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2014高考数学(文)二轮专题突破课件(浙江专版)第2部分 专题2 第1讲 选择题解题5技法


第一讲

选择题解题 5 技法

高考数学选择题主要考查考生对基础知识的理解程度、 基本技能的熟练程度以及基本运算的准确程度等方面,注重 多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,能充分 考查考生灵活应用基础知识解决数学问题的能力.

选择题属于“小灵通”题, 其解题过程“不讲道理”, 其基本解 答策略是: 充分利用题干和选项所提供的信息作出判断. 先定性后定 量,先特殊后推理;先间接后直接,先排除后求解.解题时应仔细审 题、深入分析、正确推演、谨防疏漏. 解答选择题的常用方法主要是直接法和间接法两大类. 直接法是 解答选择题最基本、最常用的方法,但高考的题量较大,如果所有选 择题都用直接法解答,不但时间不允许,甚至有些题目根本无法解 答.因此,我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧.总的 来说,选择题属于小题,解题的常用原则是:小题巧解.

排 除 法
在解答某些选择题时, 可以根据选项的特征, 通过灵活赋 值,利用一些特殊的对象,如数、点等代入选项进行验证,根 据选择题的特征——只有一个选项符合题目要求这一信息, 可 以间接地得到符合题目要求的选项.

[例1] 已知全集U=R,A={x|x2-2x-3>0},B={x|2<x<4}, 那么集合B∩(?UA)= A.{x|-1≤x≤4} C.{x|2≤x<3}
[思维流程]
比较选项 → 抛同求异 → 定特值0,2 → 检验排除→ 定结果

( B.{x|2<x≤3} D.{x|-1<x<4}

)

[解析]

选项A与选项D的不同之处在于元素-1、4是否属于

该集合;选项B与选项C的区别在于2与3是否属于该集合;选项 A、D与选项B、C的区别可通过检验0是否属于该集合来判断. 因为0?B,所以0?B∩(?UA),故可排除A、D; 因为2?B,所以2?B∩(?UA),故可排除C.
[答案] B

总结 ——————————规律· —————————————

排除法的使用技巧 排除法适用于不易直接求解的选择题.当题目中的条件多 于一个时,先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否 定, 再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾,这样逐步排 除(如本例通过二次取值排除),直到得出正确的选项.

?log2x,x>0, ? 1.设函数f(x)=?log 1 ?-x?,x<0, 若f(a)>f(-a),则实数a的 ? 2 ? 取值范围是 ( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

解析:取 a=2 验证满足题意,排除 A、D;取 a=-2 验证不 满足题意,排除 B. 答案:C

2.函数y=f(x)的图像如图所示,给出以下命题: ①函数y=f(x)的定义域是[-1,5]; ②函数y=f(x)的值域是(-∞,0]∪[2,4]; ③函数y=f(x)在定义域内是增函数; ④函数y=f(x)在定义域内的导数f′(x)>0. 其中正确命题的序号是
A.①② C.②③ B.①③ D.②④

(

)

解析:y=f(x)的定义域中含有x=3,①②正确;函数y=f(x)在 定义域内不是增函数,③④错误. 答案:A

特 值 法
特值法(也称特例法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置) 代替题设普遍条件,得出特殊结论,再对各个选项进行检验, 从而做出正确选择的方法,常用的特值法有:特殊数值、特殊 数列、特殊函数、特殊图形、特殊角和特殊位置等.

[例2] 图像是

若方程f(x)-2=0在(-∞,0)内有解,则y=f(x)的 ( )

[思维流程]
转化已知函数→ 观察图像,取特殊值 → 依据函数值排 除错误选项

[解析]

由f(x)-2=0,得f(x)=2.由图像可知对于A,当

f(x)=2时,x=0,不成立;对于B,当f(x)=2时,无解;对 于C,当f(x)=2时,x>0,不成立.
[答案] D

总结 ——————————规律· —————————————
用特值法解题应注意三点 (1)所选取的特例一定要简单,且符合题设条件; (2)特殊只能否定一般,不能肯定一般; (3)当选取某一特例出现两个或两个以上的选项都正确 时,这时要根据题设要求选择另外的特例代入检验,直到找 到正确选项为止.

3.若a<0,0<b<1,则 A.a>ab>ab2 C.ab>a>ab2 B.ab2>ab>a D.ab>ab2>a

(

)

1 1 2 解析:令a=-2,b=2,则ab=-1,ab =-2.故ab2>ab>a.
答案:B

4.设?(x),g(x),h(x)是R上的任意实值函数,如下定义两个 函数(??g)(x)和(?· g)(x).对任意x∈R,(??g)(x)=?(g(x)), (?· g)(x)=?(x)g(x),则下列等式恒成立的是 A.((??g)· h)(x)=((?· h)?(g· h))(x) B.((?· g)?h)(x)=((??h)· (g?h))(x) C.((??g)?h)(x)=((??h)?(g?h))(x) D.((?· h)(x)=((?· (g· g)· h)· h))(x) ( )

解析:取 ?(x)=-x,g(x)=x2,h(x)=x,则 ((??g)· h)(x)=(-x2)· (x)=-x3,((?· h)?(g· h))(x)=(-x2)?(x3)= -x6,A 错;((?· g)?h)(x)=(-x3)?(x)=-x3,((??h)· (g?h))(x)= (-x)· 2)=-x3,B 对;同理可验证 C、D 错. (x
答案:B

图 解 法
图解法就是将所研究的问题转化为函数的图像或借助 代数式的几何意义,作出相应的几何图形,综合几何图形 的直观特征得到正确选项的一种解题方法,其实质就是数 形结合思想的运用.

[例 3]

若直角坐标平面内的两点 P,Q 满足条件:①P,

Q 都在函数 y=f(x)的图像上;②P,Q 关于原点对称,则称点 对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[P,Q] 与 [Q , P] 看 作 同 一 对 “ 友 好 点 对 ”) . 已 知 函 数 f(x) =
?log2x?x>0?, ? ? ?-x2-4x?x≤0?, ?

则此函数的“友好点对”有 B.1 对 D.3 对

(

)

A.0 对 C.2 对

[思维流程]

[解析]

根据题意,将函数 f(x)=

-x2-4x(x≤0)的图像绕原点旋转 180° 后,得到的图像所对应的解析式为 y= x2-4x(x≥0),再作出函数 y=log2x(x>0) 的图像,如图所示.由题意,知函数 y= x2-4x(x>0)的图像与函数 f(x)=log2x(x>0)的图像的交点个数即为 “友好点对”的对数.由图可知它们的图像交点有 2 个,所以此 函数的“友好点对”有 2 对.

[答案]

C

总结 ——————————规律· —————————————
用图解法解题应注意的问题 图解法是依靠图形的直观性进行分析的,用这种方法解题 比直接计算求解更能抓住问题的实质, 并能迅速地得到结果. 不 过运用图解法解题一定要对有关的函数图像、 几何图形较熟悉, 否则错误的图像反而会导致错误的选择.在本例中,如果不能 准确画出分段函数的图像,那么就很难直接根据函数的图像判 断出“友好点对”的对数.

5.已知实数 a,b 满足等式 2 011a=2 012b,下列五个关系式: ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可 能成立的关系式有 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 ( )

解析:设 2 011a=2 012b=t,如图所示,由函数图像,可得 (1)若 t>1,则有 a>b>0; (2)若 t=1,则有 a=b=0; (3)若 0<t<1,则有 a<b<0. 故①②⑤可能成立,而③④不可能成立.
答案:B

6.函数 y=|log 1 x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间
2

[a,b]的长度 b-a 的最小值是 A.2 3 B.2

(

)

3 C.3 D.4 解析:作出函数 y=|log 1 x|的图像,如图所
2

示,由 y=0,解得 x=1,由 y=2,解得 1 1 3 x=4 或 x=4.所以区间[a,b]的长度 b-a 的最小值为 1-4=4.

答案:D

正难则反法
在解选择题时,有时从正面求解比较困难,可以转化 为其反面的问题来解决,即将问题转化为其对立事件来解 决,实际上就是补集思想的应用.

[例 4] 是

若函数 y=ex+mx 有极值,则实数 m 的取值范围 ( )

A.(0,+∞) C.(1,+∞)
[思维流程]

B.(-∞,0) D.(-∞,1)

寻找问题 由y=ex+mx无 求上述m取 求得 → → → 的对立面 极值求m 结论 值的补集

[解析]

y′=(ex+mx)′=ex+m,函数 y=ex+mx

没有极值的充要条件是函数在 R 上为单调函数, y′= 即 ex+m≥0(或≤0)恒成立,而 ex≥0,故当 m≥0 时,函数 y=ex+mx 在 R 上为单调递增函数,不存在极值,所以函 数存在极值的条件是 m<0.
[答案] B

—————————规律· 总结—————————————
利用正难则反法解决问题的关键 应用正难则反法解决问题的关键在于准确转化.在本例 中, 根据函数有极值得到函数不单调, 但从正面无法直接判断, 所以可以考虑其反面,即函数在 R 上单调,其导函数的值恒大 于 0 或恒小于 0.

7.设集合 A={x|a-1<x<a+1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}, 若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围是 A.{a|0<a<6} C.{a|a≤0 或 a≥6} B.{a|a<2 或 a>4} D.{a|2≤a≤4} ( )

解析:当 A∩B=?时,由图可知 a+1≤1 或 a-1≥5,所以 a≤0 或 a≥6.故当 A∩B≠?时,0<a<6.

答案:A

估 算 法

由于选择题提供了唯一正确的选项,解答又无需过程,因 此,有些题目不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值 界限作出适当的估计, 便能作出正确的判断, 这就是估算法. 估 算法往往可以减少运算量,但是加强了思维的层次.

[例 5]

? m-3 4-2m?π θ ? <θ<π?,则 tan =( 已知 sin θ= ,cos θ= 2 ? m+5 m+5 ?2

)

m-3 A. 9-m 1 C.-5

m-3 B. |9-m| D.5

[思维流程]

[解析]

由于受条件 sin2θ+cos2θ=1 的制约,m 为一确定

θ π π θ π 的值,进而推知 tan2也为一确定的值,又 2<θ<π,所以4<2<2, θ 故 tan2>1.
[答案] D

总结 ——————————规律· —————————————

估算法的应用技巧 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求 解的方法.当题目从正面解析比较麻烦,特值法又无法确定正 确的选项时,如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图像 的变化等问题,常用此种方法确定选项.

?x≤0, ? 8.若 A 为不等式组?y≥0, ?y-x≤2 ?

表示的平面区域,则当 a 从-2

连续变化到 1 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的 面积为 3 A.4 7 C.4 B.1 D.2 ( )

解析:如图知区域的面积是△OAB 去掉 一个小直角三角形.阴影部分面积比 1 1 大,比 S△OAB=2×2×2=2 小,故选 C 项.
答案:C

1.选择题设置特点精巧易错 近年来,高考选择题减少了繁琐的运算,着力考查学生的 逻辑思维与直觉思维能力,考查学生观察、分析、比较、选择 简捷运算方法的能力,试题具有设置精巧、运算量不大、试题 破解时易错的特点,着力考查学生的解题能力.

2.选择题的解题策略灵活多变 选择题的解题策略需要因题而变,对于容易题和大部分中 等难度的题,可采取直接法;与几何图形有关的题,尽可能先 画出图形,用数形结合的方法或者几何法;难度较大或一时找 不到思路的题,常使用一些技巧,采用非常规方法的同时注意 多用图,能不算则不要算;实在不会的,猜一下,不要留空.温 馨提示:小题小做,小题巧做,切忌小题大做.

3.选择题的破解技巧多样简捷 选择题的解题方法较多,解答选择题的首要标准是准确,其次 要求是快速,力求做到又准又快.解数学选择题有两类基本技巧: 一是直接法;二是间接法.直接法:指充分利用题干和选项两方面 提供的信息,快速、准确地作出判断,是解选择题的基本策略;间 接法:解选择题时通过注意到通常各类常规题的解题思想来指导选 择题的解答,或根据选择题的特殊性,寻找存在着若干异于常规题 的特殊解法.一般在解选择题时应先考虑除直接法外的其它方法, 充分利用题干和选项两方面提供的信息,快速、准确地作出判断, 是解选择题的基本策略.

选择题技法专练


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