当前位置:首页 >> 数学 >>

导数与极限专题


北京新航标教育株洲分校

导数与极限专题基础知识梳理 一.导数
1、导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 ?y =f (x 0 + ?x )-f(x 0 ) ,比值 化率,即
?y 叫做函数 y=f(x)在 x 0 到 x 0 + ?x 之间的平均变 ?x

? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = 。如果当 ?x ? 0 时, 有极限,我们就说函 ?x ?x ?x

数 y=f(x)在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处的导数,记作 f’ (x 0 )或 y’| x ? x0 。 即 f(x 0 )= lim 说明: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, 极限,就说函数在点 x 0 处不可导,或说无导数。 (2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可 以是零。 由导数的定义可知, 求函数 y=f (x) 在点 x 0 处的导数的步骤 (可由学生来归纳) : (1)求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ; (2)求平均变化率
? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ; ?x ?x ?y 。 ?x ?0 ?x ?y ?y 有极限。如果 不存在 ?x ?x

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ? x ? 0 ?x ?x

(3)取极限,得导数 f’(x 0 )= lim 2.导数的几何意义

函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) ) 处的切线的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的 斜率是 f’(x 0 ) 。相应地,切线方程为 y-y 0 =f/(x 0 ) (x-x 0 ) 。 3.几种常见函数的导数:
1

北京新航标教育株洲分校

① C? ? 0;
x x

② ? x ?? ? nx
n

n ?1

;

③ (sin x)? ? cos x ; ⑦ ? ln x ?? ? 1 ;
x

④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑧ ? l o g x ?? ? 1 log e . x
a a

⑤ (e )? ? e ; ⑥ (a )? ? a
x

x

ln a ;

4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v) ' ? u ' ? v ' . 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一 个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ' ? u ' v ? uv' . 若 C 为常数,则 (Cu) ' ? C 'u ? Cu ' ? 0 ? Cu ' ? Cu ' .即常数与函数的积的导数等于常 数乘以函数的导数: (Cu ) ' ? Cu ' . 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与
u ' v ? uv ' ?u? 分子的积,再除以分母的平方: ? ? ‘= (v ? 0) 。 v2 ?v?

形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导—— 回代。法则:y'| X = y'| U ·u'| X

二、极限
1.特殊数列的极限

?0 ? lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ? (1)
n

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
.

(2)

?0 ? ak n ? ak ?1n ? ? ? a0 ? at lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? ? b t t ?1 0 ? bk ?不存在 ?
k k ?1

(k ? t ) (k ? t ) (k ? t )
.

S ? lim
(3) 2.函数的极限定理
x ? x0

a1 1 ? q n 1? q

?

n ??

??

a1 n ?1 1 ? q ( S 无穷等比数列 a1q ? ( | q |? 1 )的和).

?

lim f ( x) ? a

lim f ( x) ? lim f ( x) ? a x?x ? x? x .
0 ? 0 ?

3.函数的夹逼性定理
2

北京新航标教育株洲分校 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ; (2) x ? x0 则 x ? x0

lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a
x ? x0

(常数),

lim f ( x) ? a

本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立. 5.函数极限的四则运算法则 若 x ? x0

.

lim f ( x) ? a

, x ? x0

lim g ( x) ? b

,则 ;

(1) x? x0 (2) x? x0

lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ?b lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ?b
;

(3)

x ? x0

lim

f ? x? a ? ?b ? 0? g ? x? b

.

6.数列极限的四则运算法则 若 n ??

lim an ? a, lim bn ? b
n ??

,则 ;

(1) n ?? (2) n ??

lim ? an ? bn ? ? a ? b lim ? an ? bn ? ? a ? b



an a ? ?b ? 0? n ?? b b n (3) lim
(4) n??

lim ? c ? an ? ? lim c ? lim an ? c ? a
n ?? n ??

( c 是常数).

三、导数应用 1.单调区间:一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导, 如果 f ' ( x ) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数; 如果 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数; 如果在某区间内恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数; 2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左 侧切线的斜率为正, 右侧为负; 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负, 右侧为正; 3.最值: 一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f ( x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。
3

北京新航标教育株洲分校

①求函数? ( x ) 在(a,b)内的极值; ②求函数? ( x ) 在区间端点的值?(a)、?(b); ③将函数? ( x ) 的各极值与?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的 是最小值。 4.定积分 (1)概念:设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…xn =b 把区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点ξ i(i =1,2,…n)作和式 In= ? f (ξ i)△x(其中△x 为小区间长度) ,把 n→∞即
i=1 n

△ x →0 时,和式 In 的极限叫做函数 f(x) 在区间 [a , b] 上的定积分,记作:

?

b

a

f ( x)dx ,即 ? f ( x)dx = lim ? f (ξ i)△x。
b a
n ?? i ?1

n

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函 数 f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式:

? 0dx =C;
?x
1
m

dx =

1 x m ?1 +C(m∈Q, m≠-1) ; m ?1

? x dx=ln x +C;
?e
x

dx = e x +C;

ax ? a dx = ln a +C;
x

? cos xdx =sinx+C;
。 ? sin xdx =-cosx+C(表中 C 均为常数) (2)定积分的性质 ① ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (k 为常数) ;
a a b b

② ? f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a a

b

b

b

③ ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a<c<b ) 。
a a c

b

c

b

(3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线 x=a,x=b(a<b) ,x 轴及一条曲线 y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲
4

北京新航标教育株洲分校

边梯的面积 S ? ? f ( x)dx 。
a

b

如果图形由曲线 y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设 f1(x)≥f2(x)≥0) ,及直线 x=a,

x = b ( a<b ) 围 成 , 那 么 所 求 图 形 的 面 积 S = S

曲 边 梯 形 AMNB

-S

曲 边 梯 形 DMNC



?

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx 。
a

b

5


赞助商链接
相关文章:
极限和导数拓展讲义
极限和导数拓展讲义_高中教育_教育专区。极限和导数本讲提示 本讲义编写的目的是对于高中物理中常用的微积分知识做一个相对体系的介绍, 并指导 同学在实际的物理...
考研数学三极限与导数专题重点解析
极限与导数专题重点解析 1,极限: (1)极限计算的常用方法:四则运算、洛必达法则、等价无穷小代 换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、利用定积分求极限、单调 ...
高数-导数和极限的关系
高数-导数和极限的关系_数学_自然科学_专业资料。导函数简称导数,极限是导数前提...专题推荐 2014下半年教师资格...专题 2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师...
《高等数学》(极限、导数)综合练习
《高等数学》(极限导数)综合练习_理学_高等教育_教育专区。慈山分院《高等数学》 (第一至三章)综合练习 《高等数学》综合练习 二、求下列函数极限 1、 lim x...
高等数学极限与导数测试题
高等数学极限与导数测试题(时间:120 分钟) ?? 3 ? x? 1 2 6 1. 求极限 lim ?? x ? x ? ? e x ? x ? 1 ? . x ?? 2? ?? ? ? n 2 ...
14第十四章 极限与导数【讲义】
第十四章 极限与导数 一、 基础知识 1.极限定义: (1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε ,总存在正数 m,当 n>m 且 n∈N 时,恒有|un-A|< ε 成立...
高三数学专题测试(11):极限与导数、复数(理)
高三数学专题测试(11):极限与导数、复数(理)_数学_高中教育_教育专区。高三数学专题测试(11):极限与导数、复数(理)高三数学专题测试第十一单元一、选择题: ⒈ ...
云南省高考数学二轮专题复习 极限与导数
云南省高考数学二轮专题复习 极限与导数_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。极限与导数 ? 高考风向标 数学归纳法、数学归纳法应用举例,数列的极限.函数的极限,...
第64讲_极限和导数
第64讲_极限和导数_天文/地理_自然科学_专业资料。极限和导数 相关知识 1.导数的有关概念。 (1)定义: 函数 y=f(x)的导数 f (x),就是当 ?x ? 0 时...
极限与导数
专题推荐 北师大二附理科学霸高中... 东北师大附中理科学霸高... 西安交大附中...' 极限与导数 极限与导数 一.知识 ⑴导数定义:f(x)在点 x0 处的导数记作...
更多相关标签: