 在区间 ?1, 2? 上有解,求 m 的取值范围; (3)已知曲线 y ? f ( x) 在其图像上的两点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 ))( x1 ? x2 ) 处的切线分 别为 l1 , l2 ,若直线 l1 与 l2 平行,试探究点 A 与点 B 的关系,并证明你的结论。 【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;直线的一般式方 程与直线的平行关系.B12 H1 【答案】 【解析】 (1) (??, ??) ; (2) [0, ?? ) (3)见解析 解析: (1)因为 f (1) ? 1 ,所以 m ? 1 , 则 f ?x? ? ?x ?1? ? 1 ? x3 ? 3x 2 ? 3x ,
3

1分

而 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1)2 ? 0 恒成立, 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) . (2)不等式 f ( x) ? x3 ? 1 在区间 [1,2] 上有解, 即不等式 3x 2 ? 3x ? m ? 0 在区间 [1, 2] 上有解, 即不等式 m ? 3 x 2 ? 3 x 在区间 [1, 2] 上有解, 等价于 m 不小于 3 x 2 ? 3 x 在区间 [1, 2] 上的最小值.
1 3 因为 x ? [1, 2] 时, 3x2 ? 3x ? 3( x ? )2 ? ? ?0,6? , 2 4 所以 m 的取值范围是 [0, ?? ) . 8分

4分

6分

(3)因为 f ( x) ? x3 的对称中心为 (0, 0) ,

而 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 可以由 f ( x) ? x3 经平移得到, 所以 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 的对称中心为 (t , m) ,故合情猜测,若直线 l1 与 l2 平行, 则点 A 与点 B 关于点 (t , m) 对称. 对猜想证明如下: 因为 f ( x) ? ? x ? t ? ? m ? x3 ? 3tx2 ? 3t 2 x ? t 3 ? m ,
3

9分

所以 f ?( x) ? 3x2 ? 6tx ? 3t 2 ? 3( x ? t )2 , 所以 l1 , l2 的斜率分别为 k1 ? 3( x1 ? t ) 2 , k2 ? 3( x2 ? t )2 . 又直线 l1 与 l2 平行,所以 k1 ? k 2 ,即 ( x1 ? t )2 ? ( x2 ? t )2 , 因为 x1 ? x2 ,所以, x1 ? t ? ?( x2 ? t ) , 从而 ( x1 ? t )3 ? ?( x2 ? t )3 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? t )3 ? m ? ( x2 ? t )3 ? m ? ?( x2 ? t )3 ? m ? ( x2 ? t )3 ? m ? 2m . 又由上 x1 ? x2 ? 2t , 所以点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 )关于点 (t , m) 对称. 故当直线 l1 与 l2 平行时,点 A 与点 B 关于点 (t , m) 对称. 13 分 11 分

【思路点拨】 (1)根据已知条件先求出 f ( x) ,再利用导数求出其单调区间; (2)不等式

f ( x) ? x3 ? 1 在区间 ?1, 2? 上有解,等价于 m 不小于 3 x 2 ? 3 x 在区间 [1, 2]上的最小值,由
1 3 x∈ ?1, 2? 时, 3x2 ? 3x ? 3( x ? )2 ? ? ?0,6? ,能求出 m 的取值范围. (3)因为 f ( x) ? x3 的对称 2 4

中心为 (0, 0) ,而 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 可以由 f ( x) ? x3 经平移得到,所以 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 的对 称中心为 (t , m) ,故合情猜测,若直线 l1 与 l2 平行,则点 A 与点 B 关于点 (t , m) 对称,对猜想 证明即可。

【数学文卷?2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】21(本小题满分 13 分).已知 m, t ? R ,函数 f ( x) ? ? x ? t ? ? m
3

(1)当 t ? 1 时,若 f ( x) ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? x3 ?1 在区间 ?1, 2? 上有解,求 m 的取值范围; (3)已知曲线 y ? f ( x) 在其图像上的两点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 ))( x1 ? x2 ) 处的切线分 别为 l1 , l2 ,若直线 l1 与 l2 平行,试探究点 A 与点 B 的关系,并证明你的结论。 【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;直线的一般式方 程与直线的平行关系.B12 H1 【答案】 【解析】 (1) (??, ??) ; (2) [0, ?? ) (3)见解析 解析: (1)因为 f (1) ? 1 ,所以 m ? 1 , 则 f ?x? ? ?x ?1? ? 1 ? x3 ? 3x 2 ? 3x ,
3

1分

而 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1)2 ? 0 恒成立, 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) . (2)不等式 f ( x) ? x3 ? 1 在区间 [1, 2] 上有解, 即不等式 3x 2 ? 3x ? m ? 0 在区间 [1, 2] 上有解, 即不等式 m ? 3 x 2 ? 3 x 在区间 [1, 2] 上有解, 等价于 m 不小于 3 x 2 ? 3 x 在区间 [1, 2] 上的最小值.
1 3 因为 x ? [1, 2] 时, 3x2 ? 3x ? 3( x ? )2 ? ? ?0,6? , 2 4 所以 m 的取值范围是 [0, ?? ) . 8分

4分

6分

(3)因为 f ( x) ? x3 的对称中心为 (0, 0) , 而 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 可以由 f ( x) ? x3 经平移得到, 所以 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 的对称中心为 (t , m) ,故合情猜测,若直线 l1 与 l2 平行, 则点 A 与点 B 关于点 (t , m) 对称. 对猜想证明如下: 因为 f ( x) ? ? x ? t ? ? m ? x3 ? 3tx2 ? 3t 2 x ? t 3 ? m ,
3

9分

所以 f ?( x) ? 3x2 ? 6tx ? 3t 2 ? 3( x ? t )2 , 所以 l1 , l2 的斜率分别为 k1 ? 3( x1 ? t ) 2 , k2 ? 3( x2 ? t )2 . 又直线 l1 与 l2 平行,所以 k1 ? k 2 ,即 ( x1 ? t )2 ? ( x2 ? t )2 , 因为 x1 ? x2 ,所以, x1 ? t ? ?( x2 ? t ) , 从而 ( x1 ? t )3 ? ?( x2 ? t )3 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? t )3 ? m ? ( x2 ? t )3 ? m ? ?( x2 ? t )3 ? m ? ( x2 ? t )3 ? m ? 2m . 又由上 x1 ? x2 ? 2t , 所以点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 )关于点 (t , m) 对称. 故当直线 l1 与 l2 平行时,点 A 与点 B 关于点 (t , m) 对称. 13 分 11 分

【思路点拨】 (1)根据已知条件先求出 f ( x) ,再利用导数求出其单调区间; (2)不等式

f ( x) ? x3 ? 1 在区间 ?1, 2? 上有解,等价于 m 不小于 3 x 2 ? 3 x 在区间 [1, 2]上的最小值,由
1 3 x∈ ?1, 2? 时, 3x2 ? 3x ? 3( x ? )2 ? ? ?0,6? ,能求出 m 的取值范围. (3)因为 f ( x) ? x3 的对称 2 4

中心为 (0, 0) ,而 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 可以由 f ( x) ? x3 经平移得到,所以 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 的对 称中心为 (t , m) ,故合情猜测,若直线 l1 与 l2 平行,则点 A 与点 B 关于点 (t , m) 对称,对猜想 证明即可。

【数学文卷?2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】6.下列说法正确 的是( ) A.若 a ? b ,则

1 1 ? a b

x B.函数 f ( x) ? e ? 2 的零点落在区间 ( 0 , 1 ) 内

C.函数 f ( x ) ? x ?

1 的最小值为 2 x

D.若 m ? 4 ,则直线 2 x ? m y ? 1 ? 0 与直线 m x ? 8 y ? 2 ? 0 互相平行 【知识点】不等关系与不等式;函数零点的判定定理;直线的一般式方程与直线的平行关 系.E1 B9 H1 【答案】 【解析】B 解析:A 中取 a=1,b=﹣1,错误; x B 中 f(0)f(1)=﹣1(e﹣2)<0,由根的存在性定理函数 f(x)=e ﹣2 的零点落在区间 (0,1)内正确; C 中 f ( x) ? x ?

1 ,当 x>0 时,才能取到最小值 2; x
,m=4,故为充

D 中,“直线 2x+my+1=0 与直线 mx+8y+2=0 互相平行”则 m≠0 且 要条件. 故选 B

【思路点拨】A 中取特值,a 正 b 负即可判断;B 中由根的存在性定理只需判断 f(0)f(1) 的符号; C 中注意检验基本不等式求最值时是否都是正实数; D 中可先求出“直线 2x+my+1=0 与直线 mx+8y+2=0 互相平行”的充要条件。

H2

两直线的位置关系与点到直线的距离

【数学理卷?2015 届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试(201411)(1)】

19.在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA ? 平面 ABCD ,PA ? AD ? 4 ,

AC 为直径的球面交 PD 于点 M , 交 PC 于点 N . AB ? 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、

(1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值; (3)求点 N 到平面 ACM 的距离.

【知识点】面面垂直,直线与平面所成的角,点到平面的距离.G5,G11,H2 【答案】 【解析】 (1)略(2)

5 6 (3) 解析: (1) 依题设知, AC 是所作球面的直径, 则 AM⊥MC。 9 3

又因为 P A⊥平面 ABCD,则 PA⊥CD,又 CD⊥AD, 所以 CD⊥平面PAD,则 CD⊥AM,所以 A M⊥平面 PCD, 所以平面 ABM⊥平面 PCD。 (2)由(1)知, AM ? PD ,又 PA ? AD ,则 M 是 PD 的中点可得

AM ? 2 2 , MC ? MD 2 ? CD 2 ? 2 3 1 则 S ?ACM AM ? MC ? 2 6 2 设 D 到平面 ACM 的距离为 h ,由 VD ? ACM ? VM ? ACD 即 2 6h ? 8 ,
可求得 h ?

2 6 , 3

设所求角为 ? ,则 sin ? ?

h 6 。 ? CD 3

PN PA 8 ,得 PN ? 。所以 NC : PC ? 5 : 9 。 ? PA PC 3 5 故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 。 9 5 10 6 又因为 M 是 PD 的中点, 则 P、 D 到平面 ACM 的距离相等, 由 (2) 可知所求距离为 h ? . 9 27
(3) 可求得 PC=6。因为 AN⊥NC,由 【思路点拨】由已知条件可判定面面垂直,再由等体积法求出距离,再按比例关系求出点到 平面的距离.

【数学理卷? 2015 届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试( 201411) 】6.设曲线

x ?1 在点 (3,2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( x ?1 1 1 A. 2 B. C. ? 2 2 y?
【知识点】导数的几何意义;两直线垂直的充要条件.B11 H2 【答案】 【解析】 D 解析: 因为 y ?

) D. ? 2

x ?1 x ?1 2 , 所以 y? ? ? , 则曲线 y ? 在点 (3,2) 2 x ?1 x ?1 ? x ? 1?

处的切线的斜率为 y ? x ?3 ? ? 解得 a ? ?2 ,故选 D。

1 1 , 又因为切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直, 所以 ? ? ? a ? ? ? 1 , 2 2

【思路点拨】先对原函数求导,求出斜率,再结合两直线垂直的充要条件可求得 a 的值。

【 数 学 文 卷 ? 2015 届 河 北 省 衡 水 中 学 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】 12 、 已 知

b ? ?a2 ? 3ln a, d ? c ? 2 ,则 (a ? c)2 ? (b ? d )2 的最小值为(
A. 2 B.2 C. 2 2 D.8



【知识点】两条曲线上点间距离平方的最小值;导数的应用. 【答案】 【解析】D 解析: b? ? ?2a ?

B12 H2

3 ? 1(a ? 0) ? a ? 1 ,即函数 b ? ?a 2 ? 3ln a 的斜率 a

为 1 的切线的切点为(1,-1) ,此点到直线 d=c+2 的距离为

4 ? 2 2 ,所以,所求为 8. 2

【思路点拨】所求为函数 y ? ? x2 ? 3ln x 上点到直线 y ? x ? 2 最小距离的平方,因此先求 函数 y ? ? x2 ? 3ln x ,与直线 y ? x ? 2 平行的切线的切点坐标,由导数法求得此坐标即可.

H3

圆的方程

H4

直线与圆、圆与圆的位置关系

【数学(理)卷?2015 届四川省南充市高三第一次高考适应性考试(201411) word 版】14. 已知直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 4 交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点,若圆周上存
2 2

在一点 C,使得△ABC 为等边三角形,则实数 m 的值为__________. 【知识点】直线与圆的位置关系.H4 【答案】 【解析】 ? 2 解析:根据题意画出图形,连接 OA,OB,作 OD 垂直于 AB 于 D 点,

A

D

B

O

C

因为△ABC 为等边三角形,所以 ? AOB 1200 ,由余弦定理知:

AB2 = OA2 +OB2 - 2OA?OB cos1200
直线 AB 的距离

2 3 ,故 BD = 3 ,所以 OD = 1 ,所以 O(0,0)到

|m| = 1 ,解得 m = 2

2 ,故答案为 ? 2 。

【思路点拨】 先由圆心角与圆周角的关系得到 ? AOB 1200 , 再利用余弦定理得到 BD,最后 借助于点到直线的距离公式可解得 m 即可。

【数学(文)卷?2015 届四川省南充市高三第一次高考适应性考试(201411)word 版】14. 已知直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 4 交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点.若圆周上存
2 2

在一点 C,使得△ABC 为等边三角形,则实数 m 的值为__________. 【知识点】直线与圆的位置关系.H4 【答案】 【解析】 ? 2 解析:根据题意画出图形,连接 OA,OB,作 OD 垂直于 AB 于 D 点,

A

D

B

O

C

因为△ABC 为等边三角形,所以 ? AOB 1200 ,由余弦定理知:

AB2 = OA2 +OB2 - 2OA?OB cos1200
直线 AB 的距离

2 3 ,故 BD = 3 ,所以 OD = 1 ,所以 O(0,0)到

|m| = 1 ,解得 m = 2

2 ,故答案为 ? 2 。

【思路点拨】 先由圆心角与圆周角的关系得到 ? AOB 1200 , 再利用余弦定理得到 BD,最后 借助于点到直线的距离公式可解得 m 即可。

【数学理卷?2015 届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试(201411)(1)】

22.(满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲 已知 △ABC 中,AB=AC, 合) ,延长 BD 至 E. (1) 求证:AD 的延长线平分 ? CDE;

D 是△ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A,C 重

(2) 若 ? BAC=30°,ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 ,求△ABC 外接 圆的面积.
【知识点】直线与圆.H4

【答案】 【解析】(1)略(2) 4? 解析: (Ⅰ) 如图,设 F 为 AD 延长线上一点 ∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠CDF=∠ABC 又 AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即 AD 的延长线平分∠CDE.

(II) 设 O 为外接圆的圆心,连接 AO 交 BC 于 H ,则 AH ? BC ,连接 OC ,由题意

?OAC ? ?OCA ? 15?, ?ACB ? 75?,??OCH ? 60? , 设 圆 的 半 径 为 r , 则

r?

3 r ? 2 ? 3 得 r ? 2 ,外接圆的面积为 4? 2

【思路点拨】根据已知条件可证明 AD 为角平分线,再求出外接圆的半径进而求出面积.

【数学理卷?2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】20.(本小题满 分 13 分) 已知圆 N:(x+2)2+y2=8 和抛物线 C:y2 =2x,圆 N 的切线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A, B.

(1)当切线 l 斜率为 1 时,求线段 AB 的长; (2)设点 M 和点 N 关于直线 y=x 对称,问是否存在直线 l,使得 MA ? MB ?若存在,求出 直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 【知识点】 圆的切线方程的求法;弦长公式;向量垂直关系的应用. H4 H10

【答案】 【解析】(1) 2 10 ; (2)存在满足条件的直线 l,其方程为 y ? ? x ? 2. 解析: (1)∵圆 N:(x+2)2+y2=8,∴ 圆心 N 为(-2,0),半径 r ? 2 2 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 当直线 l 的斜率为 1 时,设 l 的方程为 y ? x ? m, 即 x ? y ? m ? 0 , (由图形知 m ? 0 )

∵ 直线 l 是圆 N 的切线,∴

?2 ? m 2

? 2 2,

解得 m=-2,或 m=6(舍去)此时直线 l 的方程为 y ? x ? 2,

由?

?y ? x ? 2 ? y ? 2x
2

, 消去 x 得 y 2 ? 2 y ? 4 ? 0,

??=(?2)2 ? 16 ? 20 ? 0, y1 ? y2 ? 2, y1 ? y2 ? ?4,

( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? 20,
∴弦长 AB ? 1 ?

1 y1 ? y2 ? 2 10 .…………………………………………(6 分) k2

(2) (i)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程 y ? kx ? m, 即 kx ? y ? m ? 0 ( k ? 0 ) ,

∵ 直线 l 是圆 N 的切线,∴

?2k ? m 1? k 2

? 2 2,

得 m2 ? 4k 2 ? 4mk ? 8 ? 0, …………① 由?

? y ? kx ? m ? y ? 2x
2

, 消去 x 得 ky2 ? 2 y ? 2m ? 0,
1 2 2m , ………………(8 分) 且 k ? 0, y1 ? y2 ? , y1 y2 ? 2 k k

? ? 4 ? 4k ? 2m ? 0, 即 km ?

∵点 M 与点 N 关于直线 y=x 对称,∴M(0,-2),

?MA ? ( x1, y1 ? 2), MB ? ( x2 , y2 ? 2), MA ? MB,? x1x2 ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0,
将 A,B 代入直线 y ? kx ? m 并化简,得

(1 ? k 2 ) y1 y2 ? (2k 2 ? m)( y1 ? y2 ) ? m2 ? 4k 2 ? 0,
2 2m , y1 y2 ? , k k 2m 2 2 ? (2k 2 ? m) ? m2 ? 4k 2 ? 0, 得 (1 ? k ) k k
代入 y1 ? y2 ? 化简,得 m ? 4k ? 2mk ? 4k ? 0, ……②
2 2

①+②得 2m ? 2mk ? 4k ? 8 ? 0, 即 (m ? 2)(m ? k ? 2) ? 0 ,解得 m=2,或 m=k-2.
2

当 m=2 时,代入①,解得 k=-1,满足条件 km ? 此时直线 l 的方程为 y ? ? x ? 2.

1 ,且 k ? 0, 2

2 当 m=k-2 时,代入①整理,得 7k ? 4k ? 4 ? 0 ,无解.………………………………(11 分)

(ii)当直线 l 的斜率不存在时, 因为直线 l 是圆 N 的切线,所以 l 的方程为 x ? 2 2 ? 2 . 则得 x1x2 ? 4(3 ? 2 2), y1 ? y2 ? 0,( y1 y2 ) ? 4x1x2 ? 16(3 ? 2 2),
2

即 y1 y2 ? 4(1 ? 2) ? 0, 由①得 MA MB=x1x2 ? y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 20 ?12 2 ? 0, 当直线 l 的斜率不存在时, MA ? MB 不成立. 综上所述,存在满足条件的直线 l,其方程为 y ? ? x ? 2. …………………………(13 分) 【思路点拨】 (1)先求出直线 l 的方程,代入抛物线方程消去 x 得关于 y 的一元二次方程, 再用弦长公式求解; (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程 y ? kx ? m, ( k ? 0 ) 由直线 l 与圆相切得一个 k,m 的等量关系①, 由直线 l 与抛物线相交于 A、 B 且 MA ? MB 得 K,m 的等量关系②,由①②解得 k,m 值即可;当直线 l 的斜率不存在时, l 的方程为

x ? 2 2 ? 2 ,代入抛物线方程,求得 A、B 坐标,检验 MA ? MB 是否为零即可.

【数学理卷?2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】9.抛物线 C:

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的点,若△ OFM 的外接圆与抛物线 C 的准
线相切,且该圆面积为 36π ,则 p= A.2 B .4 C.6 D.8 【知识点】 抛物线的性质;圆的切线的性质.

H7 H4

【答案】 【解析】D 解析:因为△OFM 的外接圆的圆心在线段 OF 的中垂线上,所以圆心到 抛物线准线的距离为

p p 3p ? ? ,由圆的面积公式得 p=8,故选 D. 4 2 4

【思路点拨】根据题意得圆半径关于参数 P 得表达式,再用圆的面积公式求解.

【数学文卷? 2015 届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试( 201411 ) 】 8. 若直线

l : y ? kx ? 1 被圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 截得的弦最短,则直线 l 的方程是(
A. x ? y ? 1 ? 0 B. y ? 1 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 0



【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系 H4 【答案解析】 A 直线 l 是直线系, 它过定点 (0, 1) , 要使直线 l: y=kx+1 被圆 C: x2+y2-2x-3=0 截得的弦最短,必须圆心(1,0)和定点(0,1)的连线与弦所在直线垂直;连线的斜率 -1,弦的所在直线斜率是 1.则直线 l 的方程是:y-1=x 故选 A. 【思路点拨】直线过定点(0,1) ,截得的弦最短,圆心和弦垂直,求得斜率可解得直线方 程.

【 数 学 文 卷 ? 2015 届 河 北 省 衡 水 中 学 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】 13 、 已 知 圆

C1 : ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 10 与圆 C2 : ( x ? 6)2 ? ( y ? 3)2 ? 50 交于 A, B 两点,则 AB 所在直
线的方程为 【知识点】圆与圆的位置关系. H4

【答案】 【解析】 2x+y=0 解析: 两圆方程相减得: 2x+y=0, 所以 AB 所在直线的方程为 2x+y=0. 【思路点拨】当两圆相交时,两圆方程相减得公共弦所在直线方程.

【数学文卷?2015 届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试(201411) 】20. (本小题 满分 14 分)设抛物线 C 的方程为 x ? 4 y , M ? x0 , y0 ? 为直线 l : y ? ?m(m ? 0) 上任意
2

一点,过点 M 作抛物线 C 的两条切线 MA , MB ,切点分别为 A , B . (1)当 M 的坐标为 (0, ?1) 时,求过 M , A, B 三点的圆的方程,并判断直线 l 与此圆的位置 关系; (2)求证:直线 AB 恒过定点 (0, m) ; 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线与圆的位置关系.H4 H8 【答案】 【解析】 (1)此圆与直线 l : y ? ?1 相切; (2)见解析 解析:(1)当 M 的坐标为 (0, ?1) 时,设过 M 点的切线方程为 y ? kx ? 1 ,代入 x ? 4 y ,
2
2 整理得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,

2 令 ? ? (4k ) ? 4 ? 4 ? 0 ,解得 k ? ?1 ,

代入方程得 x ? ?2 ,故得 A(2,1), B(?2,1) , 因为 M 到 AB 的中点 (0,1) 的距离为 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . .2 分

从而过 M , A, B 三点的圆的方程为 x ? ( y ? 1) ? 4 .
2 2

易知此圆与直线 l : y ? ?1 相切.

. . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分

(2)证法一:设切点分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,过抛物线上点 A ? x1 , y1 ? 的切线方程为

( y ? y1 ) ? k ( x ? x1 ) ,代入 x2 ? 4 y ,整理得 x2 ? 4kx ? 4 ? kx1 ? y1 ? ? 0

? ? (4k )2 ? 4 ? 4 ? kx1 ? y1 ? ? 0 ,又因为 x12 ? 4 y1 ,所以 k ?

x1 . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 2

从而过抛物线上点 A ? x1 , y1 ? 的切线方程为 y ? y1 ?

x x2 x1 ( x ? x1 ) 即 y ? 1 x ? 1 2 2 4
① 即 y0 ?

又切线过点 M ? x0 , y0 ? ,所以得 y0 ?

x1 x2 x0 ? 1 2 4 x2 x2 x? 2 , 2 4

x1 x0 ? y1 . . . .8 分 2

同理可得过点 B ? x2 , y2 ? 的切线为 y ?

2 x2 x2 x0 ? 又切线过点 M ? x0 , y0 ? ,所以得 y0 ? 2 4



. . . .10 分

x2 x0 ? y2 . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 2 x 即点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 均满足 y0 ? x0 ? y 即 x0 x ? 2 ? y0 ? y ? ,故直线 AB 的方程为 2
即 y0 ?

x0 x ? 2 ? y0 ? y ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

又 M ? x0 , y0 ? 为直线 l : y ? ?m(m ? 0) 上任意一点,故 x0 x ? 2 ? y ? m? 对任意 x0 成立,所 以 x ? 0, y ? m ,从而直线 AB 恒过定点 (0, m) 证法二:由已知得 y ? .. . . . . . . . . . . . . . . . .14 分

x2 x ,求导得 y ? ,切点分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,故过点 2 4
x1 x , 从 而 切 线 方 程 为 ( y ? y1 ) ? 1 ( x ? x1 ) 即 2 2

A ? x1 , y1 ? 的 切 线 斜 率 为 k ?
y?

x1 x2 x? 1 . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 2 4 x1 x2 x0 ? 1 2 4 x2 x2 x? 2 , 2 4 x2 x2 x0 ? 2 2 4
② 即 y0 ? ① 即 y0 ?

又切线过点 M ? x0 , y0 ? ,所以得 y0 ?

x1 x0 ? y1 . . . . . . . .8分 2

同理可得过点 B ? x2 , y2 ? 的切线为 y ?

又切线过点 M ? x0 , y0 ? ,所以得 y0 ?

x2 x0 ? y2 . . . . . . . .10 分 2

即点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 均满足 y0 ?

x x0 ? y 即 x0 x ? 2 ? y0 ? y ? ,故直线 AB 的方程为 2
. . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

x0 x ? 2 ? y0 ? y ?

又 M ? x0 , y0 ? 为直线 l : y ? ?m(m ? 0) 上任意一点,故 x0 x ? 2 ? y ? m? 对任意 x0 成立,所

以 x ? 0, y ? m ,从而直线 AB 恒过定点 (0, m)
2

.. . . . . . . . . . . . . . . . .14 分
2

【思路点拨】 (1)设过 M 点的切线方程,代入 x =4y,整理得 x ﹣4kx+4=0,令△=0,可得 A, B 的坐标,利用 M 到 AB 的中点(0,1)的距离为 2,可得过 M,A,B 三点的圆的方程,从而 可判断圆与直线 l:y=﹣1 相切; (2)证法一:设切点分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,过抛

x1 ( x ? x1 ) ,代入 x2=4y,消元,利用△=0,即 2 x x 可确定 k ? 1 ,利用切线过点 M(x0,y0) ,所以可得 y0 ? 1 x0 ? y1 ,同理可得 2 2
物线上点 A(x1,y1)的切线方程为 y ? y1 ?
2 x2 x2 y0 ? x0 ? ,由此可得直线 AB 的方程,从而可得结论; 2 4

证法二:设过 M(x0,y0)的抛物线的切线方程,代入 x =4y,消去 y,利用韦达定理,确定 直线 AB 的方程,从而可得结论;

2

H5

椭圆及其几何性质

【数学(理)卷?2015 届四川省南充市高三第一次高考适应性考试(201411) word 版】20. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的短轴长为 2, 离心率为 .直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 a b 2
C 交于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程;
2 (2)若线段 AB 的垂直平分线通过点 (0, ? ) ,证明: 2k ? 1 ? 2m ;

1 2

(3)在(2)的前提下,求△AOB(O 为原点)面积的最大值. 【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的综合应用.H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

x2 2 ? y2 ? 1; (2)见解析; (3) 2 2 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

解析: (1)设椭圆 C 的标准方程

? c 2 ?e ? ? a 2 ? ? 由已知可得 ?2b ? 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?

解得 a 2 ? 2, b 2 ? 1 . 故椭圆 C 的标准方程

x2 ? y 2 ? 1 .………………………………………4 分 2

? y ? kx ? m ? (2)联立方程 ? x 2 ,消 y 得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2
当 ? ? 8(2k 2 ? m 2 ? 1) ? 0 ,即 2k 2 ? 1 ? m 2 ①时,

x1 ? x 2 ?

2m 2 ? 2 ? 4km x ? x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

所以

x1 ? x 2 y ? y2 ? 2km m ? ? , 1 . 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

y1 ? y 2 1 ? (? ) 2 2 ? ? 1 ,化简整理得: 2k 2 ? 1 ? 2m ②. ……………………………9 分 又 x1 ? x2 k ?0 2 (3)代②入①得: 0 ? m ? 2 .
又原点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

|m| 1? k 2

.

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 2 1 ? k 2
所以 S ?AOB ?

4k 2 ? 2m 2 ? 2 . 1 ? 2k 2

1 | m | 4k 2 ? 2m 2 ? 2 . | AB | ?d ? 2 1 ? 2k 2
1 4m ? 2m 2 , 0 ? m ? 2. 2

2 而 2k ? 1 ? 2m 且 0 ? m ? 2 ,则 S ?AOB ?

2 所以当 m ? 1 ,即 k ?

1 2 时, S ?AOB 取得最大值 . ……………………………13 分 2 2

【思路点拨】 (1)利用待定系数法求出 a,b 的值即可求出椭圆的标准方程; (2)把直线方程 与椭圆方程联立,转化成关于 x 的一元二次方程利用根与系数的关系即可证明; (3)借助于 弦长公式表示出三角形的面积公式,再求出面积的最大值即可。

【数学(文)卷?2015 届四川省南充市高三第一次高考适应性考试(201411)word 版】20.

(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上且过点 P( 3, ) ,离心率是 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 l 过 E (?1, 0) 且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若 EA ? 2 EB ,求直线 l 的方程. 【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.H5 H8

1 2

3 . 2

x2 ? y 2 ? 1 ;(2) 【答案】 【解析】 (1) 4
解析: (1)设椭圆 C 的标准方程

y??

15 ( x ? 1) 6

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

? c 3 ?e ? ? a 2 ? 1 ?3 由已知可得 ? 2 ? ?1 4b 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
解得 a2 ? 4, b2 ? 1 .

x2 ? y 2 ? 1 。 …………………………………………5 分 故椭圆 C 的标准方程 4
(2)由已知,若直线 l 的斜率不存在,则过 E (?1,0) 的直线 l 的方程为 x ? ?1 , 此时 | EA |?| EB | ,所以直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 。

? x2 ? ? y2 ? 1 联立方程,得 ? 4 ,整理得: (4k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 ? y ? k ( x ? 1) ?

? ? (8k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 1)(4k 2 ? 4) ? 48k 2 ? 16 ? 0
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 4 x ? x ? , ① 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

由 | EA |? 2 | EB | ,得 x1 ? 2 x2 ? ?3 ② 联立①②解得 k ? ?

15 . 6

所以直线 l 的方程为 y ? ?

15 ( x ? 1) 。…………………………………………13 分 6

【思路点拨】 (1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,利用所给条件列出方程 a 2 b2

组,解出即可; (2)易判断直线 l 不存在斜率时不合题意,当直线存在斜率时,设直线 l 的 方程为 y ? k ( x ? 1) , 与椭圆方程联立方程组消掉 y 得关于 x 的一元二次方程, 设 A( x1 , y1 ) , x2 的方程, 连同韦达定理联立方程组即可求得 k 值。 B( x2 , y2 ) 由 | EA |? 2 | EB | 可得关于 x1,

【数学(文)卷?2015 届四川省南充市高三第一次高考适应性考试(201411)word 版】8.

x2 y 2 已知抛物线 y ? 4 x 的准线过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,且准线与椭圆交于 A、 a b 3 B 两点,O 为坐标原点,△AOB 的面积为 ,则椭圆的离心率为 2 2 1 1 1 A. B. C. D. 3 2 3 4
2

【知识点】椭圆的标准方程.H5 【答案】 【解析】B 解析:∵抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程为 x = - 1 , 抛物线 y 2 ? 4 x 的准线过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点且与椭圆交于 A、B 两点, a 2 b2

∴椭圆的左焦点 F ﹣, 1 0 ,∴ c = 1 , ∵O 为坐标原点,△AOB 的面积为

(

)

1 2b2 3 3 1= , ,∴ 创 2 2 a 2



b2 a 2 - 1 3 1 = = ,整理,得 2a 2 - 3a - 2 = 0 ,解得 a = 2 ,或 a = - (舍) , 2 a a 2
c 1 = .故选:B. a 2

∴e =

b2 3 = ,由此能求出椭 【思路点拨】由题设条件,利用椭圆和抛物线的性质推导出 c = 1 , a 2
圆的离心率.

【数学理卷?2015 届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试(201411) 】20. (本小题

满分 13 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 6 , 过 C1 的左焦点 F ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? 1的 2 a b 3
2 2 2

直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? r (r ? 0) 截得的弦长为 2 2 . (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 C1 的右焦点为 F2 ,在圆 C2 上是否存在点 P ,满足 PF1 ? 有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由. 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.H5 H8 【答案】 【解析】 ( Ⅰ ) C1 :

a2 PF2 ,若存在,指出 b2

x2 y2 ( Ⅱ ) 圆 C2 上 存 在 两 个 不 同 点 P , 满 足 ? ?1; 6 2

PF1 ?

a2 PF2 b2

解析: (1)因为直线 l 的方程为 l : x ? y ? 2 ? 0 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?2 ,即 F1 (?2,0) …… 1分 ∴ c ? 2 ,又∵ e ?

c 6 ,∴ a 2 ? 6 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ? a 3

∴ 椭圆 C1 的方程为 C1 :

x2 y2 ? ? 1 .……………4分 6 2 a2 PF2 b2

(2)存在点 P,满足 PF1 ?

∵ 圆心 C2 (3,3) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?
2 2

3?3? 2 2

? 2,

又直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : x ? y ? 6x ? 6 y ? 3m ? 1 ? 0 截得的弦长为 2 2 , ∴由垂径定理得 r ?

l d 2 ? ( )2 ? 2 ? 2 ? 2 , 2
2 2

故圆 C2 的方程为 C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 4 .…………8分 设 圆 C2 上 存 在 点 P ( x, y ) , 满 足 PF1 ?

a2 PF2 即 PF1 ? 3 PF2 , 且 F1 , F2 的 坐 标 为 b2

F1 (?2,0), F2 (2,0) ,

则 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ( x ? 2) 2 ? y 2 ,
2 2 整理得 ( x ? ) ? y ?

5 2

5 3 9 ,它表示圆心在 C ( , 0) ,半径是 的圆。 2 2 4

∴ CC2 ? (3 ? )2 ? (3 ? 0)2 ? 故有 2 ?

5 2

37 ………………12分 2

3 3 ? CC2 ? 2 ? ,即圆 C 与圆 C2 相交,有两个公共点。 2 2

∴圆 C2 上存在两个不同点 P ,满足 PF1 ?

a2 PF2 .………14分 b2

【思路点拨】 (Ⅰ)由 a =b +c ,
2 2

2

2

2

e?

c 6 ? a 3 及 F1 的坐标满足直线 l 的方程,联立此三个方

程,即得 a ,b ,从而得椭圆方程;(Ⅱ)根据弦长,利用垂径定理与勾股定理得方程,可

求得圆的半径 r, 从而确定圆的方程, 再由条件

PF1 ?

a2 PF2 b2 , 将点 P 满足的关系式列出,

通过此关系式与已知圆 C2 的方程联系,再探求点 P 的存在性.

【数学理卷?2015 届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试(201411) 】13.如图, 在平面直角坐标系 xoy 中,点 A 为椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点,B、C 在椭 a 2 b2


圆上,若四边形 OABC 为平行四边形,且∠ OAB=30° ,则椭圆 E 的离心率等于

【知识点】椭圆的简单性质.H5

【答案】 【解析】

2 2 3

解析:∵AO 是与 X 轴重合的,且四边形 OABC 为平行四边形,

∴BC∥OA,B、C 两点的纵坐标相等,B、C 的横坐标互为相反数,∴B、C 两点是关于 Y 轴对 称的.由题知:OA=a,四边形 OABC 为平行四边形,所以 BC=OA=a 可设 B( -

a a 3 ,y)C( ,y) 代入椭圆方程解得: y = b, 2 2 2

设 D 为椭圆的右顶点,因为∠OAB=30°,四边形 OABC 为平行四边形,所以∠COD=30°

对 C 点: tan30 ?

3 b 2 2 = 3 ,解得:a=3b,根据: a 2 = c2 + b2 得: a 2 = c2 + a , a 9 3 2

2 2 8 2 2 ,故答案为: . e2 = ,e = 3 9 3
【思路点拨】首先利用椭圆的对称性和 OABC 为平行四边形,可以得出 B、C 两点是关于 Y 轴 对 称 , 进 而 得 到 BC=OA=a ; 设 B( -

a a ,y)C( ,y) , 从 而 求 出 |y| , 然 后 由 2 2

∠OAB=∠COD=30°,利用 tan30?

3 b 2 = 3 ,求得 a=3b,最后根据 a 2 = c2 + b2 得出离 a 3 2

心率.

【数学文卷?2015 届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试(201411) 】21. (本题 12 分)如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右两个焦点,A、B 为两个顶 a2 b2

点,已知椭圆 C 上的点 (1, 3 ) 到 F1、F2 两点的距离之和为 4. 2 (1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标;

(2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点,求△F1PQ 的面积.

【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案解析】 (1)由题设知:2a = 4,即 a = 2 ,
2 1 (3 3 2) 将点 (1, ) 代入椭圆方程得 2 ? 2 ? 1 , 2 2 b

2 2 解得 b2 = 3∴c2 = a2-b2 = 4-3 = 1 ,故椭圆方程为 x ? y ? 1 , 4 3 焦点 F1、F2 的坐标分别为(-1,0)和(1,0)

由(Ⅰ)知 A(?2,0), B (0, 3 ) ,? k PQ ? k AB ? ∴PQ 所在直线方程为 y ? 3 ( x ? 1) , 2
? 3 y? ( x ? 1) ? 2 由? 得 8y 2 ? 4 3y ? 9 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ?1 ?4 3 ?

3 , 2



P

(x1 , y1) , Q

(x2 , y2) , 则
3 9 21 ? 4? ? 4 8 2

y1 ? y 2 ? ?

3 9 , y1 ? y 2 ? ? , 2 8

? y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

? S ?F1PQ ?

1 1 21 21 F1 F2 ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? ? . 2 2 2 2

【思路点拨】根据椭圆中 a,b,c 的关系求出椭圆方程,利用直线和椭圆联立求出面积。

【数学文卷?2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】20.(本小题满 分 13 分) 已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且椭圆以抛物线 y2 =16x 的焦点为其一个 焦点,以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点. 16 9

(1)求椭圆的标准方程; (2)已知点 A(-1,0),B(1,0),且 C,D 分别为椭圆的上顶点和右顶点,点 P 是线段 CD 上的动 点,求 AP BP 的取值范围;
2 2 2 2 (3)试问在圆 x ? y ? a 上是否存在一点 M,使△F1MF2 的面积 S ? b (其中 a 为椭圆

的半长轴长,b 为椭圆的半短轴长,F1,F2 为椭圆的两个焦点) ,若存在,求 tan ?F 1MF2 的 值;若不存在,请说明理由. 【知识点】 椭圆的方程;向量数量积坐标运算;三角形的面积公式. 【答案】 【解析】 (1) H5 F3

x2 y 2 191 ? AP BP ? 24 ; ? ?1; (2) (3) 存在点 M 且 tan ?F 1MF2 =2. 34 25 9

解析: (1)因为抛物线 y2=16x 的焦点坐标和双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别为(4,0)和(5,0). 16 9

所以 a ? 5, c ? 4, 所以椭圆的标准方程:
2

x2 y 2 ? ? 1 .…………………………(3 分) 25 9
2

(2)设 P( x0 , y0 ) ,则 AP BP ? x0 ? y0 ?1.CD :3x ? 5 y ?15 ? 0(0 ? x ? 5). 则当 OP⊥CD 时,取到最小值,即: d1 ?

?15 3 ?5
2 2

?

15 34 ; 34

当点 P 在 D 点时,取到最大值:OD=5.所以: (3)如图所示:

191 ? AP BP ? 24 .……………(7 分) 34

2 由第一问可知,圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 25 .△F1MF2 的面积 S ? b ? 9.

2 设 M(x,y),又△F1MF2 的面积 S ? b ? 9=

1 ? 2 ? 4 ? y ? 4 y ? 9, 2

又 F1(-4,0),F2(4,0),设直线 MF2 的倾斜角为 ? ,直线 MF1 的倾斜角为 ? ,则

y y ? tan ? ? tan ? 8y 18 tan ?F1MF2 ? tan(? ? ? ) ? ? x?4 x?4 ? 2 ? ? 2. 2 y 1 ? tan ? tan ? 1 ? y x ? y ? 16 25 ? 16 x?4 x?4
即 tan ?F 1MF2 的值为 2.………………………………………………………………(13 分) 【思路点拨】(1)由已知得椭圆中的参数 a,b,c 的值即可; (2)求得线段 CD 方程

3x ? 5 y ? 15 ? 0(0 ? x ? 5). ,设出点 P( x0 , y0 ) 得向量 AP, BP 坐标,从而得

AP BP ? x02 ? y02 ?1,再化为关于 x0 的函数,由 0 ? x0 ? 5 得 AP BP 的取值范围;
2 2 2 (3)由(1)得出圆的方程为 x ? y ? 25 .△F1MF2 的面积 S ? b ? 9. 不妨设 M 在 x 轴上

方,结合图形可得点 M 的纵坐标 y ?

9 ,进一步求得 ?F1MF2 的三角函数值. 4

【数学文卷?2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】8.已知点 F1、 F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点, a 2 b2

若△ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率 e 是 A.

1 2

B.

2 2

C.

1 3

D. H5

3 3

【知识点】 椭圆的几何性质.

b2 【答案】 【解析】D 解析:设 A 在第二象限,则 A 的纵坐标是 ,因为 ?AF1 F2 中, a

?AF1F2 ? 90 , ?AF2 F1 ? 30 , F1F2 ? 2c , AF1 ?
3 .故选 D. 3

b2 b2 ,所以 tan 30 ? ,与 a 2ac

a 2 ? b2 ? c 2 联立得离心率

【思路点拨】由已知得 ?AF1 F2 是 ?AF 1 ? 1F 2 ? 90 , ?AF 2F 1 ? 30 , F 1F 2 ? 2c , AF 直角三角形,由此得关于 a,b,c 的等量关系,再与 a 2 ? b2 ? c 2 联立得离心率.

b2 的 a

【数学文卷? 2015 届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试 (201411) 】 9. 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点为 F1 、 F2 ,离心率为 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 2 a b 3 ) A 、 B 两点. 若△ ABF1 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为(
A.

x2 ? 3 x2 ? C. 12

y2 ?1 2 y2 ?1 8

B.

x2 ? y2 ? 1 3 x2 y 2 ? ?1 D. 12 4

【知识点】椭圆的标准方程.H5

【答案】 【解析】A

解析:∵椭圆离心率为

c 3 3 ,∴ = ,∴a= 3 c, a 3 3

又△F1AB 周长为 4 3 ,∴4a=4 3 ,解得 a= 3 ,∴c=1,b= 2 , ∴椭圆 C 的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1; 3 2

【思路点拨】由离心率为 值.

3 得 a= 3 c,由△F1AB 周长为 4 3 可求得 a 值,进而求得 b 3

H6

双曲线及其几何性质

【数学(理)卷?2015 届四川省南充市高三第一次高考适应性考试(201411) word 版】8.

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点分别是 M、 N.正三角形 AMN 的一边 AN 与双曲线右 a 2 b2 支交于点 B,且 AN ? 4BN ,则双曲线 C 的离心率为 3 3 ?1 13 ? 1 13 A. B. C. D. ?1 ?1 2 2 3 3
已知双曲线 C: 【知识点】双曲线的性质;余弦定理.C8 H6 【答案】 【解析】 B 解析: 因为正三角形 AMN, 其边长 MN=2c, AN ? 4BN , 设 | BN |? m , 则 | AN |? 4m =2c,解得 m ?

c c ,根据双曲线的定义可得 | BM |? 2a ? m ? 2a ? ,在三角 2 2
2 2

c2 ? c? 4c ? ? ? 2a ? ? 1 4 ? 2? 0 ? ,整理得: 3e2 ? 2e ? 4 ? 0 , 形 AMN 中,由余弦定理 cos 60 ? c 2 2 ? 2c ? 2
即e ?

13 ? 1 ? 13 ? 1 ,或 e ? (舍去) ,故选 B. 3 3

【思路点拨】先利用已知条件得到三角形 AMN 的边长,再结合余弦定理即可。

【数学理卷?2015 届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试(201411)(1)】

4.双曲线
2 5

x2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于( 4
B.
4 5



A.

C.

2 5 5

D.

4 5 5

【知识点】双曲线的概念.H6

【答案】 【解析】C 解析:由题意可知双曲线的顶点为 ? 2, 0 ? ,渐近线方程为 y ? ? 用点到直线的距离公式 d ?

1 x ,利 2

2 5 . 5

【思路点拨】由双曲线的概念可知渐近线方程,再根据点到直线的距离公式可求出结果.

【数学理卷?2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】5.过双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作圆 x2+y2=a2 的切线 FM (切点为 M)交 y 轴于点 P, 若 2 a b
M 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率为 A.2 B.

2

c. 3

D. 5 H6

【知识点】 双曲线的性质.

【答案】 【解析】B 解析: 根据题意得 a ?

2 c c ? e ? ? 2 ,故选 B. 2 a

【思路点拨】因为 M 为切点所以 OM ? PF (O 为原点),又 M 为线段 FP 的中点,所以 OM 是等腰直角 ?FOP 斜边的高,所以 a ?

2 c ,从而求得双曲线的离心率. 2

【数学文卷? 2015 届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试 (201411) 】 11.双曲线 C 的 两个焦点为 (? 2 , 0) , ( 2 , 0) ,一个顶点为 (1 , 0) ,则 C 的方程为 【知识点】双曲线的标准方程.H6 【答案】 【解析】 x ? y ? 1
2 2

解析:∵双曲线 C 的两个焦点为 (? 2 , 0) , ( 2 , 0) ,一

2 2 个顶点是 (1 , 0) ,∴c= 2 ,a=1,∴b=1,∴C 的方程为 x ? y ? 1.

故答案为: x ? y ? 1.
2 2

【思路点拨】利用双曲线 C 的两个焦点为 (? 2 , 0) , ( 2 , 0) ,一个顶点是 (1 , 0) ,可得 c= 2 ,a=1,进而求出 b,即可得出双曲线的方程.

H7

抛物线及其几何性质

【数学理卷?2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】15.过 x 轴正半 轴上一点 P 的直线与抛物线 y 2 ? 4 x 交于两点 A、B,O 是原点,A、B 的横坐标分别为 3 和

1 ,则有下列命题: 3
①点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点; ② OA ? OB ? ?2 ;

③过 A、B、O 三点的圆的半径为 ④若三角形 OAB 的面积为 S,则 ⑤若 AP ? ? PB ,则 ? ? 3 .

91 ; 3

9 7 < S< ; 4 3

在这五个命题中,正确的是 (填写序号) . 【知识点】 抛物线的性质. H7 【答案】 【解析】①③④⑤解析:根据题意可取 A 3, 2 3 , B ? , ?

?

?

?1 ?3 ?

2 3? ? ,令 P(m,0),则: 3 ? ?

2 3 3? m ? ? m ? 1 ,所以点 P 是抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,故①正确;因为 2 3 m?1 3 3
1 2 3 OA ? OB ? 3 ? ? 2 3 ? ? ?3 ,所以②不正确;设过 A、B、O 三点的圆的方程为: 3 3

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 0 ,把 A、B 两点坐标代入此方程得 D ? ?

19 3 ,从而得 ,E ? ? 3 3

过 A、B、O 三点的圆的半径为

91 , 故 ③ 正 确 ; 三 角 形 OAB 的 面 积 3

S=

1 ? 2 3? 4 3 ?9 7? ?? 2 3 ? ? 1 ? ? ? , ? ,故④正确;若 AP ? ? PB 则 ? ? 2 ? 3 3 ?4 3? ? ? ? ? ? ?

2 2 3 ? ?2, ?2 3 ? ? ? ? ?? 3 ,? 3 ? ? ? ? ? 3 ,故⑤正确.综上得正确的是①③④⑤.

【思路点拨】根据题意取出一组满足条件点 A、B,然后逐一分析每个命题的正误即可.

【数学理卷?2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】9.抛物线 C:

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的点,若△ OFM 的外接圆与抛物线 C 的准
线相切,且该圆面积为 36π ,则 p= A.2 B .4 C.6 D.8 【知识点】 抛物线的性质;圆的切线的性质.

H7 H4

【答案】 【解析】D 解析:因为△OFM 的外接圆的圆心在线段 OF 的中垂线上,所以圆心到 抛物线准线的距离为

p p 3p ? ? ,由圆的面积公式得 p=8,故选 D. 4 2 4

【思路点拨】根据题意得圆半径关于参数 P 得表达式,再用圆的面积公式求解.

【数学文卷?2015 届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试(201411) 】13、已知抛物线

y ? 4 x 2 ,则此抛物线的准线方程为
【知识点】抛物线及其几何性质 H7 【答案解析】 y=答案为:y=-

1 1 1 因为抛物线 y=4x2, 可化为: x 2 =2× y , 则线的准线方程为 y=. 故 16 8 16

1 . 16

【思路点拨】由抛物线的准线方程的定义可求得.

H8

直线与圆锥曲线(AB 课时作业)

【数学(理)卷?2015 届四川省南充市高三第一次高考适应性考试(201411) word 版】20. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的短轴长为 2, 离心率为 .直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 a b 2
C 交于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程;
2 (2)若线段 AB 的垂直平分线通过点 (0, ? ) ,证明: 2k ? 1 ? 2m ;

1 2

(3)在(2)的前提下,求△AOB(O 为原点)面积的最大值. 【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的综合应用.H5 H8

x2 2 ? y2 ? 1; 【答案】 【解析】 (1) (2)见解析; (3) 2 2
解析: (1)设椭圆 C 的标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

? c 2 ?e ? ? a 2 ? ? 由已知可得 ?2b ? 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
解得 a 2 ? 2, b 2 ? 1 .

x2 ? y 2 ? 1 .………………………………………4 分 故椭圆 C 的标准方程 2

? y ? kx ? m ? (2)联立方程 ? x 2 ,消 y 得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2
2 2 当 ? ? 8(2k 2 ? m 2 ? 1) ? 0 ,即 2k ? 1 ? m ①时,

2m 2 ? 2 ? 4km x1 ? x 2 ? , x1 ? x 2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
所以

x1 ? x 2 y ? y2 ? 2km m ? ? , 1 . 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

y1 ? y 2 1 ? (? ) 2 2 ? ? 1 ,化简整理得: 2k 2 ? 1 ? 2m ②. ……………………………9 分 又 x1 ? x2 k ?0 2 (3)代②入①得: 0 ? m ? 2 .
又原点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

|m| 1? k 2
2

.

| AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 2 1 ? k
2

4k 2 ? 2m 2 ? 2 . 1 ? 2k 2

所以 S ?AOB ?

1 | m | 4k 2 ? 2m 2 ? 2 | AB | ?d ? . 2 1 ? 2k 2
1 4m ? 2m 2 , 0 ? m ? 2. 2

2 而 2k ? 1 ? 2m 且 0 ? m ? 2 ,则 S ?AOB ?

2 所以当 m ? 1 ,即 k ?

1 2 时, S ?AOB 取得最大值 . ……………………………13 分 2 2

【思路点拨】 (1)利用待定系数法求出 a,b 的值即可求出椭圆的标准方程; (2)把直线方程 与椭圆方程联立,转化成关于 x 的一元二次方程利用根与系数的关系即可证明; (3)借助于 弦长公式表示出三角形的面积公式,再求出面积的最大值即可。

【数学(文)卷?2015 届四川省南充市高三第一次高考适应性考试(201411)word 版】20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上且过点 P( 3, ) ,离心率是 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 l 过 E (?1, 0) 且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若 EA ? 2 EB ,求直线 l 的方程. 【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

1 2

3 . 2

x2 ? y 2 ? 1 ;(2) 4

y??

15 ( x ? 1) 6

解析: (1)设椭圆 C 的标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

? c 3 ?e ? ? a 2 ? 3 1 ? ?1 由已知可得 ? 2 ? 2 a 4 b ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
解得 a ? 4, b ? 1 .
2 2

故椭圆 C 的标准方程

x2 ? y 2 ? 1 。 …………………………………………5 分 4

(2)由已知,若直线 l 的斜率不存在,则过 E (?1,0) 的直线 l 的方程为 x ? ?1 , 此时 | EA |?| EB | ,所以直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 。

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 联立方程,得 ? 4 ,整理得: (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 ? y ? k ( x ? 1) ?

? ? (8k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 1)(4k 2 ? 4) ? 48k 2 ? 16 ? 0

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 4 x ? x ? , ① 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

由 | EA |? 2 | EB | ,得 x1 ? 2 x2 ? ?3 ② 联立①②解得 k ? ?

15 . 6
15 ( x ? 1) 。…………………………………………13 分 6

所以直线 l 的方程为 y ? ?

【思路点拨】 (1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,利用所给条件列出方程 a 2 b2

组,解出即可; (2)易判断直线 l 不存在斜率时不合题意,当直线存在斜率时,设直线 l 的 方程为 y ? k ( x ? 1) , 与椭圆方程联立方程组消掉 y 得关于 x 的一元二次方程, 设 A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y2 ) 由 | EA |? 2 | EB | 可得关于 x1, x2 的方程, 连同韦达定理联立方程组即可求得 k 值。

【数学理卷?2015 届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试(201411)(1)】

x2 y2 20.在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点到焦点的距 a b
离为 2,离心率为 (1)求 a, b 的值, (2)设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点,过点 P 作斜率为 1 的直线交椭圆于 A,B 两点,求 ?OAB 面积的最大值。
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题.H8 【答案】 【解析】(1) a=2,b=1 (2)1 解析: (1)由题设知 a=2,e= = 所以 c= ,故 b =4﹣3=1. 因此,a=2,b=1.…(2 分) (2) (i)由(1)可得,椭圆 C 的方程为 +y =1.
2 2

3 。 2



设点 P(m,0) (﹣2≤m≤2) ,点 A(x1,y1) ,点 B(x2,y2) . 若 k=1,则直线 l 的方程为 y=x﹣m. 联立直线 l 与椭圆 C 的方程,



.将 y 消去,化简得 x ﹣2mx+m ﹣1=0.

2

2

解得 x1= 从而有,x1+x2= ,x1?x2=

,x2= ,



而 y1=x1﹣m,y2=x2﹣m, 因此, |AB|= = ? , , ?|m|,
2

=

=

点 O 到直线 l 的距离 d= 所以,S△OAB= ?|AB|?d= 因此,S △OAB=
2

( 5﹣m )?m ≤
2

2

?(

) =1.

2

又﹣2≤m≤2,即 m ∈[0,4]. 所以,当 5﹣m =m ,即 m = ,m=± 【思路点拨】 (1)由题设知 a=2,e= = (2) (i)由(1)得,椭圆 C 的方程为
2 2 2

时,S△OAB 取得最大值 1. ,由此能求出 a=2,b=1. +y =1.设点 P(m,0) (﹣2≤m≤2) ,点 A(x1,
2 2

y1) ,点 B(x2,y2) .若 k=1,则直线 l 的方程为 y=x﹣m.联立直线 l 与椭圆 C 的方程,得 x ﹣2mx+m ﹣1=0.|AB|= 大值 1.
2

?

,点 O 到直线 l 的距离 d=

,由此求出 S△OAB 取得最

【数学理卷?2015 届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试(201411) 】20. (本小题 满分 13 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 6 , 过 C1 的左焦点 F ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? 1的 2 a b 3
2 2 2

直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? r (r ? 0) 截得的弦长为 2 2 . (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 C1 的右焦点为 F2 ,在圆 C2 上是否存在点 P ,满足 PF1 ? 有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.

a2 PF2 ,若存在,指出 b2

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.H5 H8 【答案】 【解析】 ( Ⅰ ) C1 :

x2 y2 ( Ⅱ ) 圆 C2 上 存 在 两 个 不 同 点 P , 满 足 ? ?1; 6 2

PF1 ?

a2 PF2 b2

解析: (1)因为直线 l 的方程为 l : x ? y ? 2 ? 0 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?2 ,即 F1 (?2,0) …… 1分 ∴ c ? 2 ,又∵ e ?

c 6 ,∴ a 2 ? 6 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ? a 3

∴ 椭圆 C1 的方程为 C1 :

x2 y2 ? ? 1 .……………4分 6 2 a2 PF2 b2

(2)存在点 P,满足 PF1 ?

∵ 圆心 C2 (3,3) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?
2 2

3?3? 2 2

? 2,

又直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : x ? y ? 6x ? 6 y ? 3m ? 1 ? 0 截得的弦长为 2 2 , ∴由垂径定理得 r ?

l d 2 ? ( )2 ? 2 ? 2 ? 2 , 2
2 2

故圆 C2 的方程为 C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 4 .…………8分 设 圆 C2 上 存 在 点 P ( x, y ) , 满 足 PF1 ?

a2 PF2 即 PF1 ? 3 PF2 , 且 F1 , F2 的 坐 标 为 b2

F1 (?2,0), F2 (2,0) ,
则 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ( x ? 2) 2 ? y 2 ,
2 2 整理得 ( x ? ) ? y ?

5 2

5 3 9 ,它表示圆心在 C ( , 0) ,半径是 的圆。 2 2 4

∴ CC2 ? (3 ? )2 ? (3 ? 0)2 ? 故有 2 ?

5 2

37 ………………12分 2

3 3 ? CC2 ? 2 ? ,即圆 C 与圆 C2 相交,有两个公共点。 2 2

∴圆 C2 上存在两个不同点 P ,满足 PF1 ?

a2 PF2 .………14分 b2

【思路点拨】 (Ⅰ)由 a =b +c ,
2 2

2

2

2

e?

c 6 ? a 3 及 F1 的坐标满足直线 l 的方程,联立此三个方

程,即得 a ,b ,从而得椭圆方程;(Ⅱ)根据弦长,利用垂径定理与勾股定理得方程,可

求得圆的半径 r, 从而确定圆的方程, 再由条件

PF1 ?

a2 PF2 b2 , 将点 P 满足的关系式列出,

通过此关系式与已知圆 C2 的方程联系,再探求点 P 的存在性.

【数学文卷?2015 届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试(201411) 】20. (本小题 满分 14 分)设抛物线 C 的方程为 x ? 4 y , M ? x0 , y0 ? 为直线 l : y ? ?m(m ? 0) 上任意
2

一点,过点 M 作抛物线 C 的两条切线 MA , MB ,切点分别为 A , B . (1)当 M 的坐标为 (0, ?1) 时,求过 M , A, B 三点的圆的方程,并判断直线 l 与此圆的位置 关系; (2)求证:直线 AB 恒过定点 (0, m) ; 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线与圆的位置关系.H4 H8 【答案】 【解析】 (1)此圆与直线 l : y ? ?1 相切; (2)见解析 解析:(1)当 M 的坐标为 (0, ?1) 时,设过 M 点的切线方程为 y ? kx ? 1 ,代入 x ? 4 y ,
2
2 整理得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,

2 令 ? ? (4k ) ? 4 ? 4 ? 0 ,解得 k ? ?1 ,

代入方程得 x ? ?2 ,故得 A(2,1), B(?2,1) , 因为 M 到 AB 的中点 (0,1) 的距离为 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . .2 分

从而过 M , A, B 三点的圆的方程为 x ? ( y ? 1) ? 4 .
2 2

易知此圆与直线 l : y ? ?1 相切.

. . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分

(2)证法一:设切点分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,过抛物线上点 A ? x1 , y1 ? 的切线方程为

( y ? y1 ) ? k ( x ? x1 ) ,代入 x2 ? 4 y ,整理得 x2 ? 4kx ? 4 ? kx1 ? y1 ? ? 0

? ? (4k )2 ? 4 ? 4 ? kx1 ? y1 ? ? 0 ,又因为 x12 ? 4 y1 ,所以 k ?
从而过抛物线上点 A ? x1 , y1 ? 的切线方程为 y ? y1 ?

x1 . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 2

x x2 x1 ( x ? x1 ) 即 y ? 1 x ? 1 2 2 4
① 即 y0 ?

又切线过点 M ? x0 , y0 ? ,所以得 y0 ?

x1 x2 x0 ? 1 2 4

x1 x0 ? y1 . . . .8 分 2

2 x2 x2 x? , 同理可得过点 B ? x2 , y2 ? 的切线为 y ? 2 4

又切线过点 M ? x0 , y0 ? ,所以得 y0 ? 即 y0 ?

x2 x2 x0 ? 2 2 4



. . . .10 分

x2 x0 ? y2 . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 2 x 即点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 均满足 y0 ? x0 ? y 即 x0 x ? 2 ? y0 ? y ? ,故直线 AB 的方程为 2

x0 x ? 2 ? y0 ? y ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

又 M ? x0 , y0 ? 为直线 l : y ? ?m(m ? 0) 上任意一点,故 x0 x ? 2 ? y ? m? 对任意 x0 成立,所 以 x ? 0, y ? m ,从而直线 AB 恒过定点 (0, m) 证法二:由已知得 y ? .. . . . . . . . . . . . . . . . .14 分

x2 x ,求导得 y ? ,切点分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,故过点 2 4
x1 x , 从 而 切 线 方 程 为 ( y ? y1 ) ? 1 ( x ? x1 ) 即 2 2

A ? x1 , y1 ? 的 切 线 斜 率 为 k ?

x1 x12 y ? x? . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 2 4
又切线过点 M ? x0 , y0 ? ,所以得 y0 ?

x1 x2 x0 ? 1 2 4 x2 x2 x? 2 , 2 4



即 y0 ?

x1 x0 ? y1 . . . . . . . .8分 2

同理可得过点 B ? x2 , y2 ? 的切线为 y ?

2 x2 x2 x0 ? 又切线过点 M ? x0 , y0 ? ,所以得 y0 ? 2 4



即 y0 ?

x2 x0 ? y2 . . . . . . . .10 分 2

即点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 均满足 y0 ?

x x0 ? y 即 x0 x ? 2 ? y0 ? y ? ,故直线 AB 的方程为 2
. . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

x0 x ? 2 ? y0 ? y ?

又 M ? x0 , y0 ? 为直线 l : y ? ?m(m ? 0) 上任意一点,故 x0 x ? 2 ? y ? m? 对任意 x0 成立,所 以 x ? 0, y ? m ,从而直线 AB 恒过定点 (0, m)
2

.. . . . . . . . . . . . . . . . .14 分
2

【思路点拨】 (1)设过 M 点的切线方程,代入 x =4y,整理得 x ﹣4kx+4=0,令△=0,可得 A, B 的坐标,利用 M 到 AB 的中点(0,1)的距离为 2,可得过 M,A,B 三点的圆的方程,从而 可判断圆与直线 l:y=﹣1 相切; (2)证法一:设切点分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,过抛

x1 ( x ? x1 ) ,代入 x2=4y,消元,利用△=0,即 2 x1 x 可确定 k ? ,利用切线过点 M(x0,y0) ,所以可得 y0 ? 1 x0 ? y1 ,同理可得 2 2
物线上点 A(x1,y1)的切线方程为 y ? y1 ?

y0 ?

x2 x2 x0 ? 2 ,由此可得直线 AB 的方程,从而可得结论; 2 4
2

证法二:设过 M(x0,y0)的抛物线的切线方程,代入 x =4y,消去 y,利用韦达定理,确定 直线 AB 的方程,从而可得结论;

H9

曲线与方程

H10

单元综合

【数学理卷?2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】20.(本小题满 分 13 分) 已知圆 N:(x+2)2+y2=8 和抛物线 C:y2 =2x,圆 N 的切线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A, B.

(1)当切线 l 斜率为 1 时,求线段 AB 的长; (2)设点 M 和点 N 关于直线 y=x 对称,问是否存在直线 l,使得 MA ? MB ?若存在,求出 直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

【知识点】 圆的切线方程的求法;弦长公式;向量垂直关系的应用.

H4 H10

【答案】 【解析】(1) 2 10 ; (2)存在满足条件的直线 l,其方程为 y ? ? x ? 2. 解析: (1)∵圆 N:(x+2)2+y2=8,∴ 圆心 N 为(-2,0),半径 r ? 2 2 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 当直线 l 的斜率为 1 时,设 l 的方程为 y ? x ? m, 即 x ? y ? m ? 0 , (由图形知 m ? 0 )

∵ 直线 l 是圆 N 的切线,∴

?2 ? m 2

? 2 2,

解得 m=-2,或 m=6(舍去)此时直线 l 的方程为 y ? x ? 2,

由?

?y ? x ? 2 ? y ? 2x
2

, 消去 x 得 y 2 ? 2 y ? 4 ? 0,

??=(?2)2 ? 16 ? 20 ? 0, y1 ? y2 ? 2, y1 ? y2 ? ?4, ( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? 20,
∴弦长 AB ? 1 ?

1 y1 ? y2 ? 2 10 .…………………………………………(6 分) k2

(2) (i)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程 y ? kx ? m, 即 kx ? y ? m ? 0 ( k ? 0 ) ,

∵ 直线 l 是圆 N 的切线,∴
2 2

?2k ? m 1? k 2

? 2 2,

得 m ? 4k ? 4mk ? 8 ? 0, …………① 由?

? y ? kx ? m ? y ? 2x
2

, 消去 x 得 ky2 ? 2 y ? 2m ? 0,
1 2 2m , ………………(8 分) 且 k ? 0, y1 ? y2 ? , y1 y2 ? 2 k k

? ? 4 ? 4k ? 2m ? 0, 即 km ?

∵点 M 与点 N 关于直线 y=x 对称,∴M(0,-2),

?MA ? ( x1, y1 ? 2), MB ? ( x2 , y2 ? 2), MA ? MB,? x1x2 ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0,
将 A,B 代入直线 y ? kx ? m 并化简,得

(1 ? k 2 ) y1 y2 ? (2k 2 ? m)( y1 ? y2 ) ? m2 ? 4k 2 ? 0,
2 2m , y1 y2 ? , k k 2m 2 2 ? (2k 2 ? m) ? m2 ? 4k 2 ? 0, 得 (1 ? k ) k k
代入 y1 ? y2 ? 化简,得 m2 ? 4k 2 ? 2mk ? 4k ? 0, ……② ①+②得 2m2 ? 2mk ? 4k ? 8 ? 0, 即 (m ? 2)(m ? k ? 2) ? 0 ,解得 m=2,或 m=k-2. 当 m=2 时,代入①,解得 k=-1,满足条件 km ? 此时直线 l 的方程为 y ? ? x ? 2. 当 m=k-2 时,代入①整理,得 7k 2 ? 4k ? 4 ? 0 ,无解.………………………………(11 分) (ii)当直线 l 的斜率不存在时, 因为直线 l 是圆 N 的切线,所以 l 的方程为 x ? 2 2 ? 2 . 则得 x1x2 ? 4(3 ? 2 2), y1 ? y2 ? 0,( y1 y2 ) ? 4x1x2 ? 16(3 ? 2 2),
2

1 ,且 k ? 0, 2

即 y1 y2 ? 4(1 ? 2) ? 0, 由①得 MA MB=x1x2 ? y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 20 ?12 2 ? 0, 当直线 l 的斜率不存在时, MA ? MB 不成立. 综上所述,存在满足条件的直线 l,其方程为 y ? ? x ? 2. …………………………(13 分) 【思路点拨】 (1)先求出直线 l 的方程,代入抛物线方程消去 x 得关于 y 的一元二次方程, 再用弦长公式求解; (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程 y ? kx ? m, ( k ? 0 ) 由直线 l 与圆相切得一个 k,m 的等量关系①, 由直线 l 与抛物线相交于 A、 B 且 MA ? MB 得 K,m 的等量关系②,由①②解得 k,m 值即可;当直线 l 的斜率不存在时, l 的方程为

x ? 2 2 ? 2 ,代入抛物线方程,求得 A、B 坐标,检验 MA ? MB 是否为零即可.


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