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2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 函数与方程


§2.9

函数与方程

[高考调研
考纲解读

明确考向]
考情分析

?结合二次函数的图像,了解 ?函数的零点、方程根的个数是历 函数的零点与方程根的联 系,判断一元二次方程根的 存在性及根的个数. 年高考的重要考点. ?利用函数的图像及性质判断函数 的零点,及利用它们求参数取值范

?根据具体函数的图像,能够 围问题是重点,也是难点. 用二分法求相应方程的近似 解. ?题型以选择题和填空题为主,常 与函数的图像与性质交汇命题.

知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义: 1 对于函数y=f(x),我们把使 □ ________成立的实数x叫 做函数y=f(x)的零点.

(2)几个等价关系: 2 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与 □ ______有 3 交点?函数y=f(x)有□______.

(3)函数零点的判定(零点存在性定理): 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一 4 5 条曲线,并且有 □ __________,那么函数y=f(x)在区间 □ 6 ________内有零点,即存在c∈(a,b),使得 □ ________, 7 这个□________也就是f(x)=0的根.

2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0 二次函数 y=ax2+ bx+c(a >0)的图 像 Δ=0 Δ<0

Δ>0 与x轴的 交点 零点个数 (x1,0), (x2,0)

Δ=0 (x1,0)

Δ<0 无交点 无

8 9 □______ □______

3.二分法 (1)二分法的定义: 对于在区间[a,b]上连续不断且 10 □ ______的函数y=

11 f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间□____,使区 12 间的两个端点逐步逼近 □ ______,进而得到零点近似值的 方法叫做二分法.

(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 13 第一步,确定区间[a,b],验证 □ __________,给定精 确度ε. 第二步,求区间(a,b)的中点x1. 第三步,计算f(x1): 14 ①若□________,则x1就是函数的零点;

②若 x1));

15 □

____________,则令b=x1(此时零点x0∈(a,

16 ③若 □ ____________,则令a=x1(此时零点x0∈(x1, b)).

第四步,判断是否达到精确度ε;即若|a-b|<ε,则得到 零点近似值a(或b). 否则重复第二、第三、第四步.

1 答案:□f(x)=0

2 3 4 □x轴 □零点 □f(a)· f(b)<0

5 6 7 8 9 10 □ (a,b) □ f(c)=0 □ c □ 两个 □ 一个 □ f(a)· f(b)<0 =0 11 12 13 14 □一分为二 □零点 □f(a)· f(b)<0 □f(x1)

15 16 □f(a)· 1)<0 □f(x1)· f(x f(b)<0

名师微博 ●一个口诀 用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间,找中 点,中值计算两边看.同号去,异号算,零点落在异号 间.周而复始怎么办?精确度上来判断.

●两个防范

(1)函数y=f(x)的零点即方程f(x)=0的实根,是数不是 点.

(2)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续不间断 的,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)· f(b)<0,满 足这些条件一定有零点,不满足这些条件也不能说就没有零 点.如图,f(a)· f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在零点, 而且有两个.所以说零点存在性定理的条件是充分条件,但 并不必要.

●三种方法 函数零点个数的判断方法: (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解 就有几个零点; (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a, b]上是连续不断的曲线,且f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的 图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零 点.

(3)利用图像交点的个数:画出两个函数的图像,看其交 点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不 同的零点.

基础自测 1.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根, 则实数m的取值范围是( A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) )

解析:由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得: 判别式Δ>0,即m2-4>0,解得m<-2或m>2,故选C.

答案:C

2.若函数y=f(x)在R上递增,则函数y=f(x)的零点 ( ) A.至少有一个 C.有且只有一个 B.至多有一个 D.可能有无数个

答案:B

3.如图所示的函数图像与x轴均有交点,其中不能用二 分法求图中交点横坐标的是( )









A.①② C.①④

B.①③ D.③④

答案:B

4.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区 间为( )
? 1? B.?0,4? ? ? ?1 3? D.?2,4? ? ?

? 1 ? A.?-4,0? ? ? ?1 1? C.?4,2? ? ?

?1? 解析:因为f?4?=e ? ?
1 2

1 4

1 ?1? 1 4 +4×4-3=e -2<0,f?2?=e + ? ?
1 2

1 4×2-3=e -1>0,所以f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间
?1 1? 为?4,2?. ? ?

答案:C

5.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实 数a的取值范围是__________.

解析:函数f(x)=x2+x+a在(0,1)上递增.由已知条件 f(0)f(1)<0,即a(a+2)<0,解得-2<a<0.

答案:(-2,0)

考点一

函数零点与零点个数的判断
?x2+2x-3,?x≤0? ? 函数f(x)=? ?-2+lnx,?x>0? ?

[例1] A.3

的零点个数为( D.0

)

B.2

C.7

解析:方法一:由f(x)=0得
?x>0, ? ? ?-2+lnx=0. ?

?x≤0, ? ? 2 ?x +2x-3=0, ?



解得x=-3,或x=e2.

因此函数f(x)共有两个零点.

方法二:函数f(x)的图像如图所示:

可观察函数f(x)共有两个零点.
答案:B.

方法点睛

对函数零点个数的判断可从以下几个方面入

手考虑:①结合函数图像;②根据零点存在性定理求某些点 的函数值;③利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一 等.

变式训练1 ( ) A.(0,1)

函数f(x)=log3x+x-3的零点一定在区间

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

解析:方法一:函数f(x)=log3x+x-3的定义域为(0,+ ∞),并且在(0,+∞)上递增连续,又f(2)=log32-1<0,f(3) =1>0,∴函数f(x)=log3x+x-3有唯一的零点且零点在区 间(2,3)内.

方法二:方程log3x+x-3=0可化为log3x=3-x,在同 一坐标系中作出y=log3x和y=3-x的图像如图所示,可观察 判断出两图像交点横坐标在区间(2,3)内.

答案:C

考点二

有关二次函数的零点问题

[例2]

是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x

+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个零点,且只有一个零 点.若存在,求出a的取值范围,若不存在,说明理由.

解析:∵Δ=(3a-2) -4(a-1)=9a 8 +9>0,

2

2

? 8? 2 -16a+8=9 ?a-9? ? ?

∴若实数a满足条件,则只需f(-1)· f(3)≤0即可. f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1)=4(1- 1 a)(5a+1)≤0.所以a≤- 或a≥1. 5 检验:(1)当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.

令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1,方程在[-1,3] 上有两根,不合题意,故a≠1. 1 13 6 2 (2)当f(3)=0时,a=- ,此时f(x)=x - x- . 5 5 5 13 6 2 令f(x)=0,即x - x- =0,解之得x=- 或x=3,方 5 5 5
2

1 程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠- . 5 1 综上所述,a<- 或a>1. 5

方法点睛

解决二次函数的零点问题:①可利用一元二

次方程的求根公式;②可用一元二次方程的判别式及根与系 数之间的关系;③利用二次函数的图像列不等式组.

变式训练2 当a为何实数时

关于x的一元二次方程x2-2ax+a+2=0,

(1)有两个不同正根; (2)不同的两根在(1,3)之间; (3)有一根大于2,另一根小于2; (4)在(1,3)内有且只有一解.

解析:设f(x)=x2-2ax+a+2,Δ=4a2-4(a+2)=4(a2 -a-2)=4(a-2)(a+1). ?Δ>0, ? (1)由已知条件?x1+x2=2a>0, ?x x =a+2>0, ? 1 2

解得a>2.

?Δ>0, ? ?1<a<3, (2)由已知条件? ?f?1?>0, ?f?3?>0, ?

11 解得2<a< . 5

(3)由已知条件f(2)<0,解得a>2. 11 (4)由已知条件f(1)f(3)<0,解得 5 <a<3.

11 7 检验:当f(3)=0,a= 5 时,方程的两解为x=5,x=3, 11 当f(1)=0,即a=3时,方程的两解为x=1,x=5,可知 5 ≤a <3.
?Δ=0, ? 当? ?1<a<3, ?

?a=2.

即a=2时f(x)=x2-4x+4=(x-2)2方程的解x1=x2=2, ∴a=2. 11 综上,a=2或 ≤a<3. 5

考点三

函数零点性质的应用

[例3]

e2 已知函数f(x)=-x2+2ex+t-1,g(x)=x+ x (x>

0,其中e表示自然对数的底数). (1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围; (2)确定t的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.

e2 解析:(1)方法一:∵g(x)=x+ x ≥2 e2 =2e,等号成立 的条件是x=e. 故g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需m≥2e,则g(x)=m 就有零点.

e2 方法二:作出g(x)=x+ x 的图像如图:

可知若使g(x)=m有零点,则只需m≥2e. 方法三:解方程由g(x)=m,得x2-mx+e2=0. ?m ? >0, 此方程有大于零的根,故? 2 ?Δ=m2-4e2≥0 ?
?m>0, ? 等价于? ?m≥2e或m≤-2e, ?

故m≥2e.

(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中函 e2 数g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点,作出g(x)=x+ (x>0) x 的图像. ∵f(x)=-x2+2ex+t-1=-(x-e)2+t-1+e2. 其对称轴为x=e,开口向下,最大值为t-1+e2.

故当t-1+e2>2e,即t>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两 个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. ∴t的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).

方法点睛

此类利用零点求参数范围的问题,可利用方

程,但有时不易甚至不可能解出,而转化为构造两函数图像 求解,使得问题简单明了,这也体现了当不是求零点,而是 利用零点的个数,或有零点时求参数的范围,一般采用数形 结合法求解.

变式训练3

已知函数f(x)=ax3-2ax+3a-4在区间(-

1,1)上有一个零点. (1)求实数a的取值范围; 32 (2)若a= 17 ,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的 根.

解析:(1)若a=0,则f(x)=-4与题意不符,∴a≠0, ∴f(-1)· f(1)=8(a-1)(a-2)<0,∴1<a<2. 32 32 3 64 28 (2)若a= ,则f(x)= x - x+ , 17 17 17 17 28 ∴f(-1)>0,f(1)<0,f(0)= >0, 17
?1? ∴零点在(0,1)上,又f?2?=0, ? ?

1 ∴f(x)=0的根为 . 2

思想方法(三)

如何利用图像求解函数零点问题

数形结合是重要的思想方法之一,也是高考考查的热点 问题,利用函数图像判断方程是否有解,有多少个解是常见 常考的题型,数形结合法是求函数零点个数的有效方法,其 基本思路是把函数分成两个函数的差,分折的基本思想是分 折后的函数图像比较容易做出,则函数零点个数就是两函数 图像交点的个数.

一、判定函数零点的个数 [示例1] ( ) A.没有零点 C.有且仅有两个零点 B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点 (2011· 陕西)函数f(x)= x -cosx在[0,+∞)内

转化:函数f(x)=

x -cosx在[0,+∞)内的零点个数即

为函数y= x与y=cosx的交点个数.

作图:

结论:由于x>1时,y= x >1,y=cosx≤1,所以两图 像只有一个交点,即方程 个根,所以f(x)= 以选B. x -cosx=0在[0,+∞)内只有一

x -cosx在[0,+∞)内只有一个零点,所

二、判断零点的范围 [示例2] (2011· 山东)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,

且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+ 1),n∈N*,则n=__________. 转化:f(x)=logax+x-b的零点即为g(x)=logax与h(x)= -x+b的交点的横坐标.

作图: 结论:观察图像可得n=2

验证:f(1)=1-b<0,f(2)=loga2+2-b<1+2-3= 0,f(3)=loga3+3-b>1+3-4=0,由零点定理知函数f(x) 的零点在区间(2,3)内,故n=2. 反思:本题的难点是根据已知条件中a,b的取值范围判 断函数值的符号,需要根据对数函数的单调性或借助函数的 图像来处理.在解决函数的有关问题时,往往要借助函数图 像的直观性确定参数所满足的条件,从而求其范围,这是数 形结合思想的具体应用.


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