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湖北省长阳一中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷


湖北省长阳一中 2014-2015 学年高一上学期第一次月考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知 A、B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3}, (?UB)∩A={9}, 则 A 等于()

A.{1,3}

B.{3,7,9}

C.{3,5,9}

D.{3,9}

2. (5 分)已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x﹣y=4},那么 M∩N 为() A.x=3,y=﹣1 B.(3,﹣1) C.{3,﹣1} D.{(3,﹣1)} 3. (5 分)下列各组函数中,表示同一函数的是 () A.y=1,y= C. y= × ,y= B. y=x,y= D.y=|x|,y=( )
2

4. (5 分)已知 A.2 B. 3

,则 f(3)为() C. 4 D.5

5. (5 分)下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)设全集 U={1,3,5,7,9},集合 A={1,|a﹣5|,9},?UA={5,7},则实数 a 的值 是() A.2 B. 8 C . ﹣2 或 8 D.2 或 8 7. (5 分)如果集合 A={x|ax +2x+1=0}中只有一个元素,则 a 的值是() A.0 B. 0 或 1 C. 1 D.不能确定 8. (5 分)如图,那么阴影部分所表示的集合是()
2

A.B∩[?U(A∪C)] B.(A∪B)∪(B∪C) C. D.[?U(A∩C)]∪B 9. (5 分)集合 M={x|x= + ,k∈Z},N={x|x=k+ ,k∈Z},则() A.M=N B.M?N C.N?M

(A∪C)∩(?UB)

D.M∩N=?

10. (5 分)已知函数 f(x+1)的定义域为(﹣2,﹣1) ,则函数 f(2x+1)的定义域为() A.(﹣ ,﹣1) B.(﹣1,﹣ ) C.(﹣5,﹣3) D.(﹣2,﹣ )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)定义一种集合运算 A?B={x|x∈(A∪B) ,且 x?(A∩B)},设 M={x|﹣2<x<2}, N={x|1<x<3},则 M?N 所表示的集合是. 12. (5 分)已知 f(2x+1)=3x﹣2 且函数 y=f(x)的图象过点(a,4) ,则 a 的值为. 13. (5 分)A={y|y=x ﹣1,x∈R},B={x∈R|y=
2

},则 A∩B=.

14. (5 分)从甲地到乙地途经丙地,其中甲、乙两地相距 200 千米,甲、丙两地相距离 80 千 米,某人开汽车以 40 千米/小时的速度从甲地到达乙地,在丙地停留 1 小时,把汽车离开甲地 的路程 s 表示为时间 t(小时)的函数表达式是.

15. (5 分)已知 f(1﹣2x)=

(x≠0) ,那么 f( )=.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (12 分) 已知函数 ( f x) = <a 或 x>a+1} (1)求 A, (?RA)∩B; (2)若 A∪C=R,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)设集合 A={x|x ﹣3x+2=0},B={x|x +2(a﹣1)x+(a ﹣5)=0} (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围.
2 2 2

的定义域为集合 A, B={x∈Z|2<x<10}, C={x∈R|x

18. (12 分)已知函数 f(x)=

(1)求 f(f(3) )的值 (2)当﹣4≤x<3 时,求 f(x)的值域. 19. (13 分)已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x 且 f(0)=1. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)在区间[﹣1,1]上求 y=f(x)的值域; (Ⅲ)在区间[a,a+1]上求 y=f(x)的值域. 20. (13 分)某渔场鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量 x 要小 于 m,留出适当的空闲量,空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率,已知鱼群的年增加量 y(y 吨)和实际养殖量 x(吨)与空闲率的乘积成正比(设比例系数 k>0) . (1)写出 y 与 x 的函数关系式,并指出定义域; (2)求鱼群年增长量的最大值; (3)当鱼群年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围. 21. (13 分)已知函数 f(x)=|x+1|+|x﹣1|(x∈R) . (1)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数,然后在给定的坐标系中画出 函数图象(不需列表) ; (2)若函数 f(x)在区间[a﹣1,2]上函数值随着自变量的增大而增大,试确定实数 a 的取值 范围; (3)若集合{x∈R|f(x)≥ }=R,求实数 m 的取值范围.

湖北省长阳一中 2014-2015 学年高一上学期第一次月考数 学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知 A、B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3}, (?UB)∩A={9}, 则 A 等于()

A.{1,3}

B.{3,7,9}

C.{3,5,9}

D.{3,9}

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 分析: 由韦恩图可知,集合 A=(A∩B)∪(CUB∩A) ,直接写出结果即可. 解答: 解:因为 A∩B={3},所以 3∈A,又因为 CUB∩A={9},所以 9∈A,选 D.本题也可 以用 Venn 图的方法帮助理解. 故选 D. 点评: 本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算,考查了同学们借助于 Venn 图解决集合问题的能力. 2. (5 分)已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x﹣y=4},那么 M∩N 为() A.x=3,y=﹣1 B.(3,﹣1) C.{3,﹣1} D.{(3,﹣1)} 考点: 专题: 分析: 交集. 解答: 交集及其运算. 计算题. 将集合 M 与集合 N 中的方程联立组成方程组,求出方程组的解即可确定出两集合的 解:将集合 M 和集合 N 中的方程联立得: , ①+②得:2x=6, 解得:x=3, ①﹣②得:2y=﹣2, 解得:y=﹣1, ∴方程组的解为: ,

则 M∩N={(3,﹣1)}. 故选 D 点评: 此题考查了交集及其运算,以及二元一次方程组的解法,是一道基本题型,学生易 弄错集合中元素的性质. 3. (5 分)下列各组函数中,表示同一函数的是 ()

A.y=1,y= C. y= × ,y=

B. y=x,y= D.y=|x|,y=( )
2

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 依次确定四个选项中的函数的定义域与对应关系,都相同的函数才表示同一函数. 解答: 解:y=1 的定义域为 R,y= 的定义域为{x|x≠0},故两个函数不同, y= y= =x 的定义域为 R,与 y=x 的对应关系及定义域都相同,故两个函数相等, × 的定义域为[1,+∞) ,y= 的定义域为(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) ,故两

个函数不同, 2 y=|x|的定义域为 R,y=( ) 的定义域为[0,+∞) ,故两个函数不同. 故选 B. 点评: 本题考查了函数相等的判断,属于基础题.

4. (5 分)已知 A.2 B. 3

,则 f(3)为() C. 4 D.5

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的分段函数的函数值,由函数解析式,我们可以先计算 f(5) 、f(7)的值, 然后经过转换,由此可以得到 f(3)值. 解答: 解:由题意得: f(3)=f(5)=f(7) ∵7≥6, ∴f(7)=7﹣5=2. 故选 A. 点评: 分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分 段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段 上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者. 5. (5 分)下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象;函数的概念及其构成要素. 专题: 数形结合. 分析: 根据函数的概念得:因变量(函数) ,随着自变量的变化而变化,且自变量取唯一值 时,因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应,结合图象特征进行判断即可. 解答: 解:根据函数的定义知: 自变量取唯一值时,因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应. ∴从图象上看,任意一条与 x 轴垂直的直线与函数图象的交点最多只能有一个交点. 从而排除 A,B,C, 故选 D. 点评: 本小题主要考查函数的图象、函数的图象的应用、函数的概念及其构成要素等基础 知识,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.函数是数学中的一种对应关系,是 从非空数集 A 到实数集 B 的对应.简单地说,甲随着乙变,甲就是乙的函数.精确地说,设 X 是一个非空集合,Y 是非空数集,f 是个对应法则,若对 X 中的每个 x,按对应法则 f,使 Y 中存在唯一的一个元素 y 与之对应,就称对应法则 f 是 X 上的一个函数,记作 y=f(x) . 6. (5 分)设全集 U={1,3,5,7,9},集合 A={1,|a﹣5|,9},?UA={5,7},则实数 a 的值 是() A.2 B. 8 C . ﹣2 或 8 D.2 或 8 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据补集的定义和性质可得 3∈A,|a﹣5|=3,解出实数 a 的值. 解答: 解:由题意可得 3∈A,|a﹣5|=3, ∴a=2,或 a=8, 故选 D. 点评: 本题考查集合的表示方法、集合的补集的定义和性质,判断|a﹣5|=3 是解题的关键. 7. (5 分)如果集合 A={x|ax +2x+1=0}中只有一个元素,则 a 的值是() A.0 B. 0 或 1 C. 1 D.不能确定 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 分类讨论. 分析: 从集合 A 只有一个元素入手,分为 a=0 与 a≠0 两种情况进行讨论,即可得到正确答 案. 解答: ∵A={x|ax +2x+1=0}中只有一个元素, 当 a=0 时,A={x|2x+1=0},即 A={
2 2 2 2

}.

当 a≠0 时,需满足△ =b ﹣4ac=0,即 2 ﹣4×a×1=0,a=1. ∴当 a=0 或 a=1 时满足 A 中只有一个元素. 故答案为:B 点评: 本题考查了元素与集合的关系,需分情况对问题进行讨论,为基础题. 8. (5 分)如图,那么阴影部分所表示的集合是()

A.B∩[?U(A∪C)] B.(A∪B)∪(B∪C) C. D.[?U(A∩C)]∪B

(A∪C)∩(?UB)

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 数形结合. 分析: 判断出阴影部分的元素在由集合 A 或集合 C 中当不在集合 B 中, 即在集合 B 的补集 中;利用集合的运算表示出阴影部分. 解答: 解:由韦恩图知,阴影部分在集合 A 或集合 C 中但不在集合 B 中 所以阴影部分所表示的集合是(A∪C)∩(CUB) 故选 C 点评: 本题考查利用韦恩图求集合、考查韦恩图在解决集合间的关系时是重要的工具. 9. (5 分)集合 M={x|x= + ,k∈Z},N={x|x=k+ ,k∈Z},则() A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=?

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 通过化简集合中元素的一般形式,比较分析来判断集合关系.

解答: 解:∵M 中:x= + =



N 中:x=k+ =n+ ,k=n∈Z, ∴N?M. 故选:C. 点评: 本题考查集合关系.可通过化简集合中元素的一般形式来判断,这是此类题的常见 解法. 10. (5 分)已知函数 f(x+1)的定义域为(﹣2,﹣1) ,则函数 f(2x+1)的定义域为() A.(﹣ ,﹣1) B.(﹣1,﹣ ) C.(﹣5,﹣3) D.(﹣2,﹣ )

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数 f(x+1)的定义域为(﹣2,﹣1) ,即 x∈(﹣2,﹣1)求出 x+1 的范围,得 到函数 f(x)的定义域,再由 2x+1 在 f(x)的定义域内求解 x 的取值集合求得函数 f(2x+1) 的定义域. 解答: 解:∵函数 f(x+1)的定义域为(﹣2,﹣1) ,

由﹣2<x<﹣1,得﹣1<x+1<0. ∴函数 f(x)的定义域为(﹣1,0) . 再由﹣1<2x+1<0,解得﹣1<x< ∴函数 f(2x+1)的定义域为 . .

故选 B. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了抽象函数的定义域,解答的关键是熟记 并理解方法,是中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)定义一种集合运算 A?B={x|x∈(A∪B) ,且 x?(A∩B)},设 M={x|﹣2<x<2}, N={x|1<x<3},则 M?N 所表示的集合是(﹣2,1]∪[2,3) . 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 计算题;作图题;集合. 分析: 由题意,在数轴上作出集合 M、N,由集合运算的新定义求解 M?N=(﹣2,1]∪[2, 3) . 解答: 解:如图: 作出集合 M、N; 则由 A?B={x|x∈(A∪B) ,且 x?(A∩B)}, M?N=(﹣2,1]∪[2,3) . 故答案为: (﹣2,1]∪[2,3) .

点评: 本题考查了学生对于新知识的接受能力及集合运算的方法,属于基础题. 12. (5 分)已知 f(2x+1)=3x﹣2 且函数 y=f(x)的图象过点(a,4) ,则 a 的值为 5. 考点: 函数的零点;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由函数 y=f(x)的图象过点(a,4)知,3x﹣2=4,a=2x+1,从而求解. 解答: 解:由题意,令 3x﹣2=4,解得,x=2; 则 a=2x+1=2×2+1=5, 故答案为:5. 点评: 本题考查了复合函数的相关性质,属于基础题. 13. (5 分)A={y|y=x ﹣1,x∈R},B={x∈R|y=
2

},则 A∩B={x|x≥1 或 x=﹣1}.

考点: 交集及其运算.

专题: 集合. 分析: 利用交集的性质求解. 解答: 解:∵A={y|y=x ﹣1,x∈R}={y|≥﹣1}, B={x∈R|y= }={x|x ﹣1≥0}={x|x≥1 或 x≤﹣1},
2 2

∴A∩B={x|x≥1 或 x=﹣1}. 故答案为:{x|x≥1 或 x=﹣1}. 点评: 本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意函数性质的合理运用. 14. (5 分)从甲地到乙地途经丙地,其中甲、乙两地相距 200 千米,甲、丙两地相距离 80 千 米,某人开汽车以 40 千米/小时的速度从甲地到达乙地,在丙地停留 1 小时,把汽车离开甲地

的路程 s 表示为时间 t(小时)的函数表达式是 s=



考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,从甲到乙需要 2 小时,从乙到丙需要 3 小时,在丙地停留 1 小时,所以我 们用分段函数表示函数的解析式. 解答: 解:由题意,从甲到乙需要 2 小时,从乙到丙需要 3 小时, ∴当 0≤t≤2 时,s=40t; 在丙地停留 1 小时,即 2<t≤3,s=80; 当 3<t≤6 时,s=40(t﹣1) ;

∴汽车离开甲地的路程 s 表示为时间 t(小时)的函数表达式是 s=



故答案为 s=



点评: 由于在不同的时间,汽车离开甲地的路程有所不同,所以函数的解析式是分段的, 要注意变量范围的确定.

15. (5 分)已知 f(1﹣2x)=

(x≠0) ,那么 f( )=8.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用函数的解析式,求解函数值即可.

解答: 解:f( )=f(1﹣2× )=

=8.

故答案为:8. 点评: 本题考查函数的解析式的应用,函数的值的求法,考查计算能力. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (12 分) 已知函数 ( f x) = <a 或 x>a+1} (1)求 A, (?RA)∩B; (2)若 A∪C=R,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算;函数的定义域及其求法. 专题: 综合题;转化思想;对应思想;综合法. 分析: (1)先求出集合 A,化简集合 B,根据 根据集合的运算求, (CRA)∩B; (2)若 A∪C=R,则可以比较两个集合的端点,得出参数所满足的不等式解出参数的取值范 围. 解答: 解: (1)由题意 ,解得 7>x≥3,故 A={x∈R|3≤x<7}, 的定义域为集合 A, B={x∈Z|2<x<10}, C={x∈R|x

B={x∈Z|2<x<10}═{x∈Z|3,4,5,6,7,8,9}, ∴(CRA)∩B{7,8,9} (2)∵A∪C=R,C={x∈R|x<a 或 x>a+1} ∴ 解得 3≤a<6

实数 a 的取值范围是 3≤a<6 点评: 本题考查集合关系中的参数取值问题,解题的关键是理解集合运算的意义,能借助 数轴等辅助工具正确判断两个集合的关系及相应参数的范围,本题中取参数的范围是一个难 点,易因为错判出错,求解时要注意验证等号能否成立. 17. (12 分)设集合 A={x|x ﹣3x+2=0},B={x|x +2(a﹣1)x+(a ﹣5)=0} (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 规律型. 分析: (1)根据条件 A∩B={2},得 2∈B,建立方程即可求实数 a 的值. (2)A∪B=A,等价为 B?A,然后分别讨论 B,建立条件关系即可求实数 a 的取值范围. 2 解答: 解: (1)有题可知:A={x|x ﹣3x+2=0}={1,2}, ∵A∩B={2}, ∴2∈B,
2 2 2

将 2 带入集合 B 中得:4+4(a﹣1)+(a ﹣5)=0 解得:a=﹣5 或 a=1 当 a=﹣5 时,集合 B={2,10}符合题意; 当 a=1 时,集合 B={2,﹣2},符合题意 综上所述:a=﹣5,或 a=1. (2)若 A∪B=A,则 B?A, ∵A={1,2}, ∴B=?或 B={1}或{2}或{1,2}. 2 2 若 B=?,则△ =4(a﹣1) ﹣4(a ﹣5)=24﹣8a<0,解得 a>3, 若 B={1},则 ,即 ,不成立.

2

若 B={2},则

,即

,不成立,

若 B={1,2}.则

,即

,此时不成立,

综上 a>3. 点评: 本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用, 将条件 A∪B=A 转化为 B?A 是解 决本题的关键.

18. (12 分)已知函数 f(x)=

(1)求 f(f(3) )的值 (2)当﹣4≤x<3 时,求 f(x)的值域. 考点: 函数的值域;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由题意可得 f(3) ,然后再代入符合条件的解析式即可; (2)分别求得函数每 段解析式的值域,最后取并集即可. 解答: 解: (1)由题意可得 f(3)=4﹣3 =﹣5, 所以 f(f(3) )=f(﹣5)=1﹣2(﹣5)=11; (2)由分段函数可知: 当﹣4≤x<0 时,函数的解析式为 y=1﹣2x∈(1,9]; 当 x=0 时,y=2; 2 当 0<x<3 时,函数的解析式为 y=4﹣x ∈(﹣5,4) ; 故当﹣4≤x<3 时,求 f(x)的值域为: (﹣5,9] 点评: 本题为分段函数的考查,分别代入和求解是解决问题的方法,属基础题.
2

19. (13 分)已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x 且 f(0)=1. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)在区间[﹣1,1]上求 y=f(x)的值域; (Ⅲ)在区间[a,a+1]上求 y=f(x)的值域. 考点: 抽象函数及其应用;函数解析式的求解及常用方法;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)利用待定系数法即可求 f(x)的解析式; (Ⅱ)根据二次函数的性质即可在区间[﹣1,1]上求 y=f(x)的值域; (Ⅲ)分别讨论对称轴和区间区间[a,a+1]的关系,即可求 y=f(x)的值域. 2 解答: 解: (Ⅰ)设 f(x)=ax +bx+c, 2 ∵f(0)=0,∴c=0,则 f(x)=ax +bx, ∵f(x+1)﹣f(x)=2x, 2 2 ∴a(x+1) +b(x+1)﹣ax ﹣bx=2x, 即(2a+b)x+a+b=2x, 则 ,解得 a=2,b=﹣2,
2

即 f(x)=2x ﹣2x. (Ⅱ)∵f(x)=2x ﹣2x=2(x﹣ ) ﹣ , 则对称轴为 x= , ∵x∈[﹣1,1], ∴当 x=1 或 x=﹣1 时,函数取得最大值 f(1)=0, 当 x= 时,函数 y=f(x)取得最小值﹣ , 故函数的值域为[﹣ ,0]; (Ⅲ) (Ⅱ)∵f(x)=2x ﹣2x=2(x﹣ ) ﹣ , 则对称轴为 x= , 则区间[a,a+1]的中点为 x=a+ , ①若 a+1≤ ,即 a ,此时函数 f(x)在[a,a+1]上为减函数,则最大值为 f(a)=2a
2 2 2 2 2 2 2 2

﹣2a,最小值 f(a+1)=2a +2a+2,值域为[2a ﹣2a,2a +2a+2], ②若 a<a+ ≤ ,即 a≤0,此时最大值为 f(a)=2a ﹣2a,最小值 f( )= ,值域为[2a ﹣2a, ﹣ ], ③ ≤a+ ≤a+1,即 a≥0,此时最小值为 f( )=﹣ ,最大值 f(a+1)=2a +2a+2,值域为[﹣ , 2a +2a+2],
2 2 2 2

④若 a> ,此时函数 f(x)在[a,a+1]上为增函数,则最小值为 f(a)=2a ﹣2a,最大值 f (a+1)=2a +2a+2,值域为[2a +2a+2,2a ﹣2a]. 点评: 本题主要考查二次函数的解析式以及二次函数在闭区间上的值域,利用待定系数法 以及分类讨论的思想是解决本题的关键. 20. (13 分)某渔场鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量 x 要小 于 m,留出适当的空闲量,空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率,已知鱼群的年增加量 y(y 吨)和实际养殖量 x(吨)与空闲率的乘积成正比(设比例系数 k>0) . (1)写出 y 与 x 的函数关系式,并指出定义域; (2)求鱼群年增长量的最大值; (3)当鱼群年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意求出空闲率,然后利用正比例关系得 y 与 x 的函数关系式; (2)利用配方法求二次函数的最值; (3)鱼群年增长量达到最大值时,应保证实际养殖量和增加量的和在 0 到 m 之间,由此列不 等式求解 k 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意得空闲率为 (2)∵ ∴当 x= 时, ; ,解得﹣2<k<2. ,则 , ,0<x<m;
2 2 2

2

(3)由题意得:0<x+y<m,即

又∵k>0,∴0<k<2. ∴k 的取值范围是(0,2) . 点评: 本题考查了函数模型的选择与应用,考查了利用配方法求二次函数的最值,解答的 关键是对题意的理解,是中档题. 21. (13 分)已知函数 f(x)=|x+1|+|x﹣1|(x∈R) . (1)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数,然后在给定的坐标系中画出 函数图象(不需列表) ; (2)若函数 f(x)在区间[a﹣1,2]上函数值随着自变量的增大而增大,试确定实数 a 的取值 范围; (3)若集合{x∈R|f(x)≥ }=R,求实数 m 的取值范围.

考点: 绝对值不等式的解法;带绝对值的函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由绝对值的定义,在不同的范围内去绝对值,得当 x<﹣1 时,函数表达式为 y=﹣2x;当﹣1≤x≤1 时,函数表达式为 y=2;当 x>1 时,函数表达式为 y=2x.由此不难将函 数化成分段函数的表示形式,并可作出它的图象. (2)根据(1)的表达式,可得区间[a﹣1,2]是[1,+∞)的子集,由此建立不等式并解之, 即可得到 a 的取值范围. 解答: 解: (1)根据绝对值的定义,化简函数为

f(x)=|x+1|+|x﹣1|=



当 x<﹣1 时,函数图象是直线 y=﹣2x 的一部分;当﹣1≤x≤1 时,函数图象是直线 y=2 的一部 分; 当 x>1 时,函数图象是直线 y=2x 的一部分 由此可得函数的图象如下图

(2)由(1)得,函数的增区间为[1,+∞) ∵f(x)在区间[a﹣1,2]上单调递增, ∴1≤a﹣1<2,解之得 2≤a<3 因此,实数 a 的取值范围为[2,3) ; (3)由(1)图象得,要使集合{x∈R|f(x)≥ }=R, 只要 ≤f(x) (min=2,解得 m<0 或者 m≥ ,

所以实数 m 的取值范围 m<0 或者 m≥ . 点评: 本题给出含有绝对值的函数,要求我们将其化成分段函数的表达式形式,并讨论它 的单调区间, 着重考查了绝对值的意义和函数的单调性以及函数图象的画法等知识, 体现了数 形结合的解题方法.


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