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高中数学(北师大版·必修5)配套练习:1.4数列在日常经济生活中的应用


第一章

§4

一、选择题 1.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足 Sn = n · (21n-n2-5)(n=1,2,…,12).按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 万件的月份是( 90 A.5 月、6 月 C.7 月、8 月 [答案] C n-1 n [解析] 设第 n

个月份的需求量超过 1.5 万件.则 Sn-Sn-1= (21n-n2-5)- [21(n-1)-(n-1)2 90 90 -5]>1.5, 化简整理,得 n2-15n+54<0,即 6<n<9.∴应选 C. 2.通过测量知道,温度每降低 6℃,某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下 34℃时,该电子 元件的电子数目为 3 个,则在室温 27℃时,该元件的电子数目接近( A.860 个 C.3072 个 [答案] C 61 1 [解析] 由题设知,该元件的电子数目变化为等比数列,且 a1=3,q=2,由 27-(-34)=61, =10 , 6 6 可得,a11=3· 210=3072,故选 C. 3.一个卷筒纸,其内圆直径为 4cm,外圆直径为 12cm,一共卷 60 层,若把各层都视为一个同心圆, π=3.14,则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)( A.14m C.16m [答案] B [ 解析 ] 纸的厚度相同,且各层同心圆直径成等差数列,则 l = πd1 + πd2 + … + πd60 = 60π· 4+12 = 2 ) B.1730 个 D.3900 个 ) B.6 月、7 月 D.8 月、9 月 )

B.15m D.17m

480×3.14=1507.2(cm)≈15m,故选 B. 4.现存入银行 8 万元,年利率为 2.50%,若采用 1 年期自动转存业务,则 5 年末的本利和是________ 万元.( ) B.8×1.0254 D.8×1.0256

A.8×1.0253 C.8×1.0255 [答案] C

[解析] 定期自动转存属于复利计算问题,5 年末的本利和为 8×(1+2.50%)5=8×1.0255. 5. 某人从 2009 年 1 月 1 日起, 且以后每年 1 月 1 日到银行存入 a 元(一年定期), 若年利率 r 保持不变, 且每年至期后存款均自动转为新一年定期,至 2015 年 1 月 1 日将所有存款及利息全部取回,他可取回的钱 数(单位为元)为( A.a(1+r)7 a B. [(1+r)7-(1+r)] r C.a(1+r)8 a D. [(1+r)8-(1+r)] r [答案] B [解析] 2014 年 1 月 1 日,2013 年 1 月 1 日,…2009 年 1 月 1 日存入钱的本息分别为 a(1+r),a(1+ r)2,…,a(1+r)6,相加即可. 6.某厂在 2010 年年底制定生产计划,要使 2020 年年底的总产量在原有基础上翻两番,则年平均增长 率为( ) B.2 1 10 )

1 A.4 -1 10 1 C.4 -1 11 [答案] A

1 D.2 -1 11

[解析] 设年增长率为 x,2010 年总产量为 1,到 2020 年年底翻两番后的总产量为 4,故 1· (1+x)10=4, 1 ∴x=4 -1. 10 二、填空题 7.据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为 b,2009 年产生的垃圾量为 a 吨,由此预测,该区下 一年的垃圾量为________吨,2014 年的垃圾量为________吨. [答案] a(1+b) a(1+b)5 [解析] 2009 年产生的垃圾量为 a 吨,下一年的垃圾量在 2009 年的垃圾量的基础之上增长了 ab 吨, 所以下一年的垃圾量为 a(1+b)吨;2014 年是从 2009 年起再过 5 年,所以 2014 年的垃圾量是 a(1+b)5 吨. 8.某彩电价格在去年 6 月份降价 10%之后经 10,11,12 三个月连续三次回升到 6 月份降价前的水平,则 这三次价格平均回升率是________. [答案] 3 10 -1 9

[解析] 设 6 月份降价前的价格为 a,三次价格平均回升率为 x,则 a×90%×(1+x)3=a, ∴1+x= 3 10 3 10 ,x= -1. 9 9

三、解答题 9.已知某地教育储蓄的月利率为 0.21%,某人欲在 3 年后一次支取教育储蓄本息合计 1 万元,他每月 应存入多少元? [解析] 设每月应存入 x 元,由教育储蓄的计算公式得 解得 x≈267.39 元,即每月应存入 267.39 元. 10. 某城市 2002 年底人口为 500 万, 人均居住面积为 6 平方米, 如果该城市每年人口平均增长率为 1%, 每年平均新增住房面积为 30 万平方米,到 2012 年底该城市人均住房面积是多少平方米?增加了还是减少 了?说明了什么问题?(精确到 0.01 平方米) [解析] 设 2002 年,2003 年,…,2012 年住房面积总数成等差数列{an},人口数组成等比数列{bn}, 则 2002 年:a1=500×6=3000(万平方米),b1=500(万). 2003 年:a2=a1+d=3000+30=3030(万平方米),b2=b1×q=500×(1+1%)=505(万). … 2012 年 : a11 = a1 + 10d = 3000 + 10×30 = 3300( 万 平 方 米 ) , b11 = b1×q10 = 500×(1 + 1%)10 = 500×1.0110≈552(万). 3300 所以人均住房面积是 ≈5.98(平方米). 552 答:该城市人均住房面积约 5.98 平方米,人均住房面积反而减少了,说明计划生育的重要性. 36?x+36x? ×0.21%+36x=10 000, 2

1.某企业在 2013 年年初贷款 M 万元,年利率为 m,从该年年末开始,每年偿还的金额都是 a 万元,并 恰好在 10 年间还清,则 a 的值等于( M?1+m?10 A. ?1+m?10-1 Mm?1+m?10 C. ?1+m?10-1 [答案] C [解析] 由已知条件和分期付款公式可得, Mm· ?1+m?10 a[(1+m)9+(1+m)8+…+(1+m)+1]=M(1+m)10,∴a= . ?1+m?10-1 2.某工厂去年产值为 a,计划今后 5 年内每年比上年产值增加 10%,则从今年起到第 5 年,这个厂的 总产值为( A.1.14a C.11×(1.15-1)a [答案] C [解析] S=a(1+10%)+a(1+10%)2+…+a(1+10%)5=11×(1.15-1)A. ) B.1.15a D.10(1.16-1)a ) Mm B. ?1+m?10 Mm?1+m?10 D. ?1+m?10+1

二、填空题 3.某大楼共有 20 层,有 19 人在第 1 层上了电梯,他们分别要去第 2 层至第 20 层,每层 1 人,而电 梯只允许停 1 次,可只使 1 人满意,其余 18 人都要步行上楼或下楼,假设乘客每向下走 1 层的不满意度为 1,每向上走一层的不满意度为 2,所有人的不满意度之和为 S,为使 S 最小,电梯应当停在________层. [答案] 14 3x2-85x [解析] 设停在第 x 层,则 S=[1+2+…+(20-x)]×2+[1+2+…+(x-2)]= +421, 2 85 ∴x= 时取最小值,而 x∈{2,3,…,20}, 6 ∴x=14 时取最小值. 4.某工厂生产总值的月平均增比率为 p,则年平均增长率为________. [答案] (1+p)12-1 [解析] 设年平均增长率为 x,原来总产值为 a,由题意得 a(1+x)=a(1+p)12, ∴x=(1+p)12-1. 三、解答题 5.某工厂 2012 年生产某种机器零件 100 万件,计划到 2014 年把产量提高到每年生产 121 万件.如果 每一年比上一年增长的百分率相同,这个百分率是多少?2013 年生产这种零件多少万件? [解析] 设每一年比上一年增长的百分率为 x,则从 2012 年起,连续 3 年的产量依次为 a1=100,a2= a1(1+x),a3=a2(1+x),即 a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1+x)2,成等比数列. 由 100(1+x)2=121 得(1+x)2=1.21, ∴1+x=1.1 或 1+x=-1.1, ∴x=0.1 或 x=-2.1(舍去), a2=100(1+x)=110(万件), 所以每年增长的百分率为 10%,2013 年生产这种零件 110 万件. 6.某林场 2014 年底森林木材储存量为 330 万立方米,若树林以每年 25%的增长率生长,计划从 2015 年起,每年冬天要砍伐的木材量为 x 万立方米,为了实现经过 20 年木材储存量翻两番的目标,每年砍伐的 木材量 x 的最大值是多少?(lg 2≈0.3) [解析] 设从 2014 年起的每年年底木材储存量组成的数列为{an},则 a =330 ? ? 1 ? , 5 ? ?an+1=an?1+25%?-x=4an-x 5 则 an+1-4x= (an-4x), 4 即 an+1-4x 5 = . an-4x 4

5 5 - ∴{an-4x}是以 330-4x 为首项,公比为 的等比数列,即 an=(330-4x)( )n 1+4x. 4 4 5 ∴a21=(330-4x)( )20+4x. 4 5 令 a21≥4a1,即(330-4x)( )20+4x≥4×330. 4 5 由 lg 2≈0.3,可求得( )20=100,代入上式整理得 396x≤31 680, 4 解得 x≤80(万立方米). 答:每年砍伐量最大为 80 万立方米.


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