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高三总复习讲义数学归纳法和极限


高三总复习将义--数学归纳法和极限 第一讲
知识清单
数学归纳法证明一个与整数有关的命题的步骤是: 1、证明当 n 取第一个值 n0 (例如 n0 ? 1 或 2)时结论正确; 2、假设当 n ? k (k ? N * , k ? n0 ) 时结论正确,证明当 n ? k ? 1 ,时结论也正确。 注意:证明当 n ? k ? 1 ,时结论也正确时必须使用归纳

假设,否则不算时数学归 纳法。 “观察 ? 归纳 ? 猜想 ? 证明”
典型例题

数学归纳法

Eg1、 (08 辽宁)在数列 {an },{bn } 中, a1 ? 2, b1 ? 4 ,且 an , bn , an?1 成等差数列,

bn , an?1 , bn?1 成等比数列, (n ? N * )
(1)求 a2 , a3 , a4 及 b2 , b3 , b4 ,由此猜想 {an },{bn } 的通项公式,并证明你的结论; (2)证明:
1 1 1 5 ? ? ??? ? ? 。 a1 ? b1 a 2 ? b2 a n ? bn 12

Eg2、函数列 { f n ( x)} 满足, f1 ( x) ? (1)求 f 2 ( x), f 3 ( x);

x 1? x2

( x ? 0), f n?1 ( x) ? f1[ f n ( x)] ,

(2)猜想 f n (x) 的表达式,并证明。
实战训练

1、已知数列 an 的前 n 项和 sn ? n 2 an (n ? 2) , a1 ? 1 ,通过计算 a2 , a3 , a4 ,猜想 an 的通项公式,并证明。 2、 上一个 n 层的台阶, 若每次可上一层或两层,设所有不同的上发的总数为 f (n) , 则,下列猜想中正确的是( A, f (n) ? n ; C, f (n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) ; ) B, f (n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) ;

n (n ? 1,2) ? D, f (n) ? ? (n ? 3) ? f (n ? 1) ? f (n ? 2)

3、(06 全国)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且方程 x 2 ? an x ? an ? 0 ,有一根为

S n ? 1, n ? 1,2,3,...
(1)求 a1 , a 2 ; (2)求 {an } 的通项公式。 4、 (06 江西)已知数列 {an } 满足: a1 ? (1)求 {an } 的通项公式; (2)证明:对一切正整数 n, 不等式 a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? 2 ? n!恒成立。 5、(06 福建)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ) (1)求数列 {an } 的通项; (2)若数列 {bn } 满足 4b1 ?14b2 ?1.....4bn ?1 ? (an ? 1) bn (n ? N * ) ,证明: {bn } 是等比数 列; (3)证明:

3nan?1 3 ,且 an ? (n ? 2, n ? N * ) 2 2an?1 ? n ? 1

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ) 2 3 a 2 a3 an?1 2

第二讲 知识清单

数列的极限

1, 数列极限的概念: 一般地, 如果当项数 n 无限增大时, 无穷数列 {an } 的项 an 无 限地趋近某个常数 a , (即 an ? a 无限地接近 0) ,那么就说数列 {an } 以 a 为极限, 或者说 a 是数列 {an } 的极限; 2,常用极限:① lim C ? C ( C 为常数) ;② lim
n?? n ?? n ??

1 ? 0 ;③ lim q n ? 0, ( q ? 1) n ?? n n ??

3,数列极限的四则运算:如果 lim a n ? A, lim bn ? B, C 为常数,那么
lim(a n ? bn ) ? A ? B ; lim(a n ? bn ) ? A ? B ; lim
n ?? n ??

a n lim a n A ? n?? ? (lim bn ? 0, B ? 0) n ?? b lim bn B n?? n
n ??

lim(C ? a n ) ? C ? lim a n ? C ? A
n ?? n ??

? 1 (q ? 1) ? ( q ? 1) ; 4,几个常用结论: (1) lim q ? ? 0 n ?? ?不存在( q ? 1或q ? ?1 ?
n

(2)若 f (n), g (n) 是关于 n 的多项式,其次数分别是 k, h ,次数最高项的系数分 别是 a, b(ab ? 0)
?不存在 f ( n) ? a ? ?? 则 lim n ?? g ( n) ? b ? 0 ? (k ? h ) ( q ? 1) ; ( k ? h)

?1 an ? bn ? ?? 0 (3) lim n n ?? a ? b n ?? 1 ?

(a ? b ) ( a ? b) (a ? b )
n?? n??

5,无穷数列 {an } ,其前 n 项和为 S ,若 lim S n 存在,则其各项和 S ? lim S n 对于无穷等比数列 {an } ,公比为 q , 当 q ? 1 时, S ? lim

a1 (1 ? q n ) a ? 1 ,当 q ? 1 时, S 不存在; n?? 1? q 1? q

典型例题

Eg1、求下列极限
3n 2 2n (1) lim( ? ) =____________________________________________; 3 n ?? 1 ? n 1? n

(2) lim[ n ? 1( n ? 1 ? n )] =_______________________________________;
n ??

(3) lim(
n ??

1 4 7 3n ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? ) =_________________________________; 2 n n n n2

n2 ?1 Eg2、 (1)若 lim( ? an ? b) ? 0 ,求 a, b 的值; n ?? n ? 1

(2)若 lim

3n 1 ? ,求 a 的取值范围; n ?1 n n?? 3 3 ? (a ? 1)
0 ”型:分子,分母分别求和 0

常见的几类数列极限的类型和解决方法:①“ 再化简转化;②“

? ”型:分子,分母先求和再化简转化求极限;③“ ? ? ? ” ? 型:将其看做分母为 1 的分式,转化求极限。

实战训练:
1、已知数列的 {an } 的通项公式为 a n ? 2、 (08 辽宁) lim
n ??

2n 2 ? 1 ,则 lim(a n ? 2) =______________; n ?? n2 ?1

1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ? 1) =___________________________; n(2n ? 1)

(1 ? a )n ? 1 ? 2 ,则 a =______________; n?a 1 4、 (06 湖南)若数列 {an } 满足:a1 ? ,且对任意正整数 m, n 都有 am?n ? am ? an , 3

3、 (08 陕西) lim
n ??

则 lim(a1 ? a 2 ? ... ? a n ) =______________;
n??

5、 (06 陕西) lim
n??

1 2n( n 2 ? 1 ? n 2 ? 1)

=______________;

3 Cn 6、 (06 上海) lim 3 =______________; n ?? n ? 1

7、 (07 全国)已知数列的通项 an ? ?5n ? 2 ,则 lim

Sn =______________;设数 n?? n 2

列 {an },{bn } 的通项公式为 a n ?

1 1 和 bn ? n , n ? N ? ,它们的前 n 项和分别是 n 3 2

An , Bn ,则 lim

An =_______________; n ?? B n

第三讲 知识清单

函数的极限与连续性

1、当 x ? ? 时,函数 f (x) 的极限:①当自变量 x 的取正值,并且无限增大时, 如果 f (x) 的值无限趋近于一个常数 a , 就说当 x 趋向于正无穷大时, 函数 f (x) 的 极限是 a ,记作 lim f ( x) ? a ;②当自变量 x 的取负值,并且绝对值无限增大时,
n ? ??

如果 f (x) 的值无限趋近于一个常数 a , 就说当 x 趋向于负无穷大时, 函数 f (x) 的 极限是 a ,记作 lim f ( x) ? a ;③若 lim f ( x) ? a 且 lim f ( x) ? a ,那么就说当 x
n ? ?? n ? ?? n ? ??

趋向于无穷大时,函数 f (x) 的极限是 a ,记作 lim f ( x) ? a 。
n ??

2、当 x ? x0 时,函数 f (x) 的极限:①当自变量 x 无限趋近常数 x0 (但 x ? x0 ) 时,如果 f (x) 的值无限趋近于一个常数 a ,就说当 x 趋近于 x0 时,函数 f (x) 的 极限是 a ,记作 lim f ( x) ? a ;②当自变量 x 从点 x ? x0 左侧(即 x ? x0 )无限趋
x ? x0

近 x0 时,如果 f (x) 的值无限趋近于一个常数 a ,就说 a 是函数 f (x) 在点 x0 处的 左极限,记作 lim f ( x) ? a ;③当自变量 x 从点 x ? x0 右侧(即 x ? x0 )无限趋近 ?
x ? x0

x0 时,如果 f (x) 的值无限趋近于一个常数 a ,就说 a 是函数 f (x) 在点 x0 处的右
极限,记作 lim f ( x) ? a 。 ?
x ? x0 x ? x0

lim f ( x) ? a ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? a ? ?
x ? x0 x ? x0

注:自变量 x 无限趋近 x0 时,函数 f (x) 的极限是 a ,不要求 f (x) 在 x ? x0 处是否 有意义,即, lim f ( x) ? a 与函数 f (x) 在点 x0 处是否有定义及是否等于 f ( x0 ) 都
x ? x0

无关。

3、函数极限的四则运算法则:如果 lim f ( x) ? a, lim g ( x) ? b ,那么
x ? x0 x ? x0

(1) lim[ f ( x) ? g ( x)] ? a ? b ; (2) lim[ f ( x) ? g ( x)] ? a ? b ;
x ? x0 x ? x0

(3) lim
x ? x0

f ( x) a ? (b ? 0) g ( x) b
0 ”型:变形约去分母中等于 0

4、常见的几类函数极限的类型和解决方法:①“

? x3 ?1 0 的因式,例如 lim ;②“ ”型:分子、分母同时除以趋于无穷最快的式 x ?1 x ? 1 ?

子,例如 lim

2x3 ? x 2 ? 1 ;③“ ? ? ? ”型。 x ?? x3

5、函数连续的概念 (1)如果函数 y ? f (x) 在点 x ? x0 处及其附近有定义,且 lim f ( x) ? f ( x0 ) ,就
x ? x0

说函数 f (x) 在点 x0 处连续。 (2)函数 f (x) 在点 x0 处连续必须满足下面三个条件:①函数 y ? f (x) 在点

x ? x0 处有定义;② lim f ( x ) 存在;③ lim f ( x) ? f ( x0 ) ,若三个条件中有一个不
x? x0 x ? x0

满足,那么函数 f (x) 在点 x0 处不连续。 (3)函数 f (x) 在开区间 ( a, b) 内每一点处都连续, 就说函数在区间 ( a, b) 内连续。 (4)对于闭区间 [a, b] ,如果函数 f (x) 在开区间 ( a, b) 内连续,且在左端点 x ? a 处有 lim? f ( x) ? f (a) ,在右端点 x ? b 处有 lim f ( x) ? f (b) ,就说函数 f (x) 在区 ?
x?a x ?b

间 [a, b] 内连续。 6、连续函数的性质: (1)如果函数 f (x) 在区间 [a, b] 内连续,那么 f (x) 在区间 [a, b] 上有最大值和最 小值; (2)如果函数 f ( x), g ( x) 在点 x ? x0 处连续,那么函数 f ( x) ? g ( x) 、 f ( x) ? g ( x) 、
f ( x) ( g ( x) ? 0) 在点 x ? x0 处都连续。 g ( x)

典型例题

Eg1、求下列极限 (1) lim
2x 2 x ?? x 2 ? x ? 1

(2) lim

4x 2 ? 2x ? 5 x ?0 2x ? 5

1 3 ? ) (3) lim( x ?1 1 ? x 1 ? x3

(4) lim ( x 2 ? x ? x)
x ???

? x ?1 Eg2、设 f ( x) ? ? ?2 ? x

(0 ? x ? 1) , (1)求 f (x) 在点 x ? 1 处的左、右极限,在 (1 ? x ? 3)

点 x ? 1 处, f (x) 的极限是否存在? (2) f (x) 在点 x ? 1 处是否连续? (3)求函数 f (x) 的连续区间; (4)求 lim f ( x ), lim f ( x ) 1
x? x?2 2

x 2 ? ax ? b ? 5 ,则 a, b 的值分别是_________________________; Eg3、若 lim 2 x ?3 x ? 2 x ? 3

实战训练:
1、 (06 江西) lim
x3 ? x 2 =______________; n ?? 2 x 2 ? x ? 1 a n ?1 ? ann ?1 =___________; n ?? a n ?1 ? 2b n

2、 重庆) (07 设正数 a, b 满足 lim( x 2 ? ax ? b) ? 4 则 lim
x ?2

a b ? ) ? 1 ,则 a, b 的值分别是_________________________; 3、若 lim( x ?1 1 ? x 1? x2

4、 (08 湖北) 已知 m ? N * , a, b ? R ,若 lim 5、 (08 湖南) lim
x ?1

(1 ? x) m ? a ? b ,则 a ? b =___________; x ?0 x

x ?1 =______________________; x ? 3x ? 4
2

6、 (08 江西) lim
x ?1

x?3 ?2 x ?1

=______________________;

x 2 ? 3x ? 2 7、 (06 北京) lim =______________________; x ? ?1 x2 ?1

8、 (06 广东) lim (
x ? ?2

4 1 ? ) =______________________; 2 2? x 4? x


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