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南昌市2014届高三数学(理)交流卷(1号)


南昌市 2014 届高三数学(理)交流卷(1 号)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1 1 设复数 z ? 1 ? ,则 z 的共轭复数是( ) i A. 1 ?
1 i

B. 1 ? i

C. 1 ?

1 i

D. 1 ? i ( )

2.设 p ∶ x2 ? x ? 2<0, q ∶ A 充分不必要条件

1? x 则 p是q的 <0 , x ?2
C 充要条件

B 必要不充分条件

D 既不充分也不必要

3.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 (??,0] 上是增函数,设

a ? f (log 4 7), b ? f (log 1 3), c ? f (2 2 ) ,则 a, b, c 的大小关系是(
2



A. c ? a ? b

B. c ? b ? a

C. b ? c ? a

D. a ? b ? c )
2 2 3

? ? 1 7? ? ? ? 4.已知 sin ? ? ? ? ? , 则 cos ? ? ? ? 的值等于( 12 ? 3 12 ? ? ?
A.

1 3

B.

2 2 3

C. ?

1 3

D. ?

5.已知函数 f ( x) ? 2m sin x ? n cos x ,直线 x ? 则 A.

?
3

是函数 f ( x) 图像的一条对称轴,

n ?( m
3 3 2

) B.
3

C.

?

2 3 3

D.

3 3

6.等差数列 ?an ? 中的 a1 、 a4025 是函数 f ( x) ? 1 x3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点,则 log 2 a2013 ?
3





A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

7.过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 O 是坐标原点,若
| AF |? 5 ,则△ AOB 的面积为(

) C.
3 2

A. 5

B.

5 2

D.

17 8

2 ? ? x ? 1????????????? x ? 0 8.已知函数 f ( x) ? ? 在点(1,2)处的切线与 f ( x) 的图像有三 2 ? x ? 4 x ? a ??? x ? 0 ? ?

个公共点,则 a 的取值范围是(



A.[?8, ?4 ? 2 5)

B.(?4 ? 2 5, ?4 ? 2 5)

C.(?4 ? 2 5,?8] D.(?4 ? 2 5,?? 8]

9.美不胜收的“双勾函数” y ? x ?

1 是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线,它 x

的渐近线分别是 y 轴和直线 y ? x ,其离心率 e= A. 2 B.

1? 2

C.

3

D.

4?2 2

10 若函数 y ? f ( x) 图像上的任意一点 P 的坐标 ( x, y ) 满足条件 | x | ? | y | ,则称函 数 f ( x) 具有性质 S ,那么下列函数中具有性质 S 的是 ( A.f ( x) ? e x ? 1 B.f ( x) ? ln( x ? 1) ) D.f ( x) ? tan x

C.f ( x) ? sin x

二、选做题:请在下列两题中任选一题作答若两题都做,则按第一题评阅计分本题共 5 分. 11. (1) (坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴
?x ? t 2 的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 ρ cosθ ? 4 的直线与曲线 ? 3 ?y ? t

( t 为参数)相交于 A, B 两点,则 | AB | =( A. 13 B. 14 C. 15

) D. 16

11. (2) (不等式选做题) 若不等式 log2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?m) ? 2 恒成立, 则实数 m 的取值范围为( A . ( ??,?3] ) B . [?3,?1] C . [?1,3] D . ( ??,?1]

三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,合计 20 分.

12.已知向量 a ? ( 3,1) , b ? (0,?1) , c ? (k , 3) ,若 a ? 2b 与 c 共线,则 k ? _________ 13.运行如图的程序框图,输出的结果是______

14.已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 PF1F2=α, ∠PF2F1=β, 且 cosα=

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 上的任意一点,若∠ a2 b2

5 3 , sin(α+β)= , 则此椭圆的离心率为 5 5



15.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M、 N 分别是 AC1、 A1B1 的中点. 点P 在 正方体的表面上运动,则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长 等于 .

四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

?? ? ? 3? ? 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 sin x ? sin? ? x ? ? 3 sin 2 ? ? x? ?2 ? ? 2 ?
1 (1)若 tan x ? , 求 f ( x) 的值; 2

(2)求函数 f ( x) 最小正周期及单调递减区间. 17. (本小题满分 12 分)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称为可入肺颗粒物,对人体健康和大气环境质量的影响很大。我国 PM2.5 标 准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空 气质量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 某市环保局从 360 天的市区 PM2.5 监测数据中,随机抽取 l5 天的数据作 为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). (1)从这 l5 天的数据中任取 3 天的数据, 记 ? 表示空气质量达到一级的天数, 求? 的分布列; (2)以这 l5 天的 PM2.5 日均值来估计这 360 天的空气质量情况,则其中大约有 多少天的空气质量达到一级.

18 . (本小题满分 12 分) 如图 , ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 面ABCD ,
AF // DE, DE ? 3 AF , BE 与平面 ABCD 所成的角为 600 .

(1)求二面角 F ? BE ? D 的的余弦值;

(2)设点 M 是线段 BD 上一动点,试确定 M 的位置,使得 AM // 面BEF ,并证明 你的结论.

19.(本小题满分 12 分) 设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n(n=2,3,4,,) 阶“期待数列”:① a1 ? a2 ? a3 ?
? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ?

? an ? 1.

(1)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列”; (2)若某 2k+1( k ? N * )阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; 20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点 F 在 x 轴上, 离心率 e ?
2 ) 在椭圆 C 上.(1)求椭圆 C 的标准方程; 2
3 , 2

点 Q( 2???

(2)若斜率为 k (k ? 0) 的直线 n 交椭圆 C 与 A 、 B 两点,且 kOA 、 k 、 kOB 成等差 数列,点 M(1,1) ,求 S ?ABM 的最大值. 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? bx , g ( x) ? a ln x ? x ( a ? 0 ) (Ⅰ)若函数 f ? x ? 存在极值点,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求函数 g ? x ? 的单调区间;

? f ( x), x ? 1 (Ⅲ)当 b ? 0 且 a ? 0 时,令 F ( x) ? ? ,P ( x1 , F ( x1 ) ),Q ( x2 , F ( x2 ) ) ? g ( x) ? x, x ? 1
为曲线 y ? F ? x ? 上的两动点,O 为坐标原点,能否使得 ?POQ 是以 O 为直角顶 点的直角三角形,且斜边中点在 y 轴上?请说明理由.

答案
一.DABCC ABDDC

二. (1)D(2)D 三.12 四.16 -3 13 510 14
5 7

15

2? 5

所以 f ( x) 的单调递减区间为 [

?

8 17 解: (1)∵ N ? 15, M ? 6, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1,2,3
其分布列为 P(? ? k ) ?
k 3? k C6 ? C9 (k ? 0 , 1 , 2 , 3) ??????? 3 分 3 C15

? k? ,

5? ? k? ], k ? Z 8

?
p

0

1

2

3

84 455

216 455

135 455

20 455
??????? 6 分

(2)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 p ? 一年中空气质量达到一级的天数为? 则 ? ~ B? 360, ? , 所以 E? ? 360 ?

6 2 ? 15 5

? ?

2? 5?

2 ? 144 (天) ????????11 分 5

一年中空气质量达到一级的天数为 144 天 ???????????? 12 分

18(1)

∵ AC ? 平面 BDE ,∴平面 BDE 的法向量设为 CA ? (3, ?3,0) ,∴

cos n, CA ?

13 n ? CA 6 13 , 故二面角 F ? BE ? D 的余弦值为 . ? ? 13 | n | ? | CA | 26 ? 3 2 13

ak ? 2 ? ak ?3 ?
? kd ?

1 ? a2 k ?1 ? , 2

k (k ? 1) 1 1 d ? ,即d ? 2 2 k (k ? 1)

20

2 ? x ? y2 ? 1 联立 ? 4 ? y ? kx

易得弦 AB 的长为

1? k 2

4 1 ? 4k 2

21

当 t ? 1 时, OP ? (1,0), OQ ? (?1, 2) 则

OP ? OQ ? 0 ;

????11 分

当 t ? 1 时, F (t ) ? a ln t ,代入方程 (*) 得 ?t 2 ? a ln t (t 3 ? t 2 ) ? 0 即 分 设 h( x) ? ( x ? 1) ln x( x ? 1) ,则 h?( x) ? ln x ?
1 ? 1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立. x

1 ? (t ? 1) ln t , a

?????????????12

∴h( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增,从而 h( x) ? h(1) ? 0 ,则值域为 ?0, ??? . ∴ 当 a ? 0 时, 方程 13 分 综上所述,对任意给定的正实数 a ,曲线上总存在 P, Q 两点,使得 POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, 且斜边中点在 y 轴上. ??????14 分.
1 ? (t ? 1) ln t 有解, 即方程 (*) 有解. a

????


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