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高二上寒假作业二:不等式、数列、导数


高二上寒假作业二:不等式、数列、导数
班级 学号 姓名

一、选择题:
1.已知集合 M ? ? x |1 ? x ? 0? , N ? ? x |1 ? x ? 0? ,则 M ? N ? A. ? x | ?1 ? x ? 1? 2.设 B. ? x | ?1 ? x ? 1? C. ? x | x ? 1? ( ) D. e D. ?

x | x ? ?1?

f ( x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ?
2

A. e

B. ln 2

C.

ln 2 2

3.不等式 x ? 2 y ? 5 ? 0 表示的区域在直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的 A.右上方
2

B.右下方

C.左上方

D.左下方

4.不等式 x ? 2 x ? 5 ? 2 x 的解集为 A. x x ? ?1或x ? 5

?

?

B. x x ? ?1或x ? 5

?

?

C. x ? 1 ? x ? 5

?

?

D. x ?1 ? x ? 5

?

?

5.某企业今年产值为 27 万元,产值年平均增长率为 A. 64 万元 B. 48 万元

1 ,那么经过 3 年,年产值将达到 3 85 C. 29 万元 D. 万元 3

6.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c =2a,则 cosB = A.

2 4

B.

3 2

C.

3 4

D.

2 3

7.等比数列的前 n 项, 前 2 n 项,前 3 n 项的和分别为 A, B, C , 则 A. A ? B ? C 8.通项公式为 an ? A.7 B. B ? AC
2

C. ( A ? B) ? C ? B

2

D. A ? B ? A( B ? C )
2 2

2 9 的数列 ?a n ? 的前 n 项和为 , 则项数 n 为 n(n ? 1) 5
B.8 C. 9 D.10

2 9.若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? x ?

? ?

1 1? ? x ? ? ,则 a ? b ? 3 2?
C. 10 D. ?10

A. 14

B. ?14

10.右图给出一个“直角三角形数阵” :满足每一列成等差数列;从第三行起,每一 行的数成等比数列, 且每一行的公比相等, 记第 i 行第 j 列的数为 aij (i ? j , i, j ? N ) , 则 86 =(
?

a


第 1 页 共 6 页

A.

1 16

B.

1 8

C.

1 4

D.

1 2

二、填空题:
11.数列 ?a n ?中, a1 ? 1, an ?1 ?

1 ? 1 ,则 a 4 ? an




12.不等式

2x ? 5 ? 1 的解集为 1? x

13.已知等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 14.若对一切 x ? R ,不等式 4 ? (a ? 1)2 ? 1 ? 0 恒成立,则 a 的取值范围是
x x

; .

三、解答题:
15.已知抛物线 y ? ax ? bx ? 9 在点 (2, ?1) 处的切线的斜率为 1,求 a , b 的值.
2

16.已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a3 ? ?3 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 的前 k 项和 Sk ? ?35 ,求 k 的值.

第 2 页 共 6 页

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 17.不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , ?x ? y ? 2 ?
(Ⅰ)画出不等式组表示的平面区域; (Ⅱ)求 z ? x ? y 的最大值和最小值

18. 数列 ? an ? 的前 n 项和记为 S n , a1 ? 1, an ?1 ? 2 S n ? 1? n ? 1? . ( 14') (Ⅰ)求 a2 , a3 的值; (Ⅱ)证明数列 ? an ? 是等比数列,写出数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅲ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn

第 3 页 共 6 页

19.已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间
3 2

1 3 (??,0), (1,??) 上是减函数,又 f ?( ) ? . 2 2 (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f ( x) ≤x 成立,求 m 的取值范围.

20.设数列 ? an ?



?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 6, a2 ? b2 ? 4, a3 ? b3 ? 3

,且数列

{an ?1 ? an }(n ? N * ) 是等差数列,数列 {bn ? 2}(n ? N * ) 是等比数列
(Ⅰ)求数列

?a n ?和 ?bn ? 的通项公式;
*

(Ⅱ)是否存在 k ? N ,使 a k ? bk ? ? 0, ? ,若存在,求出 k ,若不存在,说明理由.

? ?

1? 2?

第 4 页 共 6 页

高二上寒假作业二:不等式、数列、导数
一、 选择题: (每题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 A 6 C 7 D

参 考 答 案
8 C 9 D 10 A

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分)

5 11. ; 3
三、解答题:

12.

? x | x ? 1或x ? 2? ;

13. 7 ;

14、 a ? ?1 .

15.解:∵ y ? ax 2 ? bx ? 9 分别过 (2, ?1) 点 (1) 4a ? 2 b? 9 ?? 1 又 y? ? 2ax ? b ∴ y? | x ? 2 ? 4 a ? b ? 1 (2) 由(1) 、 (2)可得, a ? 3 , b ? ?11. 16.解: (1)? a3 ? a1 ? 2d
(2)? Sk ? ?35 ? ∴

2d ? ? 4 d , ?? 2

∴ an ? ?2n ? 3 . 故 k ? 7.

(6?) (6?)

k (?2k ? 3) 2 ∴ k ? 2k ? 35 ? 0 ∴ k ? 7或k ? ?5 2

?) 17.解: (Ⅰ)略. ( 6
∴ z A ? 2 ? 0 ? 2,

(Ⅱ)平面区域三顶点的坐标为: A(2,0), B(0, 2), C (?2, ?2) ∴ zman ? 2, zmin ? ?2 .

zB ? 0 ? 2 ? ? 2 , zC ? ?2 ? 2 ? 0,

(8?)

18.解: (Ⅰ) a2 ? 3, a3 ? 9 .

(3?)

(Ⅱ)∵ an ?1 ? 2Sn ? 1 ① ∴ an ? 2Sn?1 ? 1 ② , ①--②得: an ?1 ? an ? 2( Sn ? Sn ?1 ) ? 2an ∴

an ?1 ? 3 , ∴ 数列 ?an ? 是公比为 q ? 3 的等比数列; ∴ an
Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 32 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ?2 ? n ? 3n ?1 3Tn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? ????? ? (n ? 1) ? 3n ?1 ? n ? 3n

an ? 1? 3n ?1 ? 3n ?1 .
① ②

(5?)

(Ⅲ)∵ 于是

①-②得:

?2Tn ? 1 ? 3 ? 32 ? ?? ? 3n ?1 ? n ? 3n ?

1? (1 ? 3n ) ? n ? 3n 1? 3



1 Tn ? [(2n ? 1) ? 3n ? 1] . 4

(6?)

2 19.解: (1) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 , ?c ? 0, ?c ? 0, ? 2 即? 解得 ? 3 ,∴ f ?( x) ? 3ax ? 3ax , 3 a ? 2 b ? c ? 0 , b ? ? a ? ? ? 2

第 5 页 共 6 页

? 1 ? 3a 3a 3 ? ? ,∴ a ? ?2 ,∴ f ( x) ? ?2 x3 ? 3x 2 . ?? 2 2 ?2? 4 3 2 (2)令 f ( x) ? x ,即 ?2 x ? 3x ? x ? 0 ,∴ x(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 , 1 1 ∴ 0 ? x ? 或 x ? 1.又 f ( x) ? x 在区间 ? 0,m? 上恒成立,∴ 0 ? m ? . 2 2
∴ f ??

20.解: (Ⅰ)由题意得: an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? (an ? an ?1 ) ? 6 ? (?2) ? (?1) ? 0 ? ? ? (n ? 4)
? 6?

?(?2) ? (n ? 4)?(n ? 1) = n 2 ? 7n ? 18
2
2



(4?)

又由已知 b1 ? 2 ? 4, b2 ? 2 ? 2 得:公比 q ? ∴

1 1 1 bn ? 2 ? (b1 ? 2)( ) n ?1 ? 4 ? ( ) n ?1 , 2 2 2

1 bn ? 2 ? 8 ? ( n). 2

(4?)

(Ⅱ) f (k ) ? a k ? bk ? ? ∴

k 2 k ?1 2 7 ? ? ?1? ? ? 7 ? 49 ? ?1? k ? k ? 9 ? ? ? 2 ? 8 ? ? ? ? ? 1 ?? k ? ? ? 8 ? ? ? ? ? ? ?7, 2 2 2 2 4 ?2 ? ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? ? ?

当 k ? 4 时, f (k ) 是增函数. 又? f (4) ?

1 1 , 所以,当 k ? 4 时 f (k ) ? , 2 2
?

又? f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 ,所以不存在 k ? N ,使 f ( k ) ? ? 0, ? .

? ?

1? 2?

(6?)

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