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学高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系本章测评新人教A版解析


第二章测评
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不相交 解析:棱台的各条侧棱所在直线相交于一个公共点,而这个公共点在棱台的侧面的

各个平面内,即这 条侧棱所在直线与其他各个侧面所在平面都有一个公共点,故选 B. 答案:B 2.如图,α ∩β =l,A∈α ,B∈α ,AB∩l=D,C∈β ,C?l,则平面 ABC 与平面 β 的交线是( )

A.直线 AC B.直线 AB C.直线 CD D.直线 BC 解析:∵D∈l,l? β ,∴D∈β .又 C∈β ,∴CD? β ; 同理,CD? 平面 ABC, ∴平面 ABC∩平面 β =CD.故选 C. 答案:C 3.异面直线 a,b 分别在平面 α ,β 内,若 α ∩β =l,则直线 l 必定( ) A.分别与 a,b 相交 B.与 a,b 都不相交 C.至少与 a,b 中一条相交 D.至多与 a,b 中一条相交 解析:假设 a∥l,b∥l,则 a∥b,这与 a,b 异面矛盾. 又 a 与 l 共面,b 与 l 共面,所以 l 至少与 a,b 中的一条相交. 答案:C 4.BC 是 Rt△ABC 的斜边,PA⊥平面 ABC,PD⊥BC 于点 D,则图中共有直角三角形的个数是(

)

A.8 B.7 C.6 D.5 解析:因为 PA⊥平面 ABC, 所以 PA⊥BC. 因为 PD⊥BC,PA∩PD=P, 所以 BC⊥平面 PAD,所以 AD⊥BC. 图中直角三角形有△PAC,△PAD,△PAB,△ABC,△PDC,△PDB,△ADC,△ADB,共 8 个. 答案:A 5. 导学号 96640066 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四面体 ABCD 中,下列结论正确的是( )

1

A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 解析:易知:在△BCD 中,在∠DBC=45°,∴∠BDC=90°. 又平面 ABD⊥平面 BCD,而 CD⊥BD, ∴CD⊥平面 ABD,∴AB⊥CD, 而 AB⊥AD,∴AB⊥平面 ACD, ∴平面 ABC⊥平面 ACD. 答案:D 6.在等腰直角三角形 ABC 中,AB=BC=1,M 为 AC 的中点,沿 BM 把它折成二面角,折后 A 与 C 的距离为 1,则二面角 C-BM-A 的大小为( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 解析:

如图,由 A'B=BC=1,∠A'BC=90°知 A'C=. ∵M 为 A'C 的中点,∴MC=AM=,且 CM⊥BM,AM⊥BM, ∴∠CMA 为二面角 C-BM-A 的平面角. ∵AC=1,MC=MA=,∴∠CMA=90°,故选 C. 答案:C 8.设 α ,β 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是( ) A.若 α ⊥β ,α ∩β =n,m⊥n,则 m⊥α B.若 m? α ,n? β ,m∥n,则 α ∥β C.若 m∥α ,n∥β ,m⊥n,则 α ⊥β D.若 n⊥α ,n⊥β ,m⊥β ,则 m⊥α 解析:选项 A 的已知条件中加上 m? β ,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项 B 错 误,容易知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项 C 错误, 因为两个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项 D 正确,由 n⊥α ,n⊥β 可得 α ∥β ,又因为 m⊥β ,所以 m⊥α . 答案:D 9.已知:平面 α ⊥平面 β ,α ∩β =l,在 l 上取线段 AB=4,AC,BD 分别在平面 α 和平面 β 内,且 AC ⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则 CD 的长度为( ) A.13 B. C.12 D.15

解析:如图,连接 AD. ∵α ⊥β ,∴AC⊥β ,DB⊥α . 在 Rt△ABD 中,

2

AD==4.
在 Rt△CAD 中,CD==13. 答案:A 10.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 中点, 则下列叙述正确的是( )

A.CC1 与 B1E 是异面直线 B.AC⊥平面 ABB1A1 C.AE,B1C1 为异面直线,且 AE⊥B1C1 D.A1C1∥平面 AB1E 解析:由已知 AC=AB,E 为 BC 中点,则 AE⊥BC. ∵BC∥B1C1,∴AE⊥B1C1,故 C 正确. 答案:C 11.

如图,在正四棱锥 S-ABCD(顶点 S 在底面 ABCD 上的射影是正方形 ABCD 的中心)中,E 是 BC 的中点, 点 P 在侧面△SCD 内及其边界上运动,并且总是保持 PE⊥AC.则动点 P 的轨迹与△SCD 组成的相关图 形最有可能是图中的( )

解析:

如图,连接 BD 与 AC 相交于点 O,连接 SO, 取 SC 的中点 F,取 CD 的中点 G,连接 EF,EG,FG, 因为 E,F 分别是 BC,SC 的中点, 所以 EF∥SB,EF?平面 SBD,SB? 平面 SBD,所以 EF∥平面 SBD,同理可证 EG∥平面 SBD,又 EF∩EG=E,所以平面 EFG∥平面 SBD. 由题意得 SO⊥平面 ABCD,AC⊥SO, 因为 AC⊥BD,又 SO∩BD=O,所以 AC⊥平面 SBD,所以 AC⊥平面 EFG, 所以 AC⊥GF,所以点 P 在直线 GF 上. 答案:A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.设平面 α ∥平面 β ,A,C∈α ,B,D∈β ,直线 AB 与 CD 交于点 S,且点 S 位于平面 α ,β 之 间,AS=8,BS=6,CS=12,则 SD= . 解析:如图所示,

3

则直线 AB,CD 确定一个平面 ACBD. ∵α ∥β ,∴AC∥BD,∴, ∴,解得 SD=9. 答案:9 14.如图所示,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱垂直于底面,当四边形 A1B1C1D1 满足条件 有 A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).

时,

解析:由题意可知 CC1⊥平面 A1B1C1D1, 所以 CC1⊥B1D1,要使得 B1D1⊥A1C,只要 B1D1⊥平面 A1CC1. 所以只要 B1D1⊥A1C1. 此题还可以填写四边形 A1B1C1D1 是菱形、正方形等条件. 答案:B1D1⊥A1C1(或 A1B1C1D1 是正方形等,答案不唯一) 15.已知在菱形 ABCD 中,AB=2,∠A=120°,沿对角线 BD 将△ABD 折起使二面角 A-BD-C 为 120°,则 点 A 到△BCD 所在平面的距离为 . 解析:设 AC∩BD=O,则翻折后 AO⊥BD,CO⊥BD,即∠AOC 即为二面角的平面角,所以∠AOC=120°,且 AO=1,故 d=1×sin 60°=. 答案: 16.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面 截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).

①当 0<CQ<时,S 为四边形 ②当 CQ=时,S 为等腰梯形 ③当 CQ=时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ④当<CQ<1 时,S 为六边形 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 2 2 2 2 2 解析:当 CQ=时,D1Q =D1+C1Q ,AP =AB +BP ,所以 D1Q=AP.又因为 AD1∥PQ,AD1=2PQ,所以②正确;当 0<CQ< 时,截面为 APQM,所以为四边形,故①也正确,如图①所示.

图① 如图②,当 CQ=时,由△QCN∽△QC1R 得 ,即,C1R=,故③正确.

4

图② 如图③所示,当 CQ=1 时,截面为 APC1E. 可知 AC1=,EP=且 APC1E 为菱形, ,故⑤正确. 当<CQ<1 时,截面为五边形 APQMF. 所以④错误.

图③ 答案:①②③⑤ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)(2016 安徽宿州高二期中)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,P,Q 分别为线段 AB,CD 的中点,EP⊥平面 ABCD. (1)求证:AQ∥平面 CEP; (2)求证:平面 AEQ⊥平面 DEP.

解:(1)在矩形 ABCD 中, ∵AP=PB,DQ=QC,∴APCQ. ∴AQCP 为平行四边形.∴CP∥AQ. ∵CP? 平面 CEP,AQ?平面 CEP, ∴AQ∥平面 CEP. (2)∵EP⊥平面 ABCD,AQ? 平面 ABCD, ∴AQ⊥EP. ∵AB=2BC,P 为 AB 中点,∴AP=AD.连接 PQ,ADQP 为正方形. ∴AQ⊥DP.又 EP∩DP=P, ∴AQ⊥平面 DEP. ∵AQ? 平面 AEQ.∴平面 AEQ⊥平面 DEP.

18.

5

(本小题满分 12 分)(2016 宁夏石嘴山高一期末)已知直三棱柱 ABC-A'B'C'满足∠ BAC=90°,AB=AC=AA'=2,点 M,N 分别为 A'B,B'C'的中点. (1)求证:MN∥平面 A'ACC'; (2)求证:A'N⊥平面 BCN. (3)求三棱锥 C-MNB 的体积. (1)证明:如图,连接 AB',AC'.

∵四边形 ABB'A'为矩形,M 为 A'B 的中点, ∴AB'与 A'B 交于点 M,且 M 为 AB'的中点, 又点 N 为 B'C'的中点, ∴MN∥AC', ∵MN?平面 A'ACC',且 AC'? 平面 A'ACC', ∴MN∥平面 A'ACC'. (2)证明:∵A'B'=A'C',点 N 为 B'C'的中点, ∴A'N⊥B'C'. 又 BB'⊥平面 A'B'C',∴A'N⊥BB', ∵B'C'? 平面 BCN,BB'? 平面 BCN,且 B'C'∩BB'=B', ∴A'N⊥平面 BCN. (3)解:取 BN 的中点 D,连接 MD,则 MD∥A'N. 由(1)知 A'N⊥平面 BCN,∴MD⊥平面 BCN. ∵∠BAC=90°,∴BC==2. 又三棱柱 ABC-A'B'C'为直三棱柱,且 AA'=4, ∴S△BCN=×2×4=4. ∵A'B'=A'C'=2,∠B'A'C'=90°,点 N 为 B'C'的中点, ∴A'N=, ∴M 到平面 BCN 的距离为, ∴VC-MNB=VM-BCN=×4. 19.(本小题满分 12 分)(2016 山西临汾高二期中)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,CD=AD=2AB=2AP.

(1)求证:平面 PCD⊥平面 PAD; (2)在侧棱 PC 上是否存在点 E,使得 BE∥平面 PAD,若存在,确定点 E 位置;若不存在,说明理由. (1)证明:∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥CD.① 又 AB⊥AD,AB∥CD, ∴CD⊥AD.②

6

由①②可得 CD⊥平面 PAD. 又 CD? 平面 PCD, ∴平面 PCD⊥平面 PAD.

(2)解:当点 E 是 PC 的中点时,BE∥平面 PAD. 证明如下:设 PD 的中点为 F,连接 EF,AF, 易得 EF 是△PCD 的中位线, ∴EF∥CD,EF=CD. 由题设可得 AB∥CD,AB=CD, ∴EF∥AB,EF=AB, ∴四边形 ABEF 为平行四边形, ∴BE∥AF. 又 BE?平面 PAD,AF? 平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD. 20.(本小题满分 12 分)(2015 浙江台州高二期末)

如图,已知 AE⊥平面 CDE,四边形 ABCD 为正方形,M,N 分别是线段 BE,DE 的中点. (1)求证:MN∥平面 ABCD; (2)若,求 EC 与平面 ADE 所成角的正弦值. (1)

证明:连接线段 BD. 在△BDE 中,∵M,N 分别是线段 BE,DE 的中点, ∴MN 为中位线,则 MN∥BD. 又 MN?平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD. (2)解:连接线段 AC. ∵四边形 ABCD 为正方形,∴CD⊥AD. 又 AE⊥平面 CDE,∴CD⊥AE, 且 AD∩AE=A,∴CD⊥平面 ADE. EC 与平面 ADE 所成角的平面角即为∠CED. 在△ACE 中,令 AE=a,CE=2a,则 AC=a,

∴CD=a. 在△CDE 中,sin∠CED=. ∴EC 与平面 ADE 所成角的正弦值为.
21.(本小题满分 12 分)(2016 河北唐山高二期中)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面 ABC 是等腰直角三 角形,AB=AC=1,侧棱 AA1⊥底面 ABC,且 AA1=2,E 是 BC 的中点.

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(1)求异面直线 AE 与 A1C 所成角的余弦值; (2)求直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成角的正切值. 解:(1)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,取 C1B1 的中点 H,连 A1H 与 HC. ∵E 是 BC 的中点,∴A1H∥AE,∠CA1H 是异面直线 AE 与 A1C 所成角.

∵底面 ABC 是等腰直角三角形,E 是 BC 的中点, ∴AE⊥BC,∴A1H⊥BC. ∵侧棱 AA'⊥底面 ABC, ∴侧棱 B1B⊥A1H, ∴A1H⊥平面 BCC1B1,∴A1H⊥HC. 在 Rt△A1HC 中, cos∠CA1H=. (2)由(1)知 A1H⊥平面 BCC1B1,A1C 在平面 BCC1B1 上的射影是 HC, ∴∠A1CH 是直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成角, 在 Rt△A1HC 中,tan∠A1CH=.
22. 导学号 96640068(本小题满分 12 分)(2015 山东临沂高一期末)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AD=2,E,F,G 分别是 PC,PD,BC 的中点.

(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)求证:平面 PAB∥平面 EFG; (3)在线段 PB 上确定一点 M,使 PC⊥平面 ADM,并给出证明. (1)解:∵PD⊥平面 ABCD, ∴VP-ABCD=×SABCD×PD=×2×2×2=. (2)证明:E,F 分别是线段 PC,PD 的中点,∴EF∥CD. 又 ABCD 为正方形,AB∥CD,∴EF∥AB, 又 EF?平面 PAB,AB? 平面 PAB, ∴EF∥平面 PAB. ∵E,G 分别是线段 PC,BC 的中点,∴EG∥PB. 又 EG?平面 PAB,PB? 平面 PAB, ∴EG∥平面 PAB. ∵EF∩EG=E,∴平面 EFG∥平面 PAB. (3)解:当 M 为线段 PB 中点时,PC⊥平面 ADM.证明如下: 取 PB 中点 M,连接 DE,EM,AM,

8

∵EM∥BC∥AD,∴A,D,E,M 四点共面. 由 PD⊥平面 ABCD,得 AD⊥PD, 又 AD⊥CD,PD∩CD=D, ∴AD⊥平面 PDC,∴AD⊥PC, 又三角形 PDC 为等腰直角三角形,E 为斜边中点, ∴DE⊥PC.AD∩DE=D, ∴PC⊥平面 ADEM,即 PC⊥平面 ADM.

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