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5.3.1等比数列定义及通项公式


5.3.1 等比数列的概念

学习目标:
1.理解等比数列的定义; 2.掌握等比数列的通项公式.会解决知道n, a1, an , q中的三个,求另一个的问题.

学习重点:
1.等比数列概念的理解与掌握; 2.等比数列的通项公式的推导及应用.

探究一:等比数列的定义
观察下列数列,说出它们的特点.

(1)1,2,22,23,… (2)5, 25,125, 625... 1 1 1 (3)1, ? , , ? , 2 4 8 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比 数列,这个常数叫做公比,记为q(q≠0).
an * ? q ( n ? 2 且 n ? N ). 数学语言: a n ?1 an ?1 或 ?q an

思考1:
1.已知等比数列{ an }: (1) an 能不能是零? 不能 能 (2)公比q能不能是1? 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . ① 1,-1,1,…,(-1)n+1 √ ; ②1,2,4,6…; ③ a , a , a , …, a ;

×

× ④已知a1=2,an=3an+1 ; √ 2 3 ⑤ m, 2m, 4m ,8m ,... ×
⑥2a,2a,2a,…,2a. √ 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列?

非零的 常数列

思考2:
若a,G,b三个数成等比数列,那么这三个数 有何恒等关系?

结论:G2=ab
G叫做a,b的等比中项

探究二:通项公式
思考3:如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法(累乘法) 2.不完全归纳法 a2/a1=q a2=a1q a3/a2=q a3=a2q=a1q2 a4/a3=q a4=a3q=a1q3 … … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 an=a1qn-1 所以 an=a1qn-1
其中,a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1, 即等式也成立,说明上面公式当n∈N*时都成立,因此它 就是等比数列{an}的通项公式。

等比数列的通项公式:
an ? a1 q
n?1

(n∈N﹡,q≠0)
重要性质:

an ? a m q

n?m

或q

n?m

an ? am

等差数列与等比数列对比
名 称 等差数列
如果一个数列从第2项起 ,每一项与前一项的差 等于同一个常数,那么 这个数列叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列 的公差,用d表示。公差 可正、可负、可为0。

等比数列
如果一个数列从第 2 项 起,每一项与它前一项 的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比 数列.这个常数叫做等比 数列的公比,用 q 表示 。公比不可为0。

定 义

数学式 子表示 通项公式

an+1-an=d
an = a1 +(n-1)d

a n?1 ?q an

an ? a1q

n?1

1 1 ,,, ? 的通项公式 例1:求等比数列 1 2 4 与第10项。

1 1 ,, 1, ? 的第几项是625? 例2:等比数列 25 5

练习:课本106页第5题

例3.在等比数列 ?an ? 中,

(1)a4 ? 27, q ? ?3, 求an ; (2)a3 ? 12, a4 ? 18, 求a1.

练习:课本106页第4题

(3)在2和32之间插入1个数,使这3个数成等 比数列,求这个数。

变式:求出下列等比数列中的未知项: ( 1) 2,a, 8; a ? ?4 (2)a 5 =4,a 7 =6,求a 9 . a9 ? 9

当堂达标:
1.下面有四个结论: (1)由第一项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比 数列; (2)常数列b,b,…b一定为等比数列; (3)等比数列{ an}中,若公比q=1,则此数列各项相等;

(4)等比数列中,各项与公比都不能为零。
其中正确结论的个数是( A. 0 A. 3n B. 1

C

) C. 2 D.3

2. 等比数列{ an}中,a1 ? 4 ,公比q=3,则通项公式( D )

3n ?1 3. 在等比数列{ an }中,a2 ? 6, a5 ? 48,则 a8 ?
B. 4 n C.3

4n ?1

D. 4

384

.

4. 2 ? 3与2+ 3的等比中项为:

?1

an an?1 ? q ( n ? 2) 或 ? q . 1.等比数列的定义: a an n ?1

小结:

2.等比数列的通项公式:

an=a1qn-1
推导方法: (1)归纳法;(2)累乘法.
公式的 认识: (1)函数的观点;(2)方程的思想.

3.等比中项:

G ? ab
2

课后作业:
1、阅读教材第103~105页

2、完成课本第106页4,5题(作业)

谢 谢 !


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