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概率练习三及答案


练习三 一、选择题 1.离散型随机变量 X 的分布为 P{X=k}=bλk (k=1,2,…), 其 b>0, 1<λ<1, 则______成立 (A) λ=b?1?1 2.已知 P{X=k}= (A) e?λ (B) λ=b?1+1
C ?1 ? k k!

(C) λ=(1?b)?1

(D) λ=(1+b)?1

(k=1,2,...),其中 λ>0,则 C=_________ (C) e?λ ?1 (D) eλ ?1

(B) eλ

3.以下数列中,_________可以成为某一离散型随机变量的分布律
2? (A) ? ? ? ?3?
k ?1

, k=1,2,…
k ?1

1? (B) ? ? ? , k=1,2,… ?2?

k

5 2? (C) ? ? ? ? , k=1,2,… 3? 3?

(D) , , , ,...

1 1 1 1 2 2 2 2

4.为使?

? C , | x |? 1 2 (x)= ? 成为某个随机变量的概率密度,则 C 应满 ? 1? x ? | x |? 1 ?0,

足_________ (A) ??? (C) ?0
1 ??

C dx =1 1? x2 C dx =1 1? x2

(B) ??1 (D) ??1
?

1

C dx =1 1? x2 C dx =1 1? x2

二、填空题 1.已知随机变量 X 的分布函数为 F(x)= 1 ? 1 arctanx .则
2

?

(1) P{?1≤X≤1}=___________ (2) X 的概率密度函数 f(x)=_______________ 2.设 f(x), g(x), h(x)是三个概率密度函数,对于常数?≥0,?≥0,?≥0, 要

使得? f (x)+ ? g(x)+? h(x)也是概率密度函数,则必有?+?+? =________ 三、计算题 1.已知 15 件同类型的零件中有两件次品.在其中取 3 次,每次取 1 件, 作不放回抽样.以?表示取出次品的件数. 求(1)?的分布律 (2)?的分布 函数
? A , 2 2.连续型随机变量?的概率密度为 f(x)= ? ? 1? x ? ?0, | x |? 1 | x |? 1

,求: (1)系数 A

(2) ?落在 (? , ) 内的概率 (3) ?的分布函数
当x ? a ?1, ? ? 3.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= ? A ? B arcsin x , 当 ? a ? x ? a , (1)问 a ? ? 当x ? ?a ?0,

1 1 2 2

当 A 和 B 为何值时,分布函数 F(x)为连续函数? (2)求随机变量 X 落在
a a ( ? , ) 内的概率 2 2

(3)求随机变量 X 的概率密度函数

一、 DDBB 二、 1. 1/2 1/[?(1+x2)] 三、1. ?的所有可能值为 0,1,2
3 C13 22 P{?=0}= 3 ? ; C15 35

2. 1

1 2 C2 C 12 P{?=1}= 3 13 ? ; 35 C15

2 1 C2 C 1 P{?=2}= 3 13 ? 35 C15

故?的分布律为:

?
P

0

1

2

22/35 12/35 1/35

(2)F(x)=P{?≤x} 当 x<0 时,{?≤x}为不可能事件,得 F(x)=P{?≤x}=0 当 0≤x<1 时,{?≤x}={?=0},得 F(x)=P{?≤x}=P{?=0}=22/35 当 1≤x<2 时,{?≤x}={?=0}∪{?=1},又{?=0}与{?=1}是两互斥事件, 得 F(x)=P{?≤x}=P{?=0}+P{?=1}=22/35+12/35=34/35 当 x≥2 时,{?≤x}为必然事件,得 F(x)=P{?≤x}=1 综合即得 2.(1) ??? f ( x)dx =1? ??1 (2) P(? ? ? ? ) ? ? 21
?
??
1

A dx =1?A?=1?A= 1 ? 1? x2

1 2

1 2

1

1

2

? 1? x2

dx ?

1 3

(3) F(x)= ??? f (t )dt 当 x<?1 时, F(x)= ???0dt =0 当?1≤x≤1 时, F(x)= ??? 0dt ? ??1 当 x>1 时, F(x)= ??? 0dt ? ??1 综合即得 3. (1) lim F ( x) ? lim ( A ? B arcsin x ) ? A ? ? B =F(a)=1
x?a ? x?a ?
?1 1

x

x

?1

x

1 dt ? 1 ? 1 arcsin x 2 2 ? ? 1? x

x 1 dt ? ? 0dt =1 2 1 ? 1? x

a

2

lim ? F ( x) ? A ? ? B =F(?a)=0, 则得: A=1/2, B=1/? x?( ? a ) 2 (2) P{? a ? X ? a} ? F ( a ) ? F (? a ) ? ( 1 ? 1 arcsin 1 ) ? ( 1 ? 1 arcsin 1 ) ? 1 2 2 2 2 2 ? 2 2 ? 2 3
1 ? , ? 2 (3) f(x)=F?(x)= ?? a ? x 2 ? ?0, | x |? a 其它


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