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椭圆和双曲线小结(正式)


y

y

. F

1

0

. F

2

x

. F

1

o

. F

2

x

椭圆、双曲线的方程(各取一种情况)、性质的对比. 椭圆
几何条件 标准方程 顶点坐标 对称轴 焦点坐标 与两个定点的距离的和 等于常数.

双曲线
与两个定点的距离的差 的绝对值等于常数.

?? a , 0? , ?0 , ? b?
x轴, 长轴长2a y轴, 短轴长2b

?? a , 0?
x轴, 实轴长2a y轴, 虚轴长2b

?? c , 0? ,
a2 x?? c

c ? a 2 ? b2

?? c , 0? ,
e ?1

c ? a 2 ? b2

离心率
准线方程 渐近线方程

0 ? e ?1

a2 x?? c y??b x a

焦点访谈

焦点位置
材料一: 找出下列椭圆或双曲线的焦点坐标.
x2 y2 分析:将原方程变为标 准方程 ? ?1 25 9
? a 2 ? 25 , b 2 ? 9 , 即c 2 ? a 2 ? b 2 ? 16

?1? 9 x 2 ? 25 y 2 ? 225 ? 0

? 焦点坐标为?4 , ? ,? 4 , ?. 0 ? 0

y2 x2 分析:将原方程变为标 准方程 ? ?1 4 9 2 2
? a ? 4 , b ? 9 , 即c 2 ? a 2 ? b 2 ? 13

?2? 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 ? 0

? 焦点坐标为 0 , 13 ,0 , 13 . ?

?

??

?

x2 y2 已知方程 ? ?1 探索: 2 ? m m ?1
⑴表示焦点在x轴上的双曲线,求m的范围.

?2 ? m ? 0 分析:? , ? m ? ?1时双曲线焦点在 轴上. x ?m ? 1 ? 0
⑵表示焦点在x轴上的椭圆 ,求m的范围.

?2 ? m ? 0 ? 3 分析: ? ?m ? 1? ? 0 x , ? ? ? m ? ?1时椭圆焦点在 轴上. ? 2 ?2 ? m ? ??m ? 1? ? 判断焦点位置

共同点: 化为标准方程,观察x 2 , y 2的系数. 差异: 椭圆看大小,双曲线看符号.

焦点三角形

? 双曲线上一点? 长轴或实轴端点除外,则称?PF1 F2
为此椭圆或双曲线的焦 点三角形 .

设F1 , F2为椭圆或双曲线的两个 焦点,P是椭圆或

y2 已知 P 材料二: F1,F2是椭圆 x ? ? 1的两个焦点, 在 49 24 ?. 椭圆上且满足PF1 ? PF2 ? 48,则?F1 PF2 ? ____ 90 2 y2 类比: F1,F2是双曲线x ? ? 1的两个焦点, 在 已知 P 9 16 双曲线上且满足 F1 PF2 ? 60 ? ,则 PF1 ? PF2 ? ____. ? 64
2

y

.

P

.
2

y
P

. F

1

0

. F

x

F1

.

o

. F

2

x

a b 焦点,P是椭圆上一点(长轴端点除外 ,设?F1 PF2 ? ?, )
2b 2 则 PF1 ? PF2 ? __________ . 1 ? cos ? __
2

已知 F1,F2是椭圆 x 2 ? 探索:

2

y2
2

? 1 ?a ? b ? 0?的两个

已知 类比: F1,F2是双曲线 x 2 ?y

y2
2

a b P 的两个焦点, 是双曲线上一点 ( 实轴端点除外) , P
2b 2 设?F1 PF2 ? ?,则 PF1 ? PF2 ? _________ 1 ? cos ? . F1 F2 0

? 1 ?a ? 0 , b ? 0?

.

.

共同点: 都是在?PF1F 2中利用余弦定理求解. 差异:椭圆 PF1 ? PF2 ? 2a ;
双曲线 PF1 ? PF2 ? 2a .

?

.

x

焦点弦
x 2 ? y 2 ? 1的右焦点, 已知斜率为 的直线 l 过椭圆 1 材料三: 2 交椭圆于 、B两点,求弦 的长. A AB 分析: 右焦点F ?1 , ? , ? l 方程为y ? x ? 1 , ? 0 y 设A、B坐标分别为 ? x1 , y1 ?, B? x 2 , y 2 ? . A
? y ? x ?1 由? 2 ,得 3 x 2 ? 4 x ? 0 . 2 ?x ? 2 y ? 2 ? x1 ? x 2 ? 4 , x1 ? x 2 ? 0 . 3

.

0 B

. P.
F

A x

? AB ? 1 ? k 2 ? x 1 ? x 2
? 1? k 2

? x1 ? x 2 ?2 ? 4 x1 x 2
相离

?

思考: 以线段AB为直径的圆,与椭圆相应准线是何位置关系?

4 2 3

探索: 以过椭圆的焦点的弦为直径的圆,和该
焦点相应准线是何位置关系? 相离 以过双曲线的焦点的弦为直径的圆,和 类比: 该焦点相应准线是何位置关系? 相交 y y
A A m

.

0
B

P

.

F

.

P

d n

x

..
F
B

o

.

x

共同点: 利用第二定义解题.

差异: 椭圆

0 ? e ?1,

双曲线 e ? 1.

三、小结提高
椭圆、双 曲线的方 程、性质

焦点位置

焦点
访谈核心

焦点三角形

焦点弦

知识?方法?思想

探索: 以过椭圆的焦点的弦为 直径的圆,和该焦点相 应准线是何位置关系? 类比: 以过双曲线的焦点的弦为 直径的圆,和该焦点相应 准线是何位置关系?

y2 已知F1,F2是椭圆 x ? ? 1的两个焦点,P是 探索2: 100 64 椭圆上任一点,且?F1 PF2 ? 600,求?F1 PF2的面积 .
2

2b 2 ? 2 ? 64 PF1 ? PF2 ? 分析: ? 256 由探索1可知 1 ? cos ? 1 ? cos 60? 3

? S ?F1PF2

1 ? PF ? PF sin?F PF ? 1 ? 256 ? 3 ? 64 3 . ? 1 2 1 2 3 2 3 2 2
2

y2 已知 类比: F1,F2是双曲线 x ? 16 ? 1的两个焦点, 9 P是双曲线上任意一点,若 PF1 ? PF2 ? 64 ,则 3

则S ?PF1F2 ?

16 3 ______. 3


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