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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-3)练习:1.2 第2课时]


第一章
一、选择题

1.2

第 2 课时

2 2 2 1.(2013· 宝鸡中学高二期末)C2 2+C3+C4+…+C16等于(

)

A.C2 15 C.C3 17 [答案] C [解析]
3 +C2 16=C17.

B.C3 16 D.C4 17

2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 原式=C3 3+C3+C4+…+C16=C4+C4+…+C16=C5+C5+…+C16=…= C16

2.以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( A.70 个 C.58 个 [答案] C B.64 个 D.52 个

)

[解析] 四个顶点共面的情况有 6 个表面和 6 个对角面共 12 个, ∴共有四面体 C4 8-12=58 个.故选 C. 3.(2014· 秦安县西川中学高二期中)某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数 字组成,其中 4 个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有(
2 4 A.(C1 26) A10个 1 2 C.(C26 ) 104 个 4 B.A2 26A10个 4 D.A2 2610 个

)

[答案] A
2 [解析] ∵前两位英文字母可以重复,∴有(C1 26) 种排法,又∵后四位数字互不相同, 1 2 4 ∴有 A4 10种排法,由分步乘法计数原理知,共有不同牌照号码(C26) A10个.

4.6 人站成一排,若调换其中的三个人的位置,有多少种不同的换法( A.40 C.120 [答案] A B.60 D.240

)

[解析] 先从 6 人中选取 3 人确定调换他们的位置,而这三人的位置全换只有 2 种不同 方法,故共有 2C3 6=40 种.故选 A. 5.若从 1,2,3,…,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法 共有( ) B.63 种 D.66 种

A.60 种 C.65 种 [答案] D

[解析]

本题考查了排列与组合的相关知识.4 个数和为偶数,可分为三类.四个奇数

4 2 2 4 4 2 2 C5 ,四个偶数 C4 4,二奇二偶,C5C4.共有 C5+C4+C5C4=66 种不同取法.分类讨论思想在排

列组合题目中应用广泛. 6.(2014· 景德镇市高二质检、河南安阳中学期中)12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方 法的总数是(
2 A.C2 8A3 2 C.C2 8A6

)
6 B.C2 8A6 2 D.C2 8A5

[答案] C [解析] 第一步从后排 8 人中抽 2 人有 C2 8种抽取方法,第二步前排共有 6 个位置,先从 中选取 2 个位置排上抽取的 2 人,有 A2 6种排法,最后把前排原 4 人按原顺序排在其他 4 个
2 位置上,只有 1 种安排方法,∴共有 C2 8A6种排法.

7.在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品,至少有 1 件次品的不同取法的 种数是( )
2 B.C1 6C99 3 D.A3 100-A94

2 A.C1 6C94 3 C.C3 100-C94

[答案] C
3 [解析] 从 100 件产品中抽取 3 件的取法数为 C3 100,其中全为正品的取法数为 C94,∴ 3 共有不同取法为 C3 100-C94.故选 C.

二、填空题 8.从一组学生中选出 4 名学生当代表的选法种数为 A,从这组学生中选出 2 人担任正、 B 2 副组长的选法种数为 B,若 = ,则这组学生共有________人. A 13 [答案] 15 A2 2 n [解析] 设有学生 n 人,则 4= ,解之得 n=15. Cn 13 9.某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节 目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 ________种. [答案] 42
4 3 [解析] 若甲在第一位有 A4 种方法;若甲在第二位有 C1 3A3=18 种方法,故共有 18+24

=42 种方法. 三、解答题 10.有 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内: (1)共有几种放法;

(2)恰有 1 个空盒,有几种放法; (3)恰有 2 个盒子不放球,有几种放法. [解析] (1)由分步乘法计数原理可知,共有 44=256 种放法. (2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起,有 C2 4种不同的取法,再把取出的两个小球与另外 2 个小球看作三个,并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里,有 A3 4种不同的放法.根据分步
3 乘法计数原理,共有 C2 4A4=144 种不同的放法.

(3)恰有 2 个盒子不放球,也就是把 4 个不同的小球只放入 2 个盒子中,有两类放法:
3 第一类,1 个盒子放 3 个小球,1 个盒子放 1 个小球,先把小球分组,有 C4 种,再放到 2 个 3 2 2 2 盒子中有 A2 4种放法,共有 C4A4种放法;第二类,2 个盒子中各放 2 个小球有 C4C4种放法, 2 2 2 故恰有 2 个盒子不放球的方法共有 C3 4A4+C4C4=84 种.

一、选择题 1.圆周上有 12 个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点的个数最多是 ( ) A.A4 12
2 C.C2 12C12 2 B.A2 12A12

D.C4 12

[答案] D [解析] 圆周上每 4 个点组成一个四边形,其对角线在圆内有一个交点.∴交点最多为
4 C12 个.故选 D.

2.(2014· 大纲全国理,5)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医 生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( A.60 种 C.75 种 [答案] C [解析] 本题考查了分步计数原理和组合的运算,从 6 名男医生中选 2 人有 C2 6=15 种 选法,从 5 名女医生选 1 人有 C1 5=5 种选法,所以由分步乘法计数原理可知共有 15×5=75 种不同的选法. 3.为促进城乡教育均衡发展,某学校将 2 名女教师,4 名男教师分成 2 个小组,分别 安排到甲、乙两地参加城乡交流活动,若每个小组由 1 名女教师和 2 名男教师组成,不同的 安排方案共有( A.12 种 C.9 种 [答案] A [解析] 不同的安排方案共有 C1 C1 C2 C2 2· 1· 4· 2=12 种. ) B.24 种 D.8 种 ) B.70 种 D.150 种

二、填空题 4. n 个不同的球放入 n 个不同的盒子中, 如果恰好有 1 个盒子是空的, 则共有________ 种不同的方法.
n [答案] C2 nAn
-1

[解析] 有一个盒子中放 2 个球, 先选出 2 球有 C2 然后将 2 个球视作一个整体, n种选法, 连同其余的 n-2 个球共有 n-1 个, 从 n 个不同盒子中选出 n-1 个, 放入这 n-1 个不同的
1 2 n 1 球有 An n 种放法,∴共有 CnAn 种.
- -

5.有 6 名学生,其中有 3 名会唱歌,2 名会跳舞,1 名既会唱歌也会跳舞.现在从中选 出 2 名会唱歌的,1 名会跳舞的去参加文艺演出,则共有选法________种. [答案] 15
1 1 [解析] C2 C1 C2+C2 3· 2+C3· 3=15 种.

三、解答题 6.一个口袋里装有 7 个白球和 2 个红球,从口袋中任取 5 个球. (1)共有多少种不同的取法; (2)恰有 1 个为红球,共有多少种取法?
4 [解析] (1)从口袋里的 9 个球中任取 5 个球,不同的取法为 C5 9=C9=126(种);

(2)可分两步完成,首先从 7 个白球中任取 4 个白球,有 C4 7种取法,然后从 2 个红球中
1 4 任取 1 个红球共有 C1 C7=70 种取法. 2种取法,∴共有 C2· 4 3 7.解方程:A2 x+1=140Ax .

[解析] 根据原方程,x(x∈N+)应满足
? ?2x+1≥4, ? 解得 x≥3. ?x≥3, ?

根据排列数公式,原方程化为 (2x+1)· 2x· (2x-1)(2x-2)=140x· (x-1)· (x-2), ∵x≥3,两边同除以 4x(x-1),得 (2x+1)(2x-1)=35(x-2), 即 4x2-35x+69=0, 23 解得 x=3 或 x= (因 x 为整数,应舍去). 4 ∴原方程的解为 x=3. 8.如图所示,在以 AB 为直径的半圆周上,有异于 A、B 的六个点 C1、C2、C3、C4、 C5、C6,直径 AB 上有异于 A、B 的四个点 D1、D2、D3、D4.

问: (1)以这 10 个点中的 3 个点为顶点作三角形可作多少个?其中含 C1 点的有多少个? (2)以图中的 12 个点(包括 A、B)中的 4 个为顶点,可作出多少个四边形? [解析] (1)可分三种情况处理: ①C1、C2、…、C6 这六个点中任取三点可构成一个三角形. ②C1、C2、…、C6 中任取一点,D1、D2、D3、D4 中任取两点可构成一个三角形. ③C1、C2、…、C6 中任取两点,D1、D2、D3、D4 中任取一点可构成一个三角形.
3 1 2 C6 +C6 · C4+C2 C14=116 个. 6·

其中以 C1 为顶点的三角形有
2 1 1 C5 +C5 · C4+C2 4=36 个;

(2)构成一个四边形,需要四个点,且无三点共线.
4 3 1 C6 +C6 · C6+C2 C2 6· 6=360 个.


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